導數(shù)系列：一類以自然指數(shù)對數(shù)為背景的導數(shù)壓軸題解法教師版

自然指數(shù)和對數(shù)為背景的壓軸題解法注:本文以目前數(shù)學成績在一本線上下的學子的數(shù)學水準，進行展開講解。根據(jù)“遺傳學規(guī)律”明年全國乙卷再次考到的可能性極大，打出來給學生將保準學生橫掃此類壓軸題！源于課本：1-1課本99頁B組1題或課本2-2第32頁B組1題的習題：利用函數(shù)的單調性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗證：；【探究拓展】探究1：證明不等式*變式1：設，其中若對于任意，恒成立，則參數(shù)的取值范圍是_________變式2：設，其中，若對于任意，恒成立，則參數(shù)的取值范圍是_________變式3：設，其中，若對于任意，恒成立，則參數(shù)的取值范圍是_________點評：太巧了：增之一分則太肥，減之一分則太瘦......探究2：不等式*有哪些等價變形并在坐標系中畫圖變形1：變形2：變形3：變形4：*變形5：變形6：歸一：我們只要通過畫圖并記住*,*即可，考試出現(xiàn)了其它變形換元轉化為這2個不等式即可。探究3：觀察：“插中”不等式（當然是我編的名字）變形4：*變形6：*兩式相加除以2，結論：“插中”不等式*:若，則；若則請在坐標系中畫出圖像：這個圖像很漂亮，容易記住。點評：數(shù)學很美，插中不等式很明顯是加強，更加精準了，在高考中經(jīng)?？嫉剑罂?..總結：*,*“插中”不等式*，以上三式都是將自然指數(shù)和對數(shù)放縮為我們更加熟悉的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)進行放縮處理。題型一：化歸為指數(shù)型放縮例1（2010年全國）設函數(shù)。（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若時，求的取值范圍。（提示：）解：（1）時，，.當時，；當時，.故在單調減少，在單調增加（2）由（I）知，當且僅當時等號成立.故 ，從而當，即時，，而，于是當時，. 由可得.從而當時， ，故當時，，而，于是當時，. 綜合得的取值范圍為.練習1：（2012年全國）已知函數(shù)，（1）求的解析式及單調區(qū)間；（2）若求的最大值。（很簡單，省略）練習2：（2013年全國）已知函數(shù)當時，證明（很簡單，省略）練習3：（2016年廣一模）已知函數(shù)。1）若曲線在點處的切線斜率為1，求實數(shù)m的值。2）當時，證明：。（2016年廣二模也有用到）練習4：已知函數(shù).⑴求函數(shù)的最小值；⑵若≥0對任意的恒成立，求實數(shù)a的值；⑶在⑵的條件下，證明：.解：（1）由題意，由得. 當時,；當時，. ∴在單調遞減，在單調遞增. 即在處取得極小值，且為最小值， 其最小值為 （2）對任意的恒成立，即在上，. 由（1），設，所以. 由得. ∴在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減， ∴在處取得極大值. 因此的解為，∴.（3）由（2）知，因為，所以對任意實數(shù)均有，即.令，則.∴.∴.練習5：已知函數(shù)=，其中a≠0.（1）若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1，x2），使成立若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）若，則對一切，，這與題設矛盾，又，故.而令當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時，取最小值于是對一切恒成立，當且僅當.①令則當時，單調遞增；當時，單調遞減.故當時，取最大值.因此，當且僅當即時，①式成立.綜上所述，的取值集合為.（2）由題意知，令則令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即從而，又所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且.故當且僅當時，.綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉化與劃歸思想等數(shù)學思想方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x)1恒成立轉化為，從而得出a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，通過構造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調性及最值來進行分析判斷.練習4：（2012年山東）已知函數(shù)，曲線在點處的切線與x軸平行。1）求k的值；2）求的單調區(qū)間；3）設其中為的導函數(shù)，證明：對任意。（答案略）例2、(2011年湖北）已知函數(shù)求函數(shù)的最大值；2）設均為正數(shù)，證明：若，則（提示：）解：（1）的定義域為，令，在上遞增，在上遞減，故函數(shù)在處取得最大值（2）由（Ⅰ）知當時有即，∵，∴∵∴即練習1:（2006年全國）函數(shù)，若對所有的都有成立，求實數(shù)的取值范圍。（很簡單，省略）練習2：已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）證明：.解：（Ⅰ），,題設等價于.令，則當，；當時，，是的最大值點，綜上，的取值范圍是.(Ⅱ)有（Ⅰ）知，即.當時，；當時，練習3：（2014年陜西）設函數(shù)其中是的導函數(shù)。若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（很簡單，省略）練習4：（2011浙江理22,替換構造）已知函數(shù).⑴求的單調區(qū)間和極值；⑵求證：.解：⑴定義域為,.令，令故的單調遞增區(qū)間為，的單調遞減區(qū)間為 的極大值為⑵證明：要證即證，即證即證令，由⑴可知在上遞減，故即，令，故累加得，故，得證法二：=，其余相同證法練習5：已知函數(shù) （1）求函數(shù)的極值點。（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍。（3）證明：.解：(1)的定義域為（1，+∞），.當時，，則在（1，+∞）上是增函數(shù)。在（1，+∞）上無極值點.當時，令，則.所以當時，，∴在上是增函數(shù)，當時，，∴在上是減函數(shù)。∴時，取得極大值。綜上可知，當時，無極值點；當時，有唯一極值點.(2)由(1)可知，當時，，不成立.故只需考慮.由(1)知，，若恒成立，只需即可，化簡得：,所以的取值范圍是[1，+∞）.(3)由(2)知，∴.∴練習6：已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調區(qū)間；⑵若≤0恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；⑶證明：①當時，；②.解：⑴函數(shù)的定義域為中，. 當≤0時，，則在上是增函數(shù). 當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).⑵由⑴知，當≤0時，在上是增函數(shù).而，≤0不成立.當時，由⑴知，要使≤0恒成立，則≤0，解得≥1.⑶①由⑵知當時，有在上恒成立，且在是減函數(shù). 又，∴當時，，即. ②令則即，從而. ∴成立.例3、（2010湖北）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.⑶.解：本題主要考察函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎知識，同事考察綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想。⑴，則有，解得.⑵由⑴知，，令，則，①當，若，則，是減函數(shù)，所以，故在上恒不成立。②時，若，故當時，。綜上所述，所求的取值范圍為⑶由⑵知：當時，有.令，有當時，令，有 即，將上述個不等式依次相加得,整理得.練習1：已知的圖像在點處的切線與直線平行.（1）求a，b滿足的關系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證