第講 數(shù)學：微分學六新

（五）例題【解】屬型，運用羅必塔法則，得【解】屬型，運用羅必塔法則，得【解】屬0·型，通過變形化為，然后運用羅必塔法則，得?！窘狻繉?0型，先取對數(shù)，求：于是算【窩稼例怖1-2禿-37共睛】倘含紡已知函裕數(shù)朽y=f慰女（爽x汽冰）對一噸切夾x姿號滿餅足饒xf愁’’渣儀（撲x冠繁）橡+3x待[f'療虛（音x猴增）商]犬2滅=1-持先，統(tǒng)若賴f'惱銅（指x錦0熱）玉=0哀馬（志x丙0召0歉懼）雁救，則攝（普A尾戀）咽f到木（善x秧o輩勉）疫是炮f甘售（掌x治怪）的極大值調(diào)辱（陷B鍬詢）滋f蜜（陶x刮o掉許）型是捐f險銹（聽x巷）的極小值煉昆（寒C槐絲）礎(chǔ)獨（駱x妹o蠻,f勵夾（愿x汽0門））是曲獎線齊y=f脈齊（隆x訓迷）的拐歐點必賽（范D監(jiān)偏）籍f驟鄰（鋤x是0號）不性是墓f泡邊（春x桿綠）的極值，殿（弦x心0侄,f君本（萍x漸o際瞎）送策）也不是曲緒線腎y群設(shè)＝影f振（隙x件朋）的拐點絕【頓什解燦吳】斜辟x唉＝薄x青0鹿是帆f典著（用x無妙）的駐點，膝又私f''巾沉（腸x適0杯）祝=南>0,潑疑故艦f徐膏（椅x缸0循）親是奧f傍擴（鄙x鏟拌）的極小值，伐應(yīng)選端（訊B擁塊）。值【乏喪例研l(wèi)-2-3森8盒量】懲纏枯求函坦數(shù)鑒y=2朗x傾3辮+3x驗2貼-12x嗽+14調(diào)匆在憑[-3,孔4]鐘抹上的最大值與酒最小值。配【解熟】訴f霧愈（工x接脂）杏=2x影3停+3x營2宜–卵12x+杏14,f畜’卡銜（擋x垮雕）字=6x辜2睡+6x呀–殘12=杯6谷根（痕x+雞2票）滲（眨x-暖1焦）。姑令僚f裹’辟插（蘿x?。┏?0,煌評得低x壞1基=-2,扎x豐2海=1.飛算描出舉f昆榜（棕-3木梢）羞=23,倍f郊筑（紀-2裂的）閣=34邪,f司暈（傲1逝欣）壺=7,直f框墨（信4賢）膨=142為,戶眠故最大值桃為棉f瑞遠（厚4茂銀）挪=142鮮支,氏最小值喇為遣f建封（泛1態(tài)）愿=7尾碌。閑【泥例珍l-2-羽39擱恭】予渣賽函許數(shù)恩f嫂皮（茶x?。┬?asi扁nx+割sin3咽x廈鐮在熊x=呀處取得極稅值翼,a舍急的值應(yīng)為煌（掌A芽仇）笛-2披新（層B敵貫）勸2咐搏（蹄C彩工）貧惡玩（滴D境吳）嘴-卷.炒【解勿】訪書豬按可導函數(shù)取葡得極值的必要定條件仁：型日f非’遺（擺x孔0挪）忠=acos君x陸o麗+cos捧3x魚0紋=0頂,寇代積人封x丙0襪=寬滋，便佩得雁a=2鉛端，故選蝶（緞B鴨自）。散【瞎例吵1-2型-4盞0樸】猜毒步若爬f怕塌（住x墻）在角（壘a,b費唯）內(nèi)滿證足員f倡'盲（事x持稍）甲<0,漠f"鬧旱（碰x凡雀）村>0塌窄，則曲目線市y=f岸沃（敲x售）在蠟（引a,b舞脾）內(nèi)就是芝煙（霉A孫悠）單調(diào)上升且卡是凹并的湯陸（寬B株貧）單調(diào)下降且子是凹分的須宿（銳C客稅）單調(diào)上升且挨是凹癥的削陵（鑄D拿留）單調(diào)下降且沈是凸彼的夏兵【而晉解晶歷】慌貢由沫f'徐賊（旺x蹦抓）打＜駛0躬及函數(shù)單調(diào)性腫的判定法安，版餃知曲線是單調(diào)喜下降的。迅又閱由測f"章膨（嶼x鹽）另>0雁鏈及曲線凹凸性監(jiān)的判定法，知專曲線是凹的，吊故選野（拿B燥適）。午六、偏導數(shù)全收微分法（一）偏導數(shù)睡與全微分柏1核詢．偏導數(shù)概念柏函絞數(shù)螞z=叛f員（煉x,y你殼）預對僻超x兆、炎y厲,搏的偏導數(shù)依次位記作冠（緊或灣f設(shè)x推（談x,y益棟）棍）障艱伶，渡眠來（罰或婆f姜y況,學剝（父x,y惰伸）穿憑）轉(zhuǎn)關(guān)，它們的定義演如下：穴類似地，可離以定義三元函掃數(shù)社f通技（央x,y膨,z何涌）的偏導濱數(shù)蠢f租x蜘（言x悠，耽y,z吉馳）絞、淚f鬼y來（陜x,y非菊，理z恒）響、娛f描z臂（早x,y見持，墨z唯）煌等乞.鴿按定義，偏導田數(shù)的求法仍屬蛇一元函數(shù)微分劫法的問題。嚷2孤汪．多元復合函復數(shù)的求導法則攀設(shè)統(tǒng)u=喘（唇x囑有，衡y硬）靠、只v殿束＝烤（遺x嘆申，籮y肆）均具有偏導終數(shù)，史而劑z鞏＝攜f決（府u鴨局，為v衛(wèi)皆）具有連續(xù)偏故導數(shù)，則復須合函宗數(shù)無z丘蟲＝孤f[獎（掉x蹦坦，像y崗），三（厲x元勺，半y摘）］的偏導數(shù)灑存在，且頌上面這一求導泥法則，簡稱幅為墓2×2餃剃法則或標準法融則。從這標準棒法則的公式結(jié)旦構(gòu)，可得它的虛特征如下：鍋由于函競數(shù)合z=f業(yè)[克（脈x季晃，衣y依），快（巴x奔夏，焰y結(jié)）］有兩個自豆變量，所以法怎則中包含權(quán)及曲的兩個偏導數(shù)觸公式。醫(yī)嚼②嚴匪由于函數(shù)的復廟合結(jié)構(gòu)中有兩罩個中間變量，消所以每一偏導下數(shù)公式都是兩梯項之和，這兩權(quán)項分別含有牢及所。霸③芒都每一項的構(gòu)成獸與一元復合函診數(shù)的求導法則尊相類似，滴即亡“鈴因變量對哭間變量的導數(shù)產(chǎn)再乘以中間變?yōu)E量對自變量的拉導瞇數(shù)律”相。閑由此可見，掌憑握多元復合函畝數(shù)的求導法則是的關(guān)鍵是弄清寧函數(shù)的復合結(jié)侍構(gòu)，哪些是中陜間變量，哪些雁是自變量。為賺直觀地顯示變鋒量之間的復合將結(jié)構(gòu)，可用結(jié)頓構(gòu)圖（或稱樹板形圖瘦）理1-2-織1索捆來表示出因變劃量良z道葛經(jīng)過中間變迅量醋u縫杜、量v三搬再通向自變狠量番x堤戀、棒y灶井的各條途徑。史按照上述標準侵法則的三個特廈征，我們可以點將多元復合函嶺數(shù)的求導法則挪推廣。蔽如，特別當有摟一個自變量貢，拉u寸膏＝互（禮x蜂敬）州,v尸發(fā)＝縣（工x臥膊）就,z=組f緣輪（叼u,v逼展）時，由于函饅數(shù)采z=f重艇［娘（幫x芒屈）撿，正配）義財，氣（挑x些賣）］只有一個爺自變量，偏導顧數(shù)變成導數(shù)（坡這時稱為全導汗數(shù)）；函數(shù)復沸合結(jié)構(gòu)中有兩陪個中間變量，描所以全導數(shù)公鏈式中是兩項之爭和；每項構(gòu)成被與一元復合函狹數(shù)求導法則類追似。于是，有糞全導數(shù)公式走又如肢，及u恨沙＝稈（辰x懇洽，魯y尺）女，富v戚拾＝虜（頓y苗）朵，門z=f標賊（爬u,v統(tǒng)殖）盞壘，復合函輪數(shù)否z=f驕醉［歐（丸x摔司，倒y顆）種,釋脈（室彎y咽）宋汗］的結(jié)構(gòu)圖如藏圖泉1-2-桿2受且