2023年河北省石家莊市晉州實驗班高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

UUUUUIL-........-----------------

1.在直角梯形A3CD中，ABAD=Q>ZB=30°,AB=2#),BC=2,點(diǎn)E為8C上一點(diǎn)，且AE=xA6+yAD,

當(dāng)取的值最大時，|恁|=()

A.y/5B.2C.D.2百

2

2.木匠師傅對一個圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積()

俯視圖

A.24萬+96B,48萬+93C.484+188D.144乃+18班

3.某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場有6名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位

參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評

分按照[70,80),[80,90),[90』00]分組，繪成頻率分布直方圖如下：

嘉賓ABCDEF

評分969596899798

嘉賓評分的平均數(shù)為場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為最，則下列選項

正確的是（）

.-X,+X,?-X,+X,--X+X,n———％+X,

A.X-------B.x>—-------C.x<--------------------D.%.>%,>x>-1----

2222

qinx

4.已知函數(shù)/'（x）=———的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合

1+2sinx

的變換方式有（）

Ji

川

①繞著X軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)18（）。；

②沿x軸正方向平移；

③以x軸為軸作軸對稱；

④以x軸的某一條垂線為軸作軸對稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

5.在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工

作，則不同的選法共有（）

A.60種B.70種C.75種D.150種

（1y

6.1%—亍J的二項展開式中，Y的系數(shù)是（）

A.70B.-70C.28D.-28

7.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為4=2〃+2,將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記d為數(shù)陣從左至右的〃列,

從上到下的〃行共小個數(shù)的和，則數(shù)列〈7-的前2020項和為()

1011201920201010

C.----D.----

2020,202020212021

8.已知集合4=｛》|一2<%<3,》6?7｝,8=卜'|》2>1｝4，則集合()

A.{2}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,0,1,2}

9.點(diǎn)M在曲線G:y=31nx上，過M作x軸垂線/,設(shè)/與曲線y=」交于點(diǎn)N,OP=°M+°^，且2點(diǎn)的縱坐

x3

標(biāo)始終為0,則稱M點(diǎn)為曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”，則曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

10.設(shè)(l+?z=l—i,則復(fù)數(shù)z的模等于()

A.y[2B.2c.1D.百

滿足三=5—i,貝Uz=(

11.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z)

1+21

A.1+iB.-1+ic.l-2iD.l+2i

12.已知數(shù)列｛4｝滿足4+4生+7q+…+(3〃-2)《,=4〃，則a2a3+44+…+沏%=<)

5355

A.-B.—C.—D.一

8442

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=Acos2(3x+e)+l(A>0,6y>0,0<e<|^的最大值為3,7(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則/(1)+/(2)+…+/(2015)=

14.已知x〉0,>>0,x+3y=5xy,則x+2y的最小值是

x=T

x-3s2

在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為〈

15.xOy。為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為r(?、為

y=2yj3s

y=2

參數(shù)).

(1)求直線/和曲線C的普通方程；

(2)設(shè)P為曲線C上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線/距離的最小值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo).

16.某校13名學(xué)生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級別從小到大共9種，分

別為士兵、排長、連長、營長、團(tuán)長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一組.

如果2人一組，則必須角色相同；如果3人一組，則3人角色相同或者3人為級別連續(xù)的3個不同角色.已知這13名學(xué)

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，現(xiàn)在新加入1名學(xué)生，將這14名學(xué)生分成5組進(jìn)行游戲，則新

加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S,和通項4滿足2s“+a“=l(”eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)已知數(shù)列｛%｝中，4=3弓，bil+l=bn+\(neN),求數(shù)列｛%+2｝的前〃項和

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=K+lnx.

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)+(a—l)lnx的圖象與x軸有且只有一個公共點(diǎn)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(x)—(2/篦—l)x<(l—⑸/對任意xe(l,+o))成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

19.(12分)2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2023年北京冬奧會，增強(qiáng)身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從

速滑項目中隨機(jī)選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機(jī)構(gòu)對他們的鍛煉成果進(jìn)行評估打分(滿分為100分)并且認(rèn)為

評分不低于80分的參與者擅長冰上運(yùn)動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(2)將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運(yùn)動進(jìn)行統(tǒng)計，請將下列2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯

錯誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系？

擅長不擅長合計

男性30

女性50

合計100

2

P(K>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be)2

其中“=a+Z?+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(12分)如圖，已知E,尸分別是正方形ABC。邊BC,CO的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)。，PA,NC都垂直

于平面ABCD,且Q4=AB=4，NC=2,M是線段上一動點(diǎn).

(1)當(dāng)MO_L平面EKV,求的值；

(2)當(dāng)M是Q4中點(diǎn)時，求四面體M-EFW的體積.

InV4-〃丫

2L(12分)2知函數(shù)/(x)=,,aeR

e

(1)若函數(shù)y=/(x)在x=%(ln2<x()<ln3)處取得極值1,證明：2<。<3-七

(2)若/(x),,x-4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

e

22.(10分)每年3月20日是國際幸福日，某電視臺隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,

用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù)，結(jié)果見如圖所示莖葉圖，其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為

葉.若幸福度不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“很幸?！?

幸超Jtt

?I30

X2I43OR5675

91756543

(I)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；

(II)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),

求X的分布列及E(X).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由題，可求出AO=1,CO=6,所以4月=2OC，根據(jù)共線定理，設(shè)麗=4或(0領(lǐng)兌1),利用向量三角形法則求

出AE=(1-j]AB+2A。，結(jié)合題給AE=xA6+yAO,得出x=l—g,y=4,進(jìn)而得出孫=(1—萬)％,最后

利用二次函數(shù)求出盯的最大值，即可求出|通上.

【詳解】

由題意，直角梯形ABCD中，ABAD=0'NB=30。，AB=20BC=2,

可求得AD=1,CO=J5,所以A*=2。(>

?.?點(diǎn)￡在線段上，設(shè)屁=4就(0^1兌1),

貝配二通+屁=通+建心二通+久麗+正+西

=(l-2)A5+AAD+2DC=fl-|LjAB+2AD,

即在=荏+2而，

又因為題=萬而+)，而

所以x=l-G，y=%,

2

所以孫=[1—1)2—1]=_；(2_1)2+；,,J,

\乙J乙乙乙乙

當(dāng)4=1時，等號成立.

所以|通|=|，A月+A方|=2.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理，以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.

2.C

【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體，圓錐底面半徑為r=乎+(迪)2，圓錐的高h(yuǎn)=J(3后-32，截去

的底面劣弧的圓心角為與，底面剩余部分的面積為S=1三乃/+J_產(chǎn)$泊空，利用錐體的體積公式即可求得.

32323

【詳解】

由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為r=3?+(股了=6,圓錐的高/z=H豆二7=6,圓錐母線

I=762+62=672＞截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

。。。1c

S=-7rr2+—r2sin—=—^x62+—x62xsin—=24乃+9>/3,故幾何體的體積為:

323323

V=lsA=1x(24^+9>/3)x6=48^+18x/3.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題，考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，難度一般.

3.C

【解析】

計算出X、石，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

96+95+96+89+97+98

由表格中的數(shù)據(jù)可知，X,b93.1/9

6

由頻率分布直方圖可知，x2=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則1＞兀,

由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，高＜捻＜±±±＜(.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

計算得到/(x+2br)=/(x),/(三一j=/[f+犬)，故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像

知①③錯誤，得到答案.

【詳解】

f(x)=sinx,小+2丘)=豆叱產(chǎn)⑸sinx=丘z,

14-2siru:l+2sin(x+2Z;r)1+2sinx

當(dāng)沿x軸正方向平移個單位時，重合，故②正確;

COSX

l+2cosx

故/=+,函數(shù)關(guān)于X=]對稱，故④正確；

根據(jù)圖像知：①③不正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.

5.C

【解析】

根據(jù)題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計數(shù)原

理計算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有C；=15種取法，

從5名女干部中選出1名女干部，有C；=5種取法，

則有15x5=75種不同的選法；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

試題分析：由題意得，二項展開式的通項為卻1=黑f一(_、=)「令8_|〃=2=尸=4,所以的

系數(shù)是(-1)4C；=70,故選A.

考點(diǎn)：二項式定理的應(yīng)用.

7.D

【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為C；,可得q=a,+aM+...+?n+l_,.=〃(〃+萬+1),繼而可求解

、n1

么=q+C2+…+q,=2/r(〃+l),表示廠=丁二￡，裂項相消即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)每一行的和為q

故q=q+4+]+…+?！?i=〃伽+21+1)

因此：bn=G+。2+.??+%=〃[(〃+3)+(〃+5)+.??+(〃+2〃+1)]=+

1

=1(1—L)

bn2n(n+1)2n〃+1

…11111111、1010

故S)O2()二—(1-----1--------------------------------x)=—Z1(1---------)=------

2020222320202021220212021

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

8.A

【解析】

化簡集合A,B,按交集定義，即可求解.

【詳解】

集合4={》|一2<%<3,》€(wěn)"}={0,1,2},

8={x[x>l垢<—1},則4口6={2}.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

則麗=*2t1球+11],即可得111，+；=0,設(shè)8"）=出/+；,利用導(dǎo)函數(shù)判斷網(wǎng)7）的零

J/JIDI

點(diǎn)的個數(shù)，即為所求.

【詳解】

設(shè)"”,31皿則?。唬┧挂喳?絲羅L仔,3+5）,

依題意可得ln/+^=O,

設(shè)g（”1nq，則g，⑴=；.卜竽,

當(dāng)0<f<；時,g'⑺<0，則g⑺單調(diào)遞減；當(dāng)f>g時,g'Q）>0，則g⑺單調(diào)遞增,

所以g⑺mm=g]￡|=lTn3<0,且g(5)=—2+?>0,g⑴=；>0,

g⑺=In/+[=0有兩個不同的解，所以曲線G上的“水平黃金點(diǎn)”的個數(shù)為2.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.

10.c

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.

【詳解】

因為+=

所以z-=W=T,

由復(fù)數(shù)模的定義知,|z|=J國=1.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為彳=一*一+『，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出z.

l+2z

詳解：由題設(shè)有5=二一+7=1—2i+i=l—i,故z=l+i,故選A.

l+2z

點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共物復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

利用（3〃-2）風(fēng)的前八項和求出數(shù)列｛（3〃-2）a,J的通項公式，可計算出凡，然后利用裂項法可求出

a2a3+a3a4---卜a21a22的值.

【詳解】

?.?々I+4%+7/H---n（3〃-2）a〃=4〃.

當(dāng)〃=1時，4=4；

當(dāng)〃之2時，由4+44+74+???+（3〃-2）?！?4〃,

可得4+4%+7/+???+（3〃—5）?4_]=4（〃—1），

兩式相減，可得（3〃-2）q=4,故/=5三，

4

因為q=4也適合上式，所以。“二^-

3n-2

-1616rli、

依題意，an+lan+2=^———J,

Ml5

故生的+。3。4+,?，+%］。22

3(44

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用S,,求見,同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4030

A+l=3

AAAA

【解析】/(x)=Acos2(<ar+^)+1=—cos(2<U￥+2^)+y+1,由題意，得，/(0)=5cos2夕+5+1=0,

1—三

5一五一

A=2

IT

解得\(P=—則小)9令+9+2=2-嗚x的周期為4,且〃。)=2"。)="⑵=2J⑶=3,所

4

4

(0--

乃

以/(1)+〃2)+/(3)+.?.+/(2015)=503x8+/(I)+/(2)+/(3)=4030.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

14,亞+1.

5

【解析】

\(13、

因為工+2丁=二-+-(x+2y),展開后利用基本不等式，即可得到本題答案.

51yX)

【詳解】

13「

由x+3y=5孫，得一+—=5,

y%

[2

所以x+2y=((13)*卜*2屬)2

—I—(x+2y)----F1,當(dāng)且僅當(dāng)X=y/6y9取等號.

㈠x)

故答案為：巫+1

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.

15.(1)%-百＞+8=0,：/=4%；(2)(3,20).

【解析】

(1)利用代入消參的方法即可將兩個參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；

(2)利用參數(shù)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題，即可求得.

【詳解】

(1)直線/的普通方程為x-百y+8=0.

在曲線C的參數(shù)方程中，y2=12s2=4x,

所以曲線C的普通方程為y2=4x.

(2)設(shè)點(diǎn)P(3s2,2jls).

點(diǎn)P到直線/的距離d=性2-6S+8|=3(")上.

22

當(dāng)5=1時，4訕=1,所以點(diǎn)P到直線/的距離的最小值為!■.

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2百).

【點(diǎn)睛】

本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題，屬中檔題.

16.9

【解析】

對新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，分析各種情況下14個學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

依題意，14名學(xué)生分成5組，則一定是4個3人組和1個2人組.

①若新加入的學(xué)生是士兵，則可以將這14個人分組如下；3名士兵；士兵、排長、連長各1名；營長、團(tuán)長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對稱性可知也可以是司令；

②若新加入的學(xué)生是排長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；連長、營長、團(tuán)長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名排長.所以新加入的學(xué)生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長；

③若新加入的學(xué)生是連長，則可以將這14個人分組如下：2名士兵；士兵、排長、連長各1名；連長、營長、團(tuán)長各1

名；旅長、師長、軍長各1名；3名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長，由對稱性可知也可以是師長；

④若新加入的學(xué)生是營長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；營長、團(tuán)長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營長，由對稱性可知也可以是旅長；

⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名團(tuán)長.所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長.

綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演9種角色.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是對新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑴%=出⑵小*+“+1)-

【解析】

(1)當(dāng)“22時，利用q=S“-可得上J=1(〃N2),故可利用等比數(shù)列的通項公式求出｛%｝的通項.

an-\§

(2)利用分組求和法可求數(shù)列｛an+bn｝的前〃項和T?.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時，2S1+q=l,所以4=；,

當(dāng)“22時，2s,+4=1,①

2s②

所以2(S「S,i)+a“一a,i=0,

即3a“=a“_|,又因為故a”手°,所以烏-=；(〃22),

a

3n-\$

所以｛《,｝是首項4=g,公比為;的等比數(shù)歹！J,

故?！?—x-=—(nGN).

3UJuJ')

(2)由="+1得：數(shù)列也｝為等差數(shù)列，公差d=l,

h}=3x—=1,2=1+(〃—l)xl=〃，

<=(4+4)+3+4)+,??+(%+〃)

=(4+/+…+4,)+3+4+…+〃)

H

=Sn+(1+2---

_⑴〃(〃+i)n

-I

22

=g(〃2+〃+i)m(〃WN)

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項與求和，注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組

求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么

用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.

18.(1)?>0或a=-2e}(2)[-1,0]

【解析】

(1)求出g(x)及其導(dǎo)函數(shù)g'(x),利用g'(x)研究g(x)的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得。的范

圍.

(2)令〃(x)=/(x)—(2/"+l)x—(1—/I?)/=g2_(27〃+i)x+]nx,題意說明xe(l,+8)時，〃(x)<0恒成立.

同樣求出導(dǎo)函數(shù)〃'(X),由月(尤)研究/?(?的單調(diào)性，通過分類討論可得/2。)的單調(diào)性得出結(jié)論.

【詳解】

解(1)函數(shù)g(x)=/(x)+(a—+l)lnx=alnx+x2

~,a2x2+a

所以g(x)=—+2x=---------

xx

討論：

①當(dāng)a=0時，g(x)=f(x>0)無零點(diǎn)；

②當(dāng)a>0時，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+紇)上單調(diào)遞增.

(\2/

取尤貝Ug=-1+ea-l+(/?)2<0

\7\7

又g(l)=l,所以g?W(1)<0,此時函數(shù)g(x)有且只有一個零點(diǎn);

7

a

③當(dāng)。<0時，令g'(x)=O,解得x一鼻(舍)或“

2

當(dāng)0<尤<J—］時，g'(x)<o,所以g(x)在o,j-a|上單調(diào)遞減;

2

「?，+8上單調(diào)遞增.

當(dāng)x〉J—段時,8'(幻>0所以8(力在

'a=aln^-^-^=0,所以(舍)或〃=-2e

據(jù)題意，得gQ=0

綜上，所求實數(shù)。的取值范圍為{《a>0或a=-2e}.

(2)令/z(x)=/(x)-(2根+1)%-(1一m)]2=如2-(2m+])x+]n],根據(jù)題意知，當(dāng)x￡(l,xo)時，/z(x)<0恒

成立.

又"(x)=2機(jī)X—(2根+1)+』=JT)(2〃吠T)

XX

討論:

①若0</〃<,，則當(dāng)xe白+8上是增函數(shù).

時，〃(x)>0恒成立，所以〃(x)在

22m)

2m+1

又函數(shù)G(x)=zra;2-(2加+1卜在-----,+oo上單調(diào)遞增，"(x)=lnx在((),+e)上單調(diào)遞增，所以存在

2m

%€(0,+8)使/?*)>0,不符合題意.

②若加23,則當(dāng)XG(l,+8)時，〃(X)>0恒成立，所以力(X)在(1,芹)上是增函數(shù)，據(jù)①求解知,

加21不符合題意.

③若加<0,則當(dāng)X€(l,+8)時，恒有〃(x)<0,故〃(X)在(1,+8)上是減函數(shù)，

于是“h(x)<0對任意xG(1,+8)成立”的充分條件是“/i(l)<0”，即m—(2加+1)K0,

解得m2-1,故一IVmWO

綜上，所求實數(shù)機(jī)的取值范圍是[-1,0].

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，考查不等式恒成立問題，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.解題關(guān)鍵是通過分類討論研究函數(shù)

的單調(diào)性.本題難度較大，考查掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.

19.(1)加=0.025(2)填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系

【解析】

(1)利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為1列方程，解方程求得機(jī)的值.

(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計算出K?的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰

上運(yùn)動與性別有關(guān)系.

【詳解】

(1)由題意(0.005x2+0.015+0.02+^+0.03)x10=1,解得加=0.025.

(2)由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運(yùn)動的人數(shù)為(0.025+0.003)x10x1(X)=30.

完善列聯(lián)表如下：

擅長不擅長合計

男性203050

女性104050

合計3070100

2

2n(ad-bcY100x(800-300),“c

A=--------------------------------------=---------------------------p4.762,

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)50x50x30x70

對照表格可知，4.762<6.635,

不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計算小長方形的高，考查2x2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗，屬于基礎(chǔ)題.

20.(1)AM:MP=3.(2)—

3

【解析】

(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出MO_LQN,進(jìn)而得出△M4O?△OCN,利用相似三角形的性質(zhì)，得出AM，從而

得出AM:MP的值；

(2)利用線面垂直的判定定理得出所，平面ACN,進(jìn)而得出四面體M-EF7V的體積計算出

EF,S.MON，即可得出四面體M—EFN的體積?

【詳解】

(1)因為MO_L平面EFN,ONu平面EFN,所以MO工ON

又因為Q4,NC都垂直于平面ABC。，所以△M40?△0C7V

又E,產(chǎn)分別是正方形ABC。邊BC,CD的中點(diǎn)，且Q4=AB=4，NC=2

所以包=四=翠=述=.

=3

OCNCV22

(2)因為E,b分別是正方形4BC。邊BC,CO的中點(diǎn)，所以EFLAC

又因為Q4,NC都垂直于平面ABC。，EFu平面ABCD,所以EF工CN

因為ACcNC=C,AC,NCu平面ACN,所以放_L平面ACN

所以，四面體M—E/W的體積

=x

EF=2-^2?S^MON-4>/2x2=45/2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.

21.(1)證明見詳解；(2)(-8,1]

【解析】

(1)求出函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x),由f(x)在x=/處取得極值1,可得/(%)=0且=1.解出

611

a=e"-一，構(gòu)造函數(shù)r(?=/—上(x>0),分析其單調(diào)性，結(jié)合In2</<In3,即可得到。的范圍，命題得證;

xox

(2)由/(x),,x-4分離參數(shù)，得到%/-叱-1恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e，—叱―工，求導(dǎo)函數(shù)

exxxx

x2e'+Inx+'.由x>0知/(x)>0,

g'(x),再構(gòu)造函數(shù)/?(x)=x2/+lnx,進(jìn)行二次求導(dǎo)

X2x

則h(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知h(x)有唯一零點(diǎn)%,,且;<%<1.由此判斷出xe(0,玉)時,

g(x)單調(diào)遞減，%€(看,+00)時，g(x)單調(diào)遞增，貝UgOOndn=g(xj，即倜，e*一見五一-■.由〃(g)=0得

x\x\

1

—,再次構(gòu)造函數(shù)-x)=x"(x>0),求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得玉=-111不，即e一,最終求得

王

g(3)=l,則0nl.

【詳解】

+Q(lnX+ar)

解：(1)由題知，y(x)=x-

ex

?.?函數(shù).v=/(x)在x=x°,處取得極值1,

1

--FCL-(lnx°+叫)且/伉)=Inx+ax

001,

???小)=工-Ue°

do

:.—+a=]nxa+axa=e

令?x)="_工(％>0),貝!)/(%)=k+與>0

XX

???"%)為增函數(shù),

0<In2<x0<In3

r(ln2)<a<r(ln3),即2———<a<3——成立.

In2In3

(2)不等式./'(%)<x-5恒成立，

即不等式加"—In九—or21恒成立，即4,--------恒成立,

x