全國通用版講義第3章 基本初等函數(shù)Ⅰ3-2-3

3.2.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反函數(shù)的概念，理解互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系.2.知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，明確它們的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)一反函數(shù)思考函數(shù)y＝5x與y＝eq\f(1,5)x的關(guān)系是什么？答案由y＝5x得x＝eq\f(1,5)y，把y＝5x中的自變量x和因變量y互換即得y＝eq\f(1,5)x.梳理反函數(shù)的概念(1)定義：把函數(shù)f(x)的因變量作為新函數(shù)的自變量，把函數(shù)f(x)的自變量作為新函數(shù)的因變量，稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)．(2)記法：函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)為y＝f－1(x)．知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系思考指數(shù)函數(shù)y＝2x與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x互為反函數(shù)嗎？它們的圖象有什么關(guān)系？答案是，關(guān)于y＝x對(duì)稱．梳理指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)關(guān)系：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)互為反函數(shù)．(2)圖象特征：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱．(3)單調(diào)性：在區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝2x隨著x的增長函數(shù)值的增長速度逐漸加快，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的增長速度逐漸變得很緩慢．1．y＝ax與x＝logay的圖象相同．(√)2．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(√)3．y＝ax與y＝logax的單調(diào)區(qū)間相同．(×)類型一求反函數(shù)例1寫出下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y＝lgx；(2)；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x.解(1)y＝lgx(x>0)的底數(shù)為10，它的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y＝10x(x∈R)．(2)(x>0)的底數(shù)為eq\f(1,3)，它的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈R)．(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x(x∈R)的底數(shù)為eq\f(2,3)，它的反函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logx(x>0)．反思與感悟求給定解析式的函數(shù)的反函數(shù)的步驟(1)求出原函數(shù)的值域，這就是反函數(shù)的定義域；(2)從y＝f(x)中解出x；(3)x，y互換并注明反函數(shù)的定義域．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y＝3x－1；(2)y＝x3＋1(x∈R)；(3)y＝eq\r(x)＋1(x≥0)；(4)y＝eq\f(2x＋3,x－1)(x∈R，x≠1)．解(1)由y＝3x－1，得x＝eq\f(1,3)(y＋1)，即所求反函數(shù)為y＝eq\f(1,3)(x＋1)，x∈R.(2)函數(shù)y＝x3＋1的值域?yàn)镽，x3＝y(tǒng)－1，x＝eq\r(3,y－1)，所以反函數(shù)為y＝eq\r(3,x－1)(x∈R)．(3)函數(shù)y＝eq\r(x)＋1(x≥0)的值域?yàn)閥≥1，由eq\r(x)＝y(tǒng)－1，得x＝(y－1)2，所以反函數(shù)為y＝(x－1)2(x≥1)．(4)因?yàn)閥＝eq\f(2x＋3,x－1)＝eq\f(2x－2＋5,x－1)＝2＋eq\f(5,x－1)，所以y≠2，由eq\f(5,x－1)＝y(tǒng)－2，得x＝1＋eq\f(5,y－2)＝eq\f(y＋3,y－2)，所以反函數(shù)為y＝eq\f(x＋3,x－2)(x≠2)．類型二反函數(shù)的應(yīng)用例2已知函數(shù)y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的圖象過點(diǎn)(1,4)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,0)，求a，b的值．解∵y＝ax＋b的圖象過點(diǎn)(1,4)，∴a＋b＝4.①又∵y＝ax＋b的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,0)，∴點(diǎn)(0,2)在函數(shù)y＝ax＋b的圖象上．a(chǎn)0＋b＝2.②聯(lián)立①②，得a＝3，b＝1.反思與感悟互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱是反函數(shù)的重要性質(zhì)，由此可得互為反函數(shù)圖象上任一成對(duì)的相應(yīng)點(diǎn)也關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)y＝f(x)圖象上，則點(diǎn)(b，a)必在其反函數(shù)y＝f－1(x)圖象上．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝ax－k的圖象過點(diǎn)(1,3)，其反函數(shù)y＝f－1(x)的圖象過(2,0)點(diǎn)，則f(x)的表達(dá)式為________．答案f(x)＝2x＋1解析∵y＝f－1(x)的圖象過(2,0)，∴(2,0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)(0,2)一定在f(x)＝ax－k上，又(1,3)也在函數(shù)f(x)＝ax－k上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－k＝2，,a1－k＝3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,a＝2，))∴f(x)＝2x＋1.類型三指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例3已知f(x)＝eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)＝0.(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函數(shù)；(3)對(duì)任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2eq\f(1＋x,k).解(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).因?yàn)閒(x)＋f(－x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(1－2x,1＋2x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)為奇函數(shù)．(2)因?yàn)閒(x)＝y(tǒng)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，所以2x＝eq\f(1＋y,1－y)(－1＜y＜1)，所以f－1(x)＝log2eq\f(1＋x,1－x)(－1＜x＜1)．(3)因?yàn)閒－1(x)＞log2eq\f(1＋x,k)，即log2eq\f(1＋x,1－x)＞log2eq\f(1＋x,k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)＞\f(1＋x,k)，,－1＜x＜1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1－k，,－1＜x＜1，))所以當(dāng)0＜k＜2時(shí)，原不等式的解集為{x|1－k＜x＜1}；當(dāng)k≥2時(shí)，原不等式的解集為{x|－1＜x＜1}．反思與感悟(1)明確求反函數(shù)的方法，注意在求反函數(shù)時(shí)一定要標(biāo)明定義域．(2)要注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是一對(duì)反函數(shù)的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)方程2x＋x－3＝0的根為a，方程log2x＋x－3＝0的根為b，求a＋b的值．解將方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如圖可知，a是指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象與直線y＝－x＋3交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，b是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象與直線y＝－x＋3交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．由于函數(shù)y＝2x與y＝log2x互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，由題意可得出A，B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(a，b)，B(b，a)．而A，B都在直線y＝－x＋3上，∴b＝－a＋3(A點(diǎn)坐標(biāo)代入)，或a＝－b＋3，故a＋b＝3.1．函數(shù)y＝x＋2，x∈R的反函數(shù)為()A．x＝2－yB．x＝y(tǒng)－2C．y＝2－x，x∈RD．y＝x－2，x∈R答案D2．函數(shù)y＝－eq\r(1－x)(x≤1)的反函數(shù)是()A．y＝x2－1(－1≤x≤0)B．y＝x2－1(0≤x≤1)C．y＝1－x2(x≤0)D．y＝1－x2(0≤x≤1)答案C解析∵x≤1，∴－x≥－1,1－x≥0，∴eq\r(1－x)≥0，∴－eq\r(1－x)≤0，∴y≤0.原函數(shù)的值域應(yīng)與反函數(shù)的定義域相同，∴選項(xiàng)中只有C的定義域滿足小于等于0.3．函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過第三、四象限，則y＝f－1(x)的圖象經(jīng)過()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限答案B解析因?yàn)榈谌?、四象限關(guān)于y＝x對(duì)稱的象限為第三、二象限，故y＝f－1(x)的圖象經(jīng)過第二、三象限．4．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，則f－1(4)等于()A.eq\r(2)B．1－eq\r(2)C．－eq\r(2)D.eq\r(2)－2答案C解析∵f(x－1)＝(x－1)2＋2(x≤1)，∴f(x)＝x2＋2(x≤0)，∴f－1(x)＝－eq\r(x－2)，∴f－1(4)＝－eq\r(2).5．若函數(shù)y＝f(x)的圖象和函數(shù)y＝log3x(x＞0)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f(x)＝________.答案3x解析∵y＝f(x)與y＝log3x(x＞0)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∴f(x)＝3x.1．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)．它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．2．反函數(shù)的性質(zhì)(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，說明y＝f(x)的反函數(shù)是它本身，如反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x).(2)若函數(shù)y＝f(x)上有一點(diǎn)(a，b)，則(b，a)必在其反函數(shù)圖象上，反之若(b，a)在反函數(shù)圖象上，則(a，b)必在原函數(shù)圖象上．3．反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，并不一定是使反函數(shù)有意義的所有x的集合．一、選擇題1．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(a)，a)，則f(x)等于()A．log2xB．C.eq\f(1,2x)D．x2答案B解析∵函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，∴f(x)＝logax，∵f(x)＝logax的圖象經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(a)，a)，∴l(xiāng)ogaeq\r(a)＝a?a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝logx.2．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域?yàn)?)A．(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)答案C解析y＝f－1(x)的定義域即為原函數(shù)的值域，∵3x＋1＞1，∴l(xiāng)og2(3x＋1)＞0.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的圖象過點(diǎn)(2,1)，其反函數(shù)圖象過點(diǎn)(2,8)，則a＋b等于()A．6B．5C．4D．3答案C解析由題意知，f(x)＝loga(x＋b)的圖象過點(diǎn)(2,1)和(8,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＋b＝1，,loga8＋b＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2＋b，,a2＝8＋b.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))∴a＋b＝4.4．設(shè)a＞0，且a≠1，函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝bx的反函數(shù)分別是f－1(x)和g－1(x)．若lga＋lgb＝0，則f－1(x)與g－1(x)的圖象()A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于y＝x對(duì)稱答案A解析由lga＋lgb＝0，得b＝a－1，∴f(x)＝ax，g(x)＝a－x.其反函數(shù)分別為f－1(x)＝logax，g－1(x)＝－logax，∴f－1(x)與g－1(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝g(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，而函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，若f(m)＝－1，則m的值為()A．－eB．－eq\f(1,e)C．eD.eq\f(1,e)答案B解析由題意知y＝g(x)應(yīng)為y＝ex的反函數(shù)，即g(x)＝lnx．由y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故可得f(x)＝ln(－x)．又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即m＝－eq\f(1,e).6．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，f－1(2)＜0，則f－1(x＋1)的圖象可能是()答案A解析f(x)＝a－x，f－1(x)＝－logax，由f－1(2)＜0，即－loga2＜0，loga2＞0，所以a＞1.f－1(x＋1)＝－loga(x＋1)(a＞1)，過(0,0)點(diǎn)．二、填空題7．已知f(x5)＝log2x，則f(2)＝________.答案eq\f(1,5)解析設(shè)t＝x5，則x＝t，∴f(t)＝log2t＝eq\f(1,5)log2t，∴f(2)＝eq\f(1,5)log22＝eq\f(1,5).8．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，則f－1(x)的定義域是________．答案[3，＋∞)解析f－1(x)的定義域?yàn)閒(x)的值域，∵x≥1，∴l(xiāng)og2x≥0，∴l(xiāng)og2x＋3≥3，∴f－1(x)的定義域?yàn)閇3，＋∞)．9．已知f(x)＝eq\f(x－3,a)(a＞0)，若f－1(x)的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，\f(4,a)))，則f(x)的定義域是________．答案[4,7]解析f－1(x)的定義域即為f(x)的值域，∴eq\f(1,a)≤eq\f(x－3,a)≤eq\f(4,a).又a＞0，∴4≤x≤7.∴f(x)的定義域?yàn)閇4,7]．10．已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)g(x)＝1＋2lgx(x＞0)，則f(1)＋g(1)＝________.答案2解析令g(x)＝1，則2lgx＝0，∴x＝1，即g(1)＝1.∵f(x)與g(x)互為反函數(shù)，∴f(1)＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.11．對(duì)任意不等于1的正數(shù)a，函數(shù)f(x)＝loga(x＋3)的反函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．答案(0，－2)解析當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)＝loga(－2＋3)＝0，∴f(x)恒過點(diǎn)(－2,0)，即反函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)P(0，－2)．三、解答題12．求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)f(x)＝eq\f(1,2x＋1)；(2)f(x)＝1－eq\r(1－x2)(－1≤x＜0)．解(1)設(shè)y＝f(x)＝eq\f(1,2x＋1)，則y≠0.由y＝eq\f(1,2x＋1)，解得x＝eq\f(1－y,2y).∴f－1(x)＝eq\f(1－x,2x)(x≠0)．(2)設(shè)y＝f(x)＝1－eq\r(1－x2).∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1.由y＝1－eq\r(1－x2)，解得x＝－eq\r(2y－y2).∴f－1(x)＝－eq\r(2x－x2)(0＜x≤1)．13．函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)，求a的取值范圍．解若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)，則f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，f(x)＝x2－2ax－3的對(duì)稱軸是x＝a，要使