巧妙求和-2022-2023學年四年級數(shù)學思維拓含答案展含答案

2022-2023學年小學四年級思維拓展專題巧妙求和知識精講在日常生活和生產中，我們經常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（小）專題簡析：若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項。其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中項的個數(shù)稱為項數(shù)。從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項的差稱為公差。在這一章要用到兩個非常重要的公式：“通項公式”和“項數(shù)公式”。通項公式：第n項=首項+（項數(shù)－1）×公差項數(shù)公式：項數(shù)=（末項－首項）÷公差＋1典例分析【典例分析01】有一個數(shù)列：4，10，16，22，…，52，這個數(shù)列共有多少項？分析與解答：容易看出這是一個等差數(shù)列，公差為6，首項是4，末項是52，要求項數(shù)，可直接帶入項數(shù)公式進行計算。項數(shù)=（52－4）÷6＋1=9，即這個數(shù)列共有9項?！镜淅治?2】有一等差數(shù)列：3，7，11，15，……，這個等差數(shù)列的第100項是多少？分析與解答：這個等差數(shù)列的首項是3，公差是4，項數(shù)是100。要求第100項，可根據“末項=首項+公差×（項數(shù)－1）”進行計算。第100項=3+4×（100－1）=399【典例分析03】有這樣一個數(shù)列：1，2，3，4，…，99，100。請求出這個數(shù)列所有項的和。分析與解答：如果我們把1，2，3，4，…，99，100與列100，99，…，3，2，1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內的兩個數(shù)的和都是101，一共有100個101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2，就是所求數(shù)列的和。1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的數(shù)列是一個等差數(shù)列，經研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2這個公式也叫做等差數(shù)列求和公式。【典例分析04】求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和。分析與解答：這個數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項數(shù)是多少：項數(shù)=（末項－首項）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首項=2，末項=50，項數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）×25÷2=650【典例分析05】計算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）分析與解答：容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列其實是把1~100這100個數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個等差數(shù)列，每個數(shù)列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數(shù)列中的每一項分別對應相減，可得到50個差，再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50真題百分練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）1+2+3+4+5+6+7+97+98+99+100的結果是（）A．100 B．500 C．1000 D．5050【思路引導】利用高斯求和的方法進行求解，即等差數(shù)列和＝（首項+尾項）×項數(shù)÷2．【規(guī)范解答】解：1+2+3+4+5+…+100＝（1+100）×100÷2＝101×50＝5050故選：D。【考點評析】熟練掌握高斯求和的原理是解決本題的關鍵．2．（2分）李奶奶家有一個老式掛鐘，這個掛鐘幾時就敲幾下，半時敲一下，李奶奶家的掛鐘一天一共敲（）下．A．24 B．180 C．360【思路引導】1到12點共有12個整點，12個半點，所以共敲的點數(shù)從1加到12，再加上12，過中午12點后再重復一遍，所以乘以2即可．【規(guī)范解答】解：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）×2+12×2＝（1+12）×12÷2×2+12×2＝156+24＝180（下）答：李奶奶家的掛鐘一天一共敲180下．故選：B．【考點評析】根據題意明確從1時到12時構成一個等差數(shù)列是解題的關鍵，注意一晝夜可以分成相等的兩部分．3．（2分）德國數(shù)學家高斯在計算“1+2+3+……+98+99+100”時，他這樣算?！?+100、2+99、3+98，……，共有50個101，用50×101＝5050”。以下式子可以用高斯的方法計算的有（）個。①1+11+111+1111②2+4+6+8+…+44+46+48③15+20+25+…80+85+90④26+29+32+…+47+50+53A．4 B．3 C．2 D．1【思路引導】高斯求和是在等差數(shù)列中利用結合的方法，把數(shù)列中的數(shù)變成相同的數(shù)，再用相同的數(shù)乘項數(shù)的一半。【規(guī)范解答】解：②2+4+6+8+…+44+46+48＝（2+48）×24÷2＝50×24÷2＝600③15+20+25+…80+85+90＝（15+90）×16÷2＝105×16÷2＝840④26+29+32+…+47+50+53＝（26+53）×10÷2＝790÷2＝395故選：B?！究键c評析】熟悉高斯求和原理是解決本題的關鍵。4．（2分）101+102+103+…+120+121的計算結果是（）。A．2311 B．2321 C．2331【思路引導】101+102+103+…+120+121，是從101到121連續(xù)的21個自然數(shù)的和，是第一個自然數(shù)加上最后一個自然數(shù)求出和，然后乘自然數(shù)的個數(shù)，再除以2即可?！疽?guī)范解答】解：101+102+103+…+120+121＝（101+121）×21÷2＝222×21÷2＝4662÷2＝2331故選：C。【考點評析】解決本題利用高斯求和的方法解決問題。5．（2分）用100個盒子裝杯子，每盒裝的個數(shù)都不相同，并且每盒不空，那么至少要用（）個杯子．A．100 B．500 C．1000 D．5050【思路引導】用100個盒子裝杯子，每盒裝的個數(shù)都不相同，并且盒盒不空，所以有100種不同的裝法，要求至少需要多少個杯子，那么可以從最少的個數(shù)裝起：即每個盒子里的杯子數(shù)分別為1、2、3、4、5、6…100，由此可得出所需要的杯子數(shù)為：1+2+3+4+5+…+100，利用高斯求和的方法即可解決問題．【規(guī)范解答】解：根據題干分析可得：每個盒子里的杯子數(shù)分別為1、2、3、4、5、6…100，所以需要的杯子數(shù)為：1+2+3+4+5+…+100，＝（1+100）×（100÷2），＝101×50，＝5050（個），故選：D。【考點評析】此題考查了利用高斯求和的方法解決此類計算題目的靈活應用，這里要求的是最少需要的杯子數(shù)，要考慮每個箱子可裝的最少杯子數(shù)．二．填空題（共9小題，滿分18分，每小題2分）6．（2分）1+3+5+7+……+97＝2401?！舅悸芬龑А扛鶕咚骨蠛凸浇獯鸺纯??！疽?guī)范解答】解：（1+97）×49÷2＝98×49÷2＝4802÷2＝2401故答案為：2401?！究键c評析】高斯求和相關公式：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2。7．（2分）在數(shù)學學習過程中，我們要不斷培養(yǎng)自己敏銳的觀察能力，請你仔細觀察下列算式后填空。11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝200×5?！舅悸芬龑А肯鄬那昂髢身椀暮投际?00，所以就相當于求5個200是多少，用乘法計算即可?！疽?guī)范解答】解：11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝200×5。故答案為：200；5。【考點評析】解答本題關鍵是找到規(guī)律，再解答。8．（2分）高斯10歲時，很快算出1+2+3+4…+98+99+100的和是5050．【思路引導】根據“等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2”解答即可．【規(guī)范解答】解：1+2+3+4…+98+99+100＝（1+100）×100÷2＝101×50＝5050故答案為：5050．【考點評析】高斯求和相關公式：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2，末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差，高斯求和公式：和＝首項×項數(shù)+項數(shù)×（項數(shù)﹣1）×公差÷2．9．（2分）1+3+5+…+99＝2500．【思路引導】通過分析式中數(shù)據可以發(fā)現(xiàn)，式中的加數(shù)為一個公差為2的等差數(shù)列，即此算式是求一個等差數(shù)列和的運算．因此根據高斯求和公式計算即可：項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，等差數(shù)列和＝（首項+尾項）×項數(shù)÷2．【規(guī)范解答】解：1+3+5+…+99＝（1+99）×[（99﹣1）÷2+1]÷2，＝100×[49+1]÷2，＝100×50÷2，＝2500．故答案為：2500．【考點評析】高斯求和的有關公式還有：末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差．10．（2分）自然數(shù)1、2、3…14、15的和是120，這15個自然數(shù)的平均數(shù)是8．【思路引導】根據高斯求和的方法：1+2+3+4+…+n＝（n+1）×，代入數(shù)據即可求出這15個連續(xù)自然數(shù)的和，再除以15，就是它們的平均數(shù)．【規(guī)范解答】解：1+2+3+…+14+15，＝（1+15）×，＝16×，＝120，120÷15＝8，答：這15個自然數(shù)的和是120，它們的平均數(shù)是8．故答案為：120，8．【考點評析】此題考查了高斯求和公式的計算方法以及平均數(shù)的意義．11．（2分）72+74+76+78+80＝5×76＝380?！舅悸芬龑А克闶?2+74+76+78+80中的加數(shù)構成一個公差為“2”，首項為72，末項為80，項數(shù)為5的等差數(shù)列。根據高斯求和公式進行計算即可：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2。【規(guī)范解答】解：72+74+76+78+80＝（72+80）×5÷2＝152×5÷2＝152÷2×5＝76×5＝380故答案為：76，380。【考點評析】此題考查高斯求和。根據高斯求和公式解答即可。12．（2分）1+2+3+4+…+16+17+18+19+20＝210．【思路引導】算式1+2+3+4+…+16+17+18+19+20中的加數(shù)構成一個公差為“1”的等差數(shù)列，首項為1，末項為20，項數(shù)為20．因此本題根據高斯求和公式進行計算即可：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2．【規(guī)范解答】解：1+2+3+4+…+16+17+18+19+20＝（1+20）×20÷2＝21×10＝210．故答案為：210．【考點評析】高斯求和其它相關公式：末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差．13．（2分）希望小學五年級合唱團慶祝元旦表演，排列的隊伍有五排，第一排有4人，以后每一排都比前一排多4人．這個合唱隊一共有60人【思路引導】以后每一排都比前一排多4人，構成一個公差為“4”的等差數(shù)列，首項為4，末項為4+4×（5﹣1）＝20，項數(shù)為5．因此本題根據高斯求和公式進行計算即可：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2．【規(guī)范解答】解：4+4×（5﹣1）＝4+16＝20（4+20）×5÷2＝24×5÷2＝60（人）答：這個合唱隊一共有60人．故答案為：60．【考點評析】高斯求和相關公式：末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差，數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2．等差數(shù)列和＝na1+n（n﹣1）d÷2．14．（2分）一張大紙上有20個方格，第一個方格放1粒米，第二個方格放2粒，第三個方格放3粒，第四個方格放4粒…這張大紙上總共放了210粒米．【思路引導】根據題意可知，本題實際上是首項為1，末項為20，項數(shù)為20的公差為1的等差數(shù)列，根據高斯求和公式進行計算即可，等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2．【規(guī)范解答】解：（1+20）×20÷2＝21×20÷2＝210（粒）答：這張大紙上總共放了210粒米．故答案為：210．【考點評析】考查了高斯求和，高斯求和公式就是等差求和公式．三．計算題（共3小題，滿分14分）15．（4分）簡算。1+2+3+…+47+48+49【思路引導】運用加法結合律進行簡算即可。【規(guī)范解答】解：1+2+3+……+49＝（1+49）+（2+48）+…+（24+26）+25＝24×50+25＝1200+25＝1225【考點評析】此題主要考查了高斯求和的應用，要熟練掌握。16．（4分）計算。1+2+3+4+5+……+100。（要求簡便計算）【思路引導】根據高斯求和的方法，首先用1加上100，求出它們的和是多少；然后用所得的和乘所有的加數(shù)的個數(shù)，再除以2，求出算式的值是多少即可。【規(guī)范解答】解：1+2+3+4…99+100＝（1+100）×100÷2＝101×100÷2＝10100÷2＝5050【考點評析】高斯求和屬于等差數(shù)列的求和，等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2。17．（6分）計算：（1）51+52+53+…+67+68+69；（2）1+2+3+…+47+48+49．【思路引導】（1）可以看成首項是51，末項是69，項數(shù)是69﹣51+1＝19，公差是1的等差數(shù)列，根據等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2求解；（2）根據（1）的方法進行求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）51+52+53+…+67+68+69＝（51+69）×19÷2＝120×19÷2＝1140（2）1+2+3+…+47+48+49＝（1+49）×49÷2＝50×49÷2＝1225【考點評析】本題考查了等差數(shù)列求和的方法，關鍵是熟記公式．四．應用題（共4小題，滿分16分，每小題4分）18．（4分）一個報告廳的座位呈梯形排列，后一排比前一排依次多一個座位，第一排有24個座位，最后一排有36個座位．這個報告廳能坐下400人嗎？【思路引導】把每排座位數(shù)可以看作是一個等差數(shù)列：前項是24，末項是36，公差是1，項數(shù)是20，根據（末項﹣首項）÷公差+1＝項數(shù)可得項數(shù)是：（36﹣24）÷1+1＝13，然后根據高斯求和公式列式為：（24+36）×13÷2，然后解答即可求出總座位數(shù)，與400比較得解．【規(guī)范解答】解：（36﹣24）÷1+1＝12÷1+1＝12+1＝13（24+36）×13÷2＝60×13÷2＝390（個）390＜400答：這個報告廳不能坐下400人．【考點評析】本題關鍵是求出項數(shù)，即排數(shù)，然后根據高斯求和公式：和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2代入數(shù)據解答即可．19．（4分）玲玲用14天的時間讀了一部長篇小說，已知她每一天都比前一天多讀3頁，最后一天正好讀了50頁．這部長篇小說一共有多少頁？【思路引導】根據題意，可得玲玲每天看故事書的頁數(shù)是一個等差數(shù)列，數(shù)列的末項是50，項數(shù)是14，首項是50﹣（14﹣1）×3，然后運用求和公式即可求出這本故事書共多少頁．【規(guī)范解答】解：50﹣（14﹣1）×3＝50﹣39＝11（頁）（11+50）×14÷2＝61×14÷2＝427（頁）答：這部長篇小說一共有427頁．【考點評析】此題主要考查了等差數(shù)列的性質的應用，解答此題的關鍵是要明確：末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差．20．（4分）在六層塔上安裝彩燈，共裝666盒，每一層彩燈比上層多6盞，每一層各有多少盞彩燈？【思路引導】根據題意可得，每層的盞數(shù)構成了一個等差數(shù)列，公差是6，項數(shù)是6，設首項x，然后根據“和＝首項×項數(shù)+項數(shù)×（項數(shù)﹣1）×公差÷2”列方程解答即可．【規(guī)范解答】解：設第一層為x盞彩燈，6x+6×（6﹣1）×6÷2＝6666x+90＝6666x＝576x＝9696+6＝102（盞）102+6＝108（盞）108+6＝114（盞）114+6＝120（盞）120+6＝126（盞）答：從第一層到第六層分別有96、102、108、114、120、126盞彩燈．【考點評析】高斯求和相關公式：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2，末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差，高斯求和公式：和＝首項×項數(shù)+項數(shù)×（項數(shù)﹣1）×公差÷2．21．（4分）思考題。高斯是一位偉大的數(shù)學家。他十歲那年，老師出了一道數(shù)學題：1+2+3+4++97+98+99+100＝？同學們開始認真地計算起來，只有高斯沒有動筆。他思考了一會兒后寫出了答案：5050。老師和同學們都十分驚奇！請你猜一猜高斯是怎樣想的?！舅悸芬龑А?+2+3+4++97+98+99+100可以把1和100，2和99，3和98……48和53，49和52，50和51，依次結合計算，它們的和都是101，這樣就有50個101，用50乘101即可求解。【規(guī)范解答】解：1+2+3+4++97+98+99+100＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（48+53）+（49+52）+（50+51）＝101×50＝5050【考點評析】高斯求和其它相關公式：末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差。五．解答題（共8小題，滿分42分）22．（4分）一個等差數(shù)列，首項是3，公差是2，項數(shù)是10．它的末項是多少？【思路引導】由題意，根據“末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差”解答即可．【規(guī)范解答】解：3+（10﹣1）×2＝3+9×2＝3+18＝21答：它的末項是21．【考點評析】高斯求和相關公式：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2，末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差．23．（5分）時鐘中的數(shù)學問題．火車站大樓的時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，依此類推；從1點到12點這12個小時內時鐘共敲了多少下？【思路引導】根據加法的意義可知，將每次時鐘敲的次數(shù)相加即得從1點到12點這12個小時內時鐘共敲了多少下：1+2+3+…+12．此算式中的加數(shù)構成一個公差為1的等差數(shù)列，然后根據高斯求和公式計算即可：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2．【規(guī)范解答】解：1+2+3+…+12＝（1+12）×12÷2，＝13×12÷2，＝78（下）．答：從1點到12點這12個小時內時鐘共敲了78下．【考點評析】高斯求和的其它相關公式為：末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差，項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1，首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差．24．（5分）2+4+6+8+…+998+1000．【思路引導】通過觀察可知，式中的加數(shù)構成一個公差為2的等差數(shù)列，因此本題根據高斯求和公式計算即可：等差數(shù)列的和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2進行計算即可．【規(guī)范解答】解：2+4+6+8+…+998+1000＝（2+1000）×（1000÷2）÷2，＝1002×500÷2，＝250500．【考點評析】高斯求和相關公式：等差數(shù)列和＝（首項+末項）×項數(shù)÷2、末項＝首項+（項數(shù)﹣1）×公差、項數(shù)＝（末項﹣首項）÷公差+1、首項＝末項﹣（項數(shù)﹣1）×公差．25．（5分）一堆木頭，按下面的方式堆積起來，你能快速的算出一共有多少根木頭嗎？【思路引導】根據題意，由圖可知，此題就是求一個首項為1、公差為1、末項為13的等差數(shù)列的和，根據等差數(shù)列通項公式：（首項+末項）×項數(shù)÷2＝和解答即可．【規(guī)范解答】解：（1+13）×13÷2＝14×13÷2＝7×13＝91（根）答：一共有91根木頭．【考點評析】此題考查了等差數(shù)列通項公式：（首項+末項）×項數(shù)÷2＝和的運用．26．（5分）同學們，你們聽過數(shù)學家高斯小時候的故事嗎？你能用簡便方法算出下面的這道題嗎？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝【思路引導】觀察這10個數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)兩兩搭配