數(shù)值分析-緒論

數(shù)值分析_緒論第一頁，共42頁。應(yīng)用問題舉例第二頁，共42頁。今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-------《九章算術(shù)》1、一個兩千年前的例子第三頁，共42頁。線性方程組的求解！第四頁，共42頁。2、天體力學(xué)中的Kepler方程x是行星運動的軌道，它是時間t的函數(shù).非線性方程求根！第五頁，共42頁。全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個位置，至少可以同時收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號

3、全球定位系統(tǒng)（GlobalPositioningSystem,GPS)第六頁，共42頁。

表示地球上一個接收點R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為，則得到下列非線性方程組第七頁，共42頁。記為其中，非線性方程組的求解！第八頁，共42頁。4、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫.插值法！第九頁，共42頁。5、人口預(yù)測

下面給出的是中國1900年到2000年的人口數(shù)，我們的目標(biāo)是預(yù)測未來的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大時）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743數(shù)據(jù)擬合！第十頁，共42頁。第十一頁，共42頁。6、鋁制波紋瓦的長度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2π英寸為一個周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.第十二頁，共42頁。

這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L.

由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.數(shù)值積分！第十三頁，共42頁。計算機輔助設(shè)計：波音777應(yīng)用三維立體建模，數(shù)字化設(shè)計與有限元計算的第一架噴氣客機。天氣預(yù)報：計算能力的發(fā)展將把海洋、大氣和生態(tài)系統(tǒng)的綜合知識融合成一個氣象變化模型。醫(yī)學(xué)與生物工程：CT、核磁共振與Radon變換；至病基因與藥物設(shè)計；人造生物材料的彷真響應(yīng)；傳染病動力學(xué)模型。現(xiàn)代科學(xué)計算在工程計算中的應(yīng)用第十四頁，共42頁。電子系統(tǒng)自動化設(shè)計：大規(guī)模集成電路的設(shè)計與邏輯檢測。材料設(shè)計：性能設(shè)計的大規(guī)模計算與模擬：設(shè)計用于生產(chǎn)新的高熱值、高壓材料中的化學(xué)蒸發(fā)沉淀反應(yīng)器。車輛與道路工程設(shè)計與模擬：車輛與道路相互作用綜合系統(tǒng)設(shè)計。第十五頁，共42頁。存儲與物流系統(tǒng)：工農(nóng)業(yè)發(fā)展使得產(chǎn)品的存儲、交流和時效性極大提高；廢物和垃圾問題成為城市生活的重大問題。規(guī)劃計算和系統(tǒng)分析成為常用計算方法。燃燒與爆炸工程：燃燒對環(huán)境的影響；計算流體力學(xué)與爆炸工程。網(wǎng)絡(luò)設(shè)計與計算：搜索引擎的設(shè)計航空航天工程：神州飛船系列信息與通信工程：GPS衛(wèi)星導(dǎo)航第十六頁，共42頁。理論研究科學(xué)實驗科學(xué)計算計算數(shù)學(xué)諾貝爾獎得主,計算物理學(xué)家Wilson提出現(xiàn)代科學(xué)研究的三大支柱第十七頁，共42頁。

科學(xué)方法論的巨大變革：如果說伽利略和牛頓在科學(xué)發(fā)展史上奠定了實驗和理論這兩大科學(xué)方法的支柱，那么由馮.諾依曼研制的現(xiàn)代電子計算機把計算推上了人類科學(xué)活動的前沿，使計算成為第三種方法。第十八頁，共42頁。21世紀(jì)信息社會的兩個主要特征：“計算機無處不在”“數(shù)學(xué)無處不在”21世紀(jì)信息社會對科技人才的要求：--會用數(shù)學(xué)解決實際問題--會用計算機進(jìn)行科學(xué)計算第十九頁，共42頁。程序設(shè)計上機計算設(shè)計高效、可靠的數(shù)值方法數(shù)值問題求解近似結(jié)果輸出重點討論數(shù)值問題的來源：實際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值問題第二十頁，共42頁。數(shù)值計算方法是計算數(shù)學(xué)的一個主要組成部分，“什么是數(shù)值計算方法？”它主要研究使用計算機求解各種科學(xué)與工程計算問題的數(shù)值方法（近似方法）;對求得的解的精度進(jìn)行評估以及在計算機上實現(xiàn)求解等。

數(shù)值計算方法已經(jīng)成為計算機處理實際問題的一個重要手段，從宏觀天體運動學(xué)到微觀分子細(xì)胞學(xué)，從工程系統(tǒng)到社會經(jīng)濟系統(tǒng)，無一能離開數(shù)值計算方法。因此，數(shù)值計算與計算機模擬被稱為“第三種科學(xué)研究方法”。

第二十一頁，共42頁?？茖W(xué)計算可視化是目前研究的熱門問題，下面的藝術(shù)圖形是基于科學(xué)計算的數(shù)據(jù)表示的例子第二十二頁，共42頁。分形圖混沌圖第二十三頁，共42頁。1、數(shù)值逼近

插值與擬合、FFT、數(shù)值積分與微分2、數(shù)值代數(shù)

代數(shù)基礎(chǔ)、線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方程（組）的解法、特征值與特征向量3、微分方程數(shù)值解

ODE、PDE和有限元法4、最優(yōu)化方法*無約束優(yōu)化與約束優(yōu)化方法融進(jìn)了機器學(xué)習(xí)計算、仿生計算、網(wǎng)絡(luò)計算、以數(shù)據(jù)為核心的計算和各種普適計算、非線性科學(xué)計算等內(nèi)容。傳統(tǒng)的數(shù)值計算的主要研究內(nèi)容

現(xiàn)代計算方法：第二十四頁，共42頁?！?

算法一、算法的概念

描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語言和數(shù)學(xué)語言加以敘述，也可以借助形式語言（算法語言）給出精確的說明，也可以用框圖直觀地顯示算法的全貌。

定義：由基本運算及運算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的解題步驟，稱為算法。第二十五頁，共42頁。例：求解二元一次聯(lián)立方程組用行列式解法：首先判別

（1）如果，則令計算機計算

輸出計算的結(jié)果x1，x2。（2）如果D=0，則或是無解，或有無窮多組解。是否為零，存在兩種可能：第二十六頁，共42頁。令通過求解過程，可以總結(jié)出算法步驟如下：S2計算S3如果則輸出原方程無解或有無窮多組解的信息;否則S1輸入S4輸出計算的結(jié)果第二十七頁，共42頁。輸入

D=a11a22-a12a21D=0開始輸出

x1,x2

結(jié)束

No輸出無解信息Yes第二十八頁，共42頁。二、算法優(yōu)劣的判別

計算量的大小存貯量邏輯結(jié)構(gòu)例：用行列式解法求解線性方程組:n階方程組，要計算n+1個n階行列式的值，總共需要做n!(n-1)(n+1)

次乘法運算。

n=20需要運算多少次？n=100?第二十九頁，共42頁。§3

誤差

/*Error*/一、誤差的來源與分類

/*Source&Classification*/

1、從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

2、通過觀測得到模型中某些參數(shù)（或物理量）的值

——觀測誤差

/*MeasurementError*/

3、數(shù)學(xué)模型與數(shù)值算法之間的誤差

——方法誤差

(截斷誤差

/*TruncationError*/)

4、由于機器字長有限，原始數(shù)據(jù)和計算過程會產(chǎn)生新的誤差

——舍入誤差

/*RoundoffError*/第三十頁，共42頁。二、誤差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/設(shè)為真值（精確值），為的一個近似值稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。注：誤差可正可負(fù)，常常是無限位的絕對誤差限/*accuracy*/——絕對值的上界如：絕對誤差還不能完全表示近似值的好壞（絕對誤差/*absoluteerror*/）第三十一頁，共42頁。近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值：稱為近似值的相對誤差，記作注：實際計算時，相對誤差通常取因為（相對誤差/*relativeerror*/）第三十二頁，共42頁。相對誤差也可正可負(fù),常常是無限位的（有效數(shù)字/*SignificantDigits*/）相對誤差限——相對誤差的絕對值的上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值與準(zhǔn)確值的誤差絕對值不超過某一位的半個單位，該位到的第一位非零數(shù)字共有位，則稱有位有效數(shù)字第三十三頁，共42頁。例3計算下列多項式的值為已知數(shù)據(jù)分析：輸入數(shù)據(jù)為，輸出數(shù)據(jù)為，若直接由算出，再乘相應(yīng)的系數(shù)并相加，則要做次乘法和次加法，占用個存儲單元。秦九韶方法，也稱為Horner算法用遞推公式表示為只用次乘法和次加法，并占用個存儲單元

三、數(shù)值算法及穩(wěn)定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/第三十四頁，共42頁。一個算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動（即誤差），而計算過程中舍入誤差不增長,則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則此算法就稱為不穩(wěn)定的。（數(shù)值穩(wěn)定性/*NumericalStability*/）對數(shù)學(xué)問題本身如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動，引起輸出數(shù)據(jù)（即問題真解）的很大擾動，這就是病態(tài)問題。（病態(tài)問題/*ill-posedproblem*/）

它是數(shù)學(xué)問題本身性質(zhì)所決定的，與算法無關(guān)，也就是說對病態(tài)問題，用任何算法（或方法）直接計算都將產(chǎn)生不穩(wěn)定性。

第三十五頁，共42頁。例6：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺風(fēng)來了？！紐約北京這就是一個病態(tài)問題第三十六頁，共42頁。幾點注意事項

/*Remarks*/1、

避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗性避免方法：當(dāng)|x|<<1時：第三十七頁，共42頁。2、

避免小分母:分母小會造成浮點溢出

/*overflow*/3、避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.011010，取單精度時就成為：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)第三十八頁，共42頁。算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094、

先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為5、選用穩(wěn)定的算法。第三十九頁，共42頁。并行計算

一、電子計算機的并行計算分類

傳統(tǒng)計算機一般采用VonNeumann結(jié)構(gòu)，每一時刻只有一個進(jìn)程的算法，即串行算法。并行計算機每一時刻具有2個以上的進(jìn)程的算法稱為