信息論與編碼原理-第8章-線性分組碼

信息論與編碼原理_第8章_線性分組碼第一頁，共125頁。第8章線性分組碼8.1一般概念8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣8.3線性分組碼的生成矩陣8.4線性分組碼的編碼8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力8.6線性分組碼的譯碼8.7線性分組碼的性能8.8漢明碼8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法8.10GSM的信道編碼總體方案8.11線性分組碼的碼限第二頁，共125頁。8.1一般概念(1)線性分組碼的編碼：編碼過程分為兩步：把信息序列按一定長度分成若干信息碼組,每組由k位組成;編碼器按照預(yù)定的線性規(guī)則（可由線性方程組規(guī)定），把信息碼組變換成n重（n>k）碼字，其中(n－k)個附加碼元是由信息碼元的線性運算產(chǎn)生的。(2)線性分組碼的碼字數(shù)：信息碼組長k位，有2k個不同的信息碼組，有2k個碼字與它們一一對應(yīng)。第三頁，共125頁。8.1一般概念(3)術(shù)語線性分組碼：通過預(yù)定的線性運算將長為k位的信息碼組變換成n重的碼字(n>k)。由2k個信息碼組所編成的2k個碼字集合，稱為線性分組碼。碼矢：一個n重的碼字可以用矢量來表示：C=(cn－1,cn－1,…,c1,c0)(n,k)線性碼：信息位長為k，碼長為n的線性碼。編碼效率/編碼速率/碼率/傳信率：R=k/n。它說明了信道的利用效率，R是衡量碼性能的一個重要參數(shù)。返回目錄第四頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(1)一致監(jiān)督方程(2)舉例(3)一致監(jiān)督矩陣(4)一致監(jiān)督矩陣特性第五頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(1)一致監(jiān)督方程構(gòu)成碼字的方法：編碼是給已知信息碼組按預(yù)定規(guī)則添加監(jiān)督碼元，構(gòu)成碼字。在k個信息碼元之后附加r(r=n－k)個監(jiān)督碼元，使每個監(jiān)督元是其中某些信息元的模2和。舉例：k=3,r=4，構(gòu)成(7,3)線性分組碼。設(shè)碼字為：(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)c6,c5,c4為信息元，c3,c2,c1,c0為監(jiān)督元，每個碼元取“0”或“1”監(jiān)督元按下面方程組計算：第六頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(1)一致監(jiān)督方程一致監(jiān)督方程/一致校驗方程：確定信息元得到監(jiān)督元規(guī)則的一組方程稱為監(jiān)督方程/校驗方程。由于所有碼字都按同一規(guī)則確定，又稱為一致監(jiān)督方程/一致校驗方程。為什么叫線性分組碼？由于一致監(jiān)督方程是線性的，即監(jiān)督元和信息元之間是線性運算關(guān)系，所以由線性監(jiān)督方程所確定的分組碼是線性分組碼。返回目錄第七頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(2)舉例信息碼組(101)，即c6=1,c5=0,c4=1代入(7.2.1)得：c3=0,c2=0,c1=1,c0=1由信息碼組(101)編出的碼字為(1010011)。其它7個碼字如表8.2.1。返回目錄第八頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(3)一致監(jiān)督矩陣為了運算方便，將式(7.2.1)監(jiān)督方程寫成矩陣形式，得：將式(8.2.2)可寫成：H

·CT=0T

或

C·HT=0CT、HT、0T分別表示C、H、0的轉(zhuǎn)置矩陣。第九頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(3)一致監(jiān)督矩陣系數(shù)矩陣H的后四列組成一個(4×4)階單位子陣，用I4表示，H的其余部分用P表示：第十頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(3)一致監(jiān)督矩陣推廣到一般情況：對(n,k)線性分組碼，每個碼字中的r(r=n－k)個監(jiān)督元與信息元之間的關(guān)系可由下面的線性方程組確定：返回第十一頁，共125頁。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣(3)一致監(jiān)督矩陣令上式的系數(shù)矩陣為H，碼字行陣列為C：返回目錄第十二頁，共125頁。(4)一致監(jiān)督矩陣特性對H各行實行初等變換，將后面r列化為單位子陣，得到下面矩陣，行變換所得方程組與原方程組同解。監(jiān)督矩陣H的標準形式：后面r列是一單位子陣的監(jiān)督矩陣H。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣第十三頁，共125頁。(4)一致監(jiān)督矩陣特性

H標準形式的特性H陣的每一行都代表一個監(jiān)督方程，它表示與該行中“1”相對應(yīng)的碼元的模2和為0。

H的標準形式表明了相應(yīng)的監(jiān)督元是由哪些信息元決定的。例如(7,3)碼的H陣的第一行為(1011000)，說明第一個監(jiān)督元等于第一個和第三個信息元的模2和，依此類推。

H陣的r行代表了r個監(jiān)督方程，由H所確定的碼字有r個監(jiān)督元。為了得到確定的碼，r個監(jiān)督方程（或H陣的r行）必須是線性獨立的，這要求H陣的秩為r。若把H陣化成標準形式，只要檢查單位子陣的秩，就能方便地確定H陣本身的秩。8.2一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣參見方程返回目錄第十四頁，共125頁。8.3線性分組碼的生成矩陣(1)線性碼的封閉性(2)線性分組碼的生成矩陣(3)生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系(4)對偶碼第十五頁，共125頁。(1)線性碼的封閉性

線性碼的封閉性：線性碼任意兩個碼字之和仍是一個碼字。定理7.3.1：設(shè)二元線性分組碼CI(CI表示碼字集合)是由監(jiān)督矩陣H所定義的，若U和V為其中的任意兩個碼字，則U+V也是CI中的一個碼字.[證明]：由于U和V是碼CI中的兩個碼字，故有：HUT=0THVT=0T，那么H(U+V)T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T即U+V滿足監(jiān)督方程，所以U+V一定是一個碼字。一個長為n的二元序列可以看作是GF(2)(二元域)上的n維線性空間中的一點。所有2n個矢量集合構(gòu)成了GF(2)上的n維線性空間Vn。把線性碼放入線性空間中進行研究，將使許多問題簡化而比較容易解決。(n,k)線性碼是n維線性空間Vn中的一個k維子空間Vk。8.3線性分組碼的生成矩陣返回目錄第十六頁，共125頁。(2)線性分組碼的生成矩陣生成矩陣的來由：在由(n,k)線性碼構(gòu)成的線性空間Vn的k維子空間中，一定存在k個線性獨立的碼字：g1,g2,…,gk。碼CI中其它任何碼字C都可以表為這k個碼字的一種線性組合，即：8.3線性分組碼的生成矩陣第十七頁，共125頁。(2)線性分組碼的生成矩陣生成矩陣定義：由于矩陣G生成了(n,k)線性碼，稱矩陣G為(n,k)線性碼的生成矩陣。8.3線性分組碼的生成矩陣第十八頁，共125頁。(2)線性分組碼的生成矩陣

生成矩陣G的特性G中每一行g(shù)i=(gi1,gi2,…,gin)都是一個碼字；對每一個信息組m，由矩陣G都可以求得(n,k)線性碼對應(yīng)的碼字。(n,k)線性碼的每一個碼字都是生成矩陣G的行矢量的線性組合，所以它的2k個碼字構(gòu)成了由G的行張成的n維空間的一個k維子空間Vk。8.3線性分組碼的生成矩陣第十九頁，共125頁。(2)線性分組碼的生成矩陣

線性系統(tǒng)分組碼

線性系統(tǒng)分組碼的構(gòu)成：通過行初等變換，將G化為前k列是單位子陣的標準形式。8.3線性分組碼的生成矩陣第二十頁，共125頁。(2)線性分組碼的生成矩陣

線性系統(tǒng)分組碼

線性系統(tǒng)分組碼定義：用標準生成矩陣Gk×n

編成的碼字，前面k位為信息位，后面r=n－k位為校驗位，這種信息位在前校驗位在后的線性分組碼稱為線性系統(tǒng)分組碼。當(dāng)生成矩陣G確定之后，(n,k)線性碼也就完全被確定了，只要找到碼的生成矩陣，編碼問題也同樣被解決了。8.3線性分組碼的生成矩陣第二十一頁，共125頁。(2)線性分組碼的生成矩陣舉例：(7,4)線性碼的生成矩陣為：8.3線性分組碼的生成矩陣返回目錄第二十二頁，共125頁。(3)生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系由于生成矩陣G的每一行都是一個碼字，所以G的每行都滿足：Hr×n(C1×n)T=(01×r)T，則有：Hr×n(Gk×n)T=(0k×r)T

或Gk×n(Hr×n)T=0k×r線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G之間可以直接互換。8.3線性分組碼的生成矩陣第二十三頁，共125頁。(3)生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系由于生成矩陣G的每一行都是一個碼字，所以G的每行都滿足：Hr×n(C1×n)T=(01×r)T，則有：Hr×n(Gk×n)T=(0k×r)T

或Gk×n(Hr×n)T=0k×r線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G之間可以直接互換。8.3線性分組碼的生成矩陣第二十四頁，共125頁。(3)生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系舉例：已知(7,4)線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣為：8.3線性分組碼的生成矩陣QQT返回目錄第二十五頁，共125頁。(4)對偶碼

對偶碼：對一個(n,k)線性碼CI，由于Hr×n(Gk×n)T=(0k×r)T，如果以G作監(jiān)督矩陣，而以H作生成矩陣，可構(gòu)造另一個碼CId，CId是一個(n,n－k)線性碼，稱碼CId為原碼的對偶碼.

例如：(7,4)線性碼的對偶碼是(7,3)碼：(7,3)碼的生成矩陣G(7,3)是(7,4)碼監(jiān)督矩陣H(7,4)

8.3線性分組碼的生成矩陣返回目錄第二十六頁，共125頁。

(n,k)線性碼的編碼：根據(jù)線性碼的監(jiān)督矩陣或生成矩陣將長為k的信息組變換成長為n(n>k)的碼字。利用監(jiān)督矩陣構(gòu)造(7,3)線性分組碼的編碼電路設(shè)碼字為：C=(c6c5c4c3c2c1c0)碼的監(jiān)督矩陣為：8.4線性分組碼的編碼第二十七頁，共125頁。利用監(jiān)督矩陣構(gòu)造(7,3)線性分組碼的編碼電路：根據(jù)上面方程組可直接畫出(7,3)碼的并行編碼電路和串行編碼電路:8.4線性分組碼的編碼返回目錄第二十八頁，共125頁。8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力(1)漢明距離、漢明重量和漢明球(2)最小距離與檢、糾錯能力(3)線性碼的最小距離與監(jiān)督矩陣的關(guān)系第二十九頁，共125頁。(1)漢明距離、漢明重量和漢明球

漢明距離（距離）：在(n,k)線性碼中，兩個碼字U、V之間對應(yīng)碼元位上符號取值不同的個數(shù)，稱為碼字U、V之間的漢明距離。線性分組碼的一個碼字對應(yīng)于n維線性空間中的一點，碼字間的距離即為空間中兩對應(yīng)點的距離。因此，碼字間的距離滿足一般距離公理：8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第三十頁，共125頁。(1)漢明距離、漢明重量和漢明球

最小距離dmin：在(n,k)線性碼的碼字集合中，任意兩個碼字間距離最小值，叫做碼的最小距離。若C(i)和C(j)是任意兩個碼字，則碼的最小距離表示為：碼的最小距離是衡量碼的抗干擾能力（檢、糾錯能力）的重要參數(shù)。碼的最小距離越大，碼的抗干擾能力就越強。8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第三十一頁，共125頁。(1)漢明距離、漢明重量和漢明球漢明球：以碼字C為中心，半徑為t的漢明球是與C的漢明距離≤t的向量全體SC(t)：任意兩個漢明球不相交最大程度取決于任意兩個碼字之間的最小漢明距離dmin。8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第三十二頁，共125頁。(1)漢明距離、漢明重量和漢明球漢明球：8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力返回第三十三頁，共125頁。(1)漢明距離、漢明重量和漢明球漢明重量（碼字重量）W：碼字中非0碼元符號的個數(shù)，稱為該碼字的漢明重量。在二元線性碼中，碼字重量就是碼字中含“1”的個數(shù)。最小重量Wmin

：線性分組碼CI中，非0碼字重量最小值，叫做碼CI的最小重量：Wmin=min{W(V),V∈CI,V≠0}8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第三十四頁，共125頁。(1)漢明距離、漢明重量和漢明球

最小距離與最小重量的關(guān)系：線性分組碼的最小距離等于它的最小重量。[證明]：設(shè)線性碼CI，且U∈CI,V∈CI又設(shè)U－V=Z由線性碼的封閉性知，Z∈CI

因此，d(U,V)=W(Z)由此可推知，線性分組碼的最小距離必等于非0碼字的最小重量。8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力返回目錄第三十五頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力檢錯能力：如果一個線性碼能檢出長度≤l個碼元的任何錯誤圖樣，稱碼的檢錯能力為l。糾錯能力：如果線性碼能糾正長度≤t個碼元的任意錯誤圖樣，稱碼的糾錯能力為t。最小距離與檢糾錯能力的關(guān)系：線性碼的最小距離越大，意味著任意碼字間的差別越大，則碼的檢、糾錯能力越強。8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第三十六頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力最小距離與糾錯能力：(n,k)線性碼能糾t個錯誤的充要條件是碼的最小距離為：dmin≥2t+1(8.5.1)[證明]：設(shè)發(fā)送的碼字為V；接收的碼字為R；U為任意其它碼字則矢量V、R、U間滿足距離的三角不等式：d(R,V)+d(R,U)≥d(U,V)(8.5.2)設(shè)信道干擾使碼字中碼元發(fā)生錯誤的實際個數(shù)為t'，且t'≤td(R,V)＝t'≤t(8.5.3)8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第三十七頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力最小距離與糾錯能力：(n,k)線性碼能糾t個錯誤的充要條件是碼的最小距離為：dmin≥2t+1(8.5.1)[證明]：由于d(U,V)≥dmin=2t+1，代入式(7.5.2)得：

d(R,U)≥d(U,V)－d(R,V)=2t+1－t'>t

(8.5.4)

含義：如果接收字R中錯誤個數(shù)t'≤t，接收字R和發(fā)送字V間距離≤t，而與其它任何碼字間距離都大于t，按最小距離譯碼把R譯為V。此時譯碼正確，碼字中的錯誤被糾正。幾何意義：8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力參見圖示第三十八頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力最小距離與檢錯能力：(n,k)線性碼能夠發(fā)現(xiàn)l個錯誤的充要條件是碼的最小距離為：dmin≥l+1(8.5.5)[證明]：設(shè)發(fā)送的碼字為V；接收的碼字為R；U為任意其它碼字則矢量V、R、U間滿足距離的三角不等式：d(R,V)+d(R,U)≥d(U,V)(8.5.2)設(shè)信道干擾使碼字中碼元發(fā)生錯誤的實際個數(shù)為l'，且l'≤ld(R,V)＝l'≤l(8.5.6)8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第三十九頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力最小距離與檢錯能力：(n,k)線性碼能夠發(fā)現(xiàn)l個錯誤的充要條件是碼的最小距離為：dmin≥l+1(8.5.5)[證明]：由于d(U,V)≥dmin=l+1，代入式(7.5.2)得：d(R,U)≥d(U,V)－d(R,V)=l+1－l'>0

(8.5.7)

含義：由于接收字R與其它任何碼字U

的距離都大于0，說明接收字R

不會因發(fā)生l'個錯誤變?yōu)槠渌a字，因而必能發(fā)現(xiàn)錯誤。8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第四十頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力最小距離與檢錯能力：

幾何意義：8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第四十一頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力最小距離與檢、糾錯能力：(n,k)線性碼能糾t個錯誤，并能發(fā)現(xiàn)l個錯誤(l>t)的充要條件是碼的最小距離為：Dmin≥t+l+1(8.5.8)[證明]：因為dmin>2t+1，根據(jù)最小距離與糾錯能力定理，該碼可糾t個錯誤。因為dmin>l+1，根據(jù)最小距離與檢錯能力定理,該碼有檢l個錯誤的能力。糾錯和檢錯不會發(fā)生混淆：設(shè)發(fā)送碼字為V，接收字為R，實際錯誤數(shù)為l'，且t<l'≤l。這時R與其它任何碼字U的距離：d(R,U)≥d(U,V)－d(R,V)=t+l+1－l'≥t+1>t

(8.5.9)∴不會把R誤糾為U。8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第四十二頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力最小距離與檢、糾錯能力：幾何意義：8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第四十三頁，共125頁。(2)最小距離與檢、糾錯能力8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力當(dāng)(n,k)線性碼的最小距離dmin給定后，可按實際需要靈活安排糾錯的數(shù)目。例如：對dmin=8的碼，可用來糾3檢4錯，或糾2檢5錯，或糾1檢6錯，或者只用于檢7個錯誤。返回目錄第四十四頁，共125頁。(3)線性碼的最小距離與監(jiān)督矩陣的關(guān)系定理8.5.1：設(shè)H為(n,k)線性碼的一致監(jiān)督矩陣，若H中任意S列線性無關(guān)，而H中存在(S+1)列線性相關(guān)，則碼的最小距離為(S+1)。定理8.5.2：若碼的最小距離為(S+1)，則該碼的監(jiān)督矩陣的任意S列線性無關(guān)，而必存在有相關(guān)的(S+1)列。定理8.5.3：在二元線性碼的監(jiān)督矩陣H中，如果任一列都不是全“0”，且任兩列都不相等，則該碼能糾一個錯誤。（S=2，dmin=3）8.5線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力第四十五頁，共125頁。8.6線性分組碼的譯碼8.6.1伴隨式和錯誤檢測8.6.2糾錯譯碼第四十六頁，共125頁。8.6.1伴隨式和錯誤檢測(1)如何譯碼？(2)伴隨式(3)伴隨式的計算(4)伴隨式的特性(5)舉例(6)伴隨式計算電路8.6線性分組碼的譯碼第四十七頁，共125頁。8.6.1伴隨式和錯誤檢測(1)如何譯碼？用監(jiān)督矩陣編碼，也用監(jiān)督矩陣譯碼：接收到一個字R后，校驗HRT=0T是否成立：若關(guān)系成立，則認為R是一個碼字；否則判為碼字在傳輸中發(fā)生了錯誤；HRT的值是否為0是校驗碼字出錯與否的依據(jù)。(2)伴隨式/監(jiān)督子/校驗子：S=RHT或ST=HRT返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第四十八頁，共125頁。8.6.1伴隨式和錯誤檢測(3)伴隨式的計算

發(fā)送碼字：C=(cn－1,cn－2,…,c0)信道錯誤圖樣：E=(en－1,en－2,…,e0)ei=0，表示第i位無錯；ei=1，表示第i位有錯。i=n－1,n－2,…,0接收字：R=(rn－1,rn－2,…,r0)=C+E=(cn－1+en－1,cn－2+en－2,…,c0+e0)求接收字的伴隨式（接收字用監(jiān)督矩陣進行檢驗）ST=HRT=H(C+E)T=HCT+HET

(8.6.1)HCT=0T，所以ST=HET設(shè)H=(h1,h2,…,hn)，（hi表示H的列）。代入式(8.6.1)得：ST=h1en－1+h2en－2+…+hn

e0返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第四十九頁，共125頁。8.6.1伴隨式和錯誤檢測(4)伴隨式的特性伴隨式僅與錯誤圖樣有關(guān)，而與發(fā)送的具體碼字無關(guān)，即伴隨式僅由錯誤圖樣決定；伴隨式是錯誤的判別式：若S=0，則判為沒有出錯，接收字是一個碼字；若S≠0，則判為有錯。不同的錯誤圖樣具有不同的伴隨式，它們是一一對應(yīng)的。對二元碼，伴隨式是H陣中與錯誤碼元對應(yīng)列之和。返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第五十頁，共125頁。(5)舉例：(7,3)碼接收字R的伴隨式計算若接收字中沒有錯誤：設(shè)發(fā)送碼字C=1010011，接收碼字R＝1010011，R與C相同：但接收端譯碼器并不知道就是發(fā)送的碼字根據(jù)接收字R計算伴隨式：ST=HRT=0T因此，譯碼器判接收字無錯8.6.1伴隨式和錯誤檢測8.6線性分組碼的譯碼第五十一頁，共125頁。(5)舉例：(7,3)碼接收矢量R的伴隨式計算若接收字中有1位錯誤：發(fā)送碼字C=1010011，接收碼字R=1110011，伴隨式為：(7,3)碼是糾單個錯誤的碼，且ST等于H的第二列，因此判定接收字R的第二位是錯的。由于接收字R中錯誤碼元數(shù)與碼的糾錯能力相符，所以譯碼正確。8.6.1伴隨式和錯誤檢測8.6線性分組碼的譯碼第五十二頁，共125頁。8.6.1伴隨式和錯誤檢測(5)舉例：(7,3)碼接收矢量R的伴隨式計算當(dāng)碼元錯誤多于1個時：發(fā)送碼字C=1010011，接收碼字R=0011011，伴隨式為：由于ST是第一列和第四列之和，不等于0；但ST與H陣中任何一列都不相同無法判定錯誤出在哪些位上，只是發(fā)現(xiàn)有錯。返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第五十三頁，共125頁。8.6.1伴隨式和錯誤檢測(6)伴隨式計算電路伴隨式的計算可用電路來實現(xiàn)。(7,3)碼為例：接收字R=(r6r5r4r3r2r1r0)，伴隨式：8.6線性分組碼的譯碼第五十四頁，共125頁。8.6.1伴隨式和錯誤檢測(6)伴隨式計算電路伴隨式計算電路：返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第五十五頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(1)最佳譯碼準則（最大似然譯碼）(2)查表譯碼法(3)標準陣列(4)舉例(5)結(jié)論8.6線性分組碼的譯碼第五十六頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(1)最佳譯碼準則（最大似然譯碼）通信是一個統(tǒng)計過程，糾、檢錯能力最終要反映到差錯概率上。對于FEC方式，采用糾錯碼后的碼字差錯概率為pwe：p(C)：發(fā)送碼字C的先驗概率p(C/R)：后驗概率8.6線性分組碼的譯碼第五十七頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(1)最佳譯碼準則（最大似然譯碼）若碼字數(shù)為2k，對充分隨機的消息源有p(C)=1/2k，所以最小化的pwe等價為最小化p(C‘≠C/R)，又等價為最大化：p(C'

=C/R)；對于BSC信道：最大化的p(C'

=C/R)等價于最大化的p(R/C)，最大化的p(R/C)又等價于最小化d(R,C)，所以使差錯概率最小的譯碼是使接收向量R與輸出碼字C'距離最小的譯碼。返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第五十八頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(2)查表譯碼法按最小距離譯碼，對有2k個碼字的(n,k)線性碼，為了找到與接收字R有最小距離的碼字，需將R分別和2k個碼字比較，以求出最小距離。其中利用“標準陣列”譯碼是最典型的方法。返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第五十九頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列①碼字參數(shù)：發(fā)送碼字：取自于2k個碼字集合{C}；接收碼字：可以是2n個n重中任一個矢量。②譯碼方法把2n個n重矢量劃分為2k個互不相交的子集，使得在每個子集中僅含一個碼字；根據(jù)碼字和子集間一一對應(yīng)關(guān)系，若接收矢量Rl落在子集Dl中，就把Rl譯為子集Dl含有的碼字Cl；當(dāng)接收矢量R與實際發(fā)送碼字在同一子集中時，譯碼就是正確的。8.6線性分組碼的譯碼第六十頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列③標準陣列構(gòu)造方法先將2k個碼字排成一行，作為標準陣列的第一行，并將全0碼字C1=(00…0)放在最左面的位置上；然后在剩下的(2n－2k)

個n重中選取一個重量最輕的n重E2放在全0碼字C1下面，再將E2分別和碼字相加，放在對應(yīng)碼字下面構(gòu)成陣列第二行；在第二次剩下的n重中，選取重量最輕的n重E3，放在E2下面，并將E3分別加到第一行各碼字上，得到第三行；…，繼續(xù)這樣做下去，直到全部n重用完為止。得到表7.6.1所示的給定(n,k)線性碼的標準陣列。8.6線性分組碼的譯碼第六十一頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列③標準陣列構(gòu)造方法返回8.6線性分組碼的譯碼第六十二頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性定理8.6.1：在標準陣列的同一行中沒有相同的矢量，而且2n個n重中任一個n重在陣列中出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。[證明]：因為陣列中任一行都是由所選出某一n重矢量分別與2k個碼字相加構(gòu)成的，而2k個碼字互不相同，它們與所選矢量的和也不可能相同，所以在同一行中沒有相同的矢量；在構(gòu)造標準陣列時，是用完全部n重為止，因而每個n重必出現(xiàn)一次；每個n重只能出現(xiàn)一次：8.6線性分組碼的譯碼第六十三頁，共125頁。(3)標準陣列④標準陣列的特性定理8.6.1：在標準陣列的同一行中沒有相同的矢量，而且2n個n重中任一個n重在陣列中出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。[證明]：8.6.2糾錯譯碼假定某一n重

X

出現(xiàn)在第l行第i列，那么X=El+Ci；又假設(shè)X出現(xiàn)在第m行第j列，那么X=Em+Cj，l<m；因此El+Ci=Em+Cj，移項得Em

=El+Ci+Cj而Ci+Cj

也是一個碼字，設(shè)為Cs，于是Em

=El+Cs；這意味著Em

是第l行中的一個矢量，但Em是第m行(m>l)的第一個元素;按陣列構(gòu)造規(guī)則，后面行的第一個元素是前面行中未曾出現(xiàn)過的元素，這就和陣列構(gòu)造規(guī)則相矛盾。每個n重只能出現(xiàn)一次的原因8.6線性分組碼的譯碼第六十四頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性定理8.6.2（線性碼糾錯極限定理）：二元(n,k)線性碼能糾2n－k個錯誤圖樣。這2n－k個可糾的錯誤圖樣，包括0矢量在內(nèi)，即把無錯的情況也看成一個可糾的錯誤圖樣。[證明]：陪集：標準陣列的每一行叫做碼的一個陪集。陪集首：每個陪集的第一個元素叫做陪集首。(n,k)線性碼的標準陣列有2k列（和碼字數(shù)量相等），2n/2k=2n－k行，且任何兩列和兩行都沒有相同的元素。8.6線性分組碼的譯碼第六十五頁，共125頁。(3)標準陣列④標準陣列的特性定理8.6.2（線性碼糾錯極限定理）：[證明]：每一列包含2n－k個元素，最上面的是一個碼字，其它元素是陪集首和該碼字之和，例如第j列為：若發(fā)送碼字為Cj，信道干擾的錯誤圖樣是陪集首，則接收矢量R必在Dj中；8.6.2糾錯譯碼見表8.6線性分組碼的譯碼第六十六頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性定理7.6.2(線性碼糾錯極限定理)：

[證明]：若錯誤圖樣不是陪集首，則接收矢量R不在Dj中，則譯成其它碼字，造成錯誤譯碼；當(dāng)且僅當(dāng)錯誤圖樣為陪集首時，譯碼才是正確的?？杉m正的錯誤圖樣：這2n－k個陪集首稱為可糾正的錯誤圖樣。見表8.6線性分組碼的譯碼第六十七頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性線性碼糾錯能力與監(jiān)督元數(shù)目的關(guān)系：一個可糾t個錯誤的線性碼必須滿足：上式中等式成立時的線性碼稱為完備碼。即：8.6線性分組碼的譯碼第六十八頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性線性碼糾錯能力與監(jiān)督元數(shù)目的關(guān)系：[證明]：糾一個錯誤的(n,k)線性碼，必須能糾正個錯誤圖樣，因此：對糾兩個錯誤的(n,k)線性碼，必須能糾個錯誤圖樣，所以：8.6線性分組碼的譯碼第六十九頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性線性碼糾錯能力與監(jiān)督元數(shù)目的關(guān)系：[證明]：依此類推，一個糾t個錯誤的(n,k)線性碼必須滿足：對于完備碼，由碼的糾錯能力所確定的伴隨式數(shù)恰好等于可糾的錯誤圖樣數(shù)，所以完備碼的(n－k)個監(jiān)督碼元得到了充分的利用。8.6線性分組碼的譯碼第七十頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性完備譯碼：(n,k)線性碼的所有2n－k個伴隨式，在譯碼過程中都用來糾正所有小于等于個隨機錯誤，以及部分大于t的錯誤圖樣。限定距離譯碼：任一個(n,k)線性碼，能糾正個隨機錯誤，如果在譯碼時僅糾正t'<t個錯誤，而當(dāng)錯誤個數(shù)大于t'時，譯碼器不進行糾錯而僅指出發(fā)生了錯誤。8.6線性分組碼的譯碼第七十一頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性從多維矢量空間的角度看完備碼假定圍繞每一個碼字Ci放置一個半徑為t的球，每個球內(nèi)包含了與該碼字漢明距離小于等于t的所有接收碼字R的集合；在半徑為的球內(nèi)的接收碼字數(shù)是：因為有2k個可能發(fā)送的碼字，也就有2k個不相重疊的半徑為t的球。包含在2k個球中的碼字總數(shù)不會超過2n個可能的接收碼字。8.6線性分組碼的譯碼第七十二頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性從多維矢量空間的角度看完備碼于是一個糾t個差錯的碼必然滿足不等式：如果上式中等號成立，表示所有的接收碼字都落在2k個球內(nèi)，而球外沒有一個碼，這就是完備碼。8.6線性分組碼的譯碼第七十三頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性從多維矢量空間的角度看完備碼完備碼特性：圍繞2k

個碼字，漢明距離為t=INT[(dmin－1)/2]的所有球都是不相交的，每一個接收碼字都落在這些球中之一，因此接收碼與發(fā)送碼的距離至多為t，這時所有重量≤t的錯誤圖樣都能用最佳（最小距離）譯碼器得到糾正，而所有重量≥t+1的錯誤圖樣都不能糾正。8.6線性分組碼的譯碼第七十四頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性從多維矢量空間的角度看完備碼舉例：對糾一個錯誤的(7,4)漢明碼：(7,4)漢明碼是一個完備碼。所有漢明碼都是完備碼：（滿足2n－k=2r=n+1）。8.6線性分組碼的譯碼第七十五頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性

標準陣列譯碼=最小距離譯碼=最佳譯碼陪集首是可糾正的錯誤圖樣，為了使譯碼錯誤概率最小，應(yīng)選取出現(xiàn)概率最大的錯誤圖樣作陪集首；重量較輕的錯誤圖樣出現(xiàn)概率較大，所以在構(gòu)造標準陣列時是選取重量最輕的n重作陪集首；當(dāng)錯誤圖樣為陪集首時（可糾的錯誤圖樣），接收矢量與原發(fā)送碼字間的距離（等于陪集首）最??；因此，選擇重量最輕的元素作陪集首，按標準陣列譯碼就是按最小距離譯碼；所以標準陣列譯碼法也是最佳譯碼法。8.6線性分組碼的譯碼第七十六頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(3)標準陣列④標準陣列的特性定理7.6.3：在標準陣列中，一個陪集的所有2k個n重有相同的伴隨式，不同的陪集伴隨式互不相同。[證明]：設(shè)H為給定(n,k)線性碼的監(jiān)督矩陣，在陪集首為El的陪集中的任意矢量為：R=El+Ci,i=1,2,…,2k其伴隨式為：S=RHT=(El+Ci)HT=ElHT+CiHT=ElHT上式表明：陪集中任意矢量的伴隨式等于陪集首的伴隨式。即同一陪集中所有伴隨式相同。不同陪集中，由于陪集首不同所以伴隨式不同。返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第七十七頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(4)舉例：(6,3)碼的標準陣列返回返回目錄8.6線性分組碼的譯碼第七十八頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(5)結(jié)論任意n重的伴隨式?jīng)Q定于它在標準陣列中所在陪集的陪集首。標準陣列的陪集首和伴隨式是一一對應(yīng)的，因而碼的可糾錯誤圖樣和伴隨式是一一對應(yīng)的，應(yīng)用此對應(yīng)關(guān)系可以構(gòu)成比標準陣列簡單得多的譯碼表，從而得到(n,k)線性碼的一般譯碼步驟。

(n,k)線性碼的一般譯碼步驟計算接收矢量R的伴隨式ST=HRT；根據(jù)伴隨式和錯誤圖樣一一對應(yīng)的關(guān)系，利用伴隨式譯碼表，由伴隨式譯出R的錯誤圖樣E；將接收字減錯誤圖樣，得發(fā)送碼字的估值：C'=R－E。見表8.6線性分組碼的譯碼第七十九頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(5)結(jié)論線性分組碼一般譯碼器（伴隨式譯碼法/查表譯碼法）譯碼器如下圖。這種查表譯碼法具有最小的譯碼延遲和最小的譯碼錯誤概率，原則上可用于任何(n,k)線性碼。8.6線性分組碼的譯碼第八十頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(5)結(jié)論舉例：求(7,4)漢明碼的編碼電路和譯碼電路。其系統(tǒng)碼形式：8.6線性分組碼的譯碼第八十一頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(5)結(jié)論舉例：求(7,4)漢明碼的編碼電路和譯碼電路。編碼電路：8.6線性分組碼的譯碼第八十二頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(5)結(jié)論舉例：求(7,4)漢明碼的編碼電路和譯碼電路。編碼電路：8.6線性分組碼的譯碼第八十三頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(5)結(jié)論舉例：求(7,4)漢明碼的編碼電路和譯碼電路。譯碼電路：8.6線性分組碼的譯碼第八十四頁，共125頁。8.6.2糾錯譯碼(5)結(jié)論舉例：求(7,4)漢明碼的編碼電路和譯碼電路。譯碼電路：8.6線性分組碼的譯碼第八十五頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能在通信中檢、糾錯碼的實際性能是在統(tǒng)計上體現(xiàn)出來的。錯誤概率：不可檢錯誤概率：pud譯碼錯誤概率：pwe譯碼失敗概率：pwf比特誤碼率：Pbd差錯概率的原因：碼的結(jié)構(gòu)信道特性分析均以BSC信道為模型。第八十六頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(1)不可檢錯誤概率(2)譯碼錯誤概率(3)譯碼失敗概率(4)比特誤碼率第八十七頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(1)不可檢錯誤概率pud由(n,k)線性碼的重量分布求pud令A(yù)i為碼的重量分布，表示重量為i的碼字個數(shù)，i=0,1,2,…,n；

僅當(dāng)錯誤圖樣與碼字集合中的非0碼字相同時，才不能檢出錯誤，所以：舉例：(7,3)碼的重量分布是A0=1,A1=A2=A3=0,A4=7，其不可檢錯誤概率為：

pud＝7×p4(1－p)3，若p=0.01，則：pud≈6.8×10－8第八十八頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(1)不可檢錯誤概率pud利用(n,k)碼重量分布與其對偶碼的重量分布關(guān)系求pud設(shè)A0,A1,A2,…,An是(n,k)碼的重量分布；B0,B1,B2,…,Bn是它的對偶碼的重量分布；

對偶碼的重量枚舉式：下面的多項式稱為(n,k)碼和它的對偶碼的重量枚舉式。第八十九頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(1)不可檢錯誤概率pud利用(n,k)碼重量分布與其對偶碼的重量分布關(guān)系求pud

MacWilliams恒等式：若已知線性碼的對偶碼的重量分布，就可確定該碼本身的重量分布：由式(7.7.1)得：第九十頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(1)不可檢錯誤概率pud利用(n,k)碼重量分布與其對偶碼的重量分布關(guān)系求pud令：將這個恒等式代入式(8.7.4)得：第九十一頁，共125頁。(1)不可檢錯誤概率pud利用(n,k)碼重量分布與其對偶碼的重量分布關(guān)系求pud將麥克威廉姆斯恒等式代入上式得：當(dāng)k<(n－k)時，用式(7.7.6)計算pud較簡單；當(dāng)k>(n－k)時，用式(7.7.7)計算pud更容易。8.7線性分組碼的性能選字數(shù)少的方式計算第九十二頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(1)不可檢錯誤概率pud利用(n,k)碼重量分布與其對偶碼的重量分布關(guān)系求pud舉例：已知(7,4)碼的監(jiān)督矩陣H(7,4)，它等于其對偶碼的生成矩陣G(7,3)，即：由此生成矩陣的行的線性組合，可得到(7,3)碼的8個碼字：第九十三頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(1)不可檢錯誤概率pud利用(n,k)碼重量分布與其對偶碼的重量分布關(guān)系求pud舉例：由此得到(7,4)對偶碼的重量枚舉式為：B(x)=1+7x4利用式(8.7.7)得：(7,4)碼的未檢出錯誤概率為：

pud=2－3[1+7×(1－2p)4]－(1－p)7設(shè)p=0.01，則pud=6×10－6返回目錄第九十四頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(2)譯碼錯誤概率pwe正確譯碼概率pwc：糾正小于等于t個差錯的概率：第九十五頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(2)譯碼錯誤概率pwe譯碼錯誤概率pwe譯碼錯誤發(fā)生在差錯數(shù)目大于t，接收向量R與另一碼字C'的距離小于等于t的情況；

Di是重量i并譯為錯誤碼字的可能的接收向量R的數(shù)目，即：譯碼錯誤概率pwe為：返回目錄第九十六頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(3)譯碼失敗概率pwf由于仍存在不滿足式(8.7.8)的接收碼矢R，對于限定距離譯碼器來說就處于譯碼失敗狀態(tài)，即：pwf=1－pwc－pwe

圖中：RA—正確譯碼的接收矢量RB—譯碼錯誤的接收矢量RC—譯碼失敗的接收矢量返回目錄第九十七頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(4)比特誤碼率pbc：信道的比特差錯概率，對于BSC信道，pbc等于信道轉(zhuǎn)移概率p。pbd：譯碼錯誤導(dǎo)致的碼字之間的比特差錯率。pbm：消息源與消息接收終端之間的比特差錯概率。

統(tǒng)計意義上認為：消息和碼字之間的映射不改變碼字差錯導(dǎo)致在整個碼長內(nèi)比特差錯的均勻分布特性，在統(tǒng)計意義上有pbm≈pbd第九十八頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(4)比特誤碼率

譯碼錯誤造成的誤碼率pbe

：設(shè)碼字是等概率發(fā)送，則：是發(fā)送全0碼字并錯為j重碼字的概率Pbe

與pwe的關(guān)系字錯必然有至少2t+1位碼字比特錯；每個碼字平均有位消息比特錯，所以pbe與pwe有如下漸進關(guān)系：第九十九頁，共125頁。8.7線性分組碼的性能(4)比特誤碼率

譯碼失敗造成的誤碼率pbf

：

譯碼后總的誤碼率Pbd

：pbd=pbe+pbf返回目錄第一百頁，共125頁。8.8漢明碼

漢明碼的來由：漢明碼是漢明于1950年提出的糾一個錯誤的線性碼，也是第一個糾錯碼。由于它編碼簡單，因而是在通信系統(tǒng)和數(shù)據(jù)存儲系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用的一類線性碼。

漢明碼的結(jié)構(gòu)參數(shù)：糾一個錯誤的線性碼，其最小距離dmin=3；監(jiān)督矩陣任意兩列線性無關(guān)／H的任兩列互不相同；沒有全0的列。監(jiān)督元個數(shù)r=n－k；H陣中每列有r個元素，至多可構(gòu)成2r－1種互不相同的非0列。對于任意正整數(shù)m≥3，漢明碼的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：碼長：

n=2m－1信息位數(shù)：

k=2m－m－1監(jiān)督位數(shù)：

n－k=m碼的最小距離：dmin=3(t=1)第一百零一頁，共125頁。8.8漢明碼漢明碼監(jiān)督矩陣構(gòu)成的兩種方式

H陣的標準形式：H=[QIr]，Ir為r階單位子陣，子陣Q是構(gòu)造Ir后剩下的列任意排列。用這種形式的H陣編出的漢明碼是系統(tǒng)碼。按r重表示的二進制順序排列：按這種形式H陣編出的碼是非系統(tǒng)碼。當(dāng)發(fā)生可糾的單個錯誤時，伴隨式為H陣中對應(yīng)的列，所以伴隨式的二進制數(shù)值就是錯誤位置號，有時這種碼譯碼比較方便。例如：第一百零二頁，共125頁。8.8漢明碼漢明碼監(jiān)督矩陣構(gòu)成的兩種方式

H陣的標準形式：H=[QIr]，Ir為r階單位子陣，子陣Q是構(gòu)造Ir后剩下的列任意排列。用這種形式的H陣編出的漢明碼是系統(tǒng)碼。按r重表示的二進制順序排列：按這種形式H陣編出的碼是非系統(tǒng)碼。當(dāng)發(fā)生可糾的單個錯誤時，伴隨式為H陣中對應(yīng)的列，所以伴隨式的二進制數(shù)值就是錯誤位置號，有時這種碼譯碼比較方便。由于漢明碼可糾的錯誤圖樣數(shù)為：返回目錄第一百零三頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法(1)擴展/Extending和打孔/Puncturing(2)增廣/Augmenting和刪信/Expunging/Expurgating(3)延長/Lengthening和縮短/Sportening(4)乘積/Product(5)級聯(lián)/Concatenating(6)交織/Interleauing第一百零四頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法(1)擴展/Extending和打孔/Puncturing擴展：保持k不變，增加冗余位數(shù)以增加碼長。打孔：保持k不變，減小冗余位。擴展的逆過程。(2)增廣/Augmenting和刪信/Expunging/Expurgating增廣：保持n不變，增加碼字數(shù)目k。刪信：保持n不變，減小k。(3)延長/Lengthening和縮短/Sportening延長：同時增加k和n。縮短：同時減小k和n。第一百零五頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法舉例：(2r－1,2r－1－r,3)漢明碼構(gòu)成各種新碼的6種方法返回目錄第一百零六頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法(4)乘積/Product消息作為陣列，分別進行行列編碼。(5)級聯(lián)/Concatenating對消息編碼后的碼字再進行一次編碼。級聯(lián)編碼的第一次所用碼稱外碼；第二次所用碼稱內(nèi)碼。級聯(lián)編碼常用于既有隨機差錯又有突發(fā)差錯的信道編碼。返回目錄第一百零七頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法(6)交織/Interleauing（《移動通信中的關(guān)鍵技術(shù)》，北郵出版社，2001.8，P.102）交織編碼分為分組交織和卷積交織兩種。交織是一種信道改造技術(shù)，它通過信號設(shè)計將一個原來屬于突發(fā)差錯的有記憶信道改造為基本上是獨立差錯的隨機無記憶信道。交織碼的原理：第一百零八頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法(6)交織/Interleauing（《移動通信中的關(guān)鍵技術(shù)》，北郵出版社，2001.8，P.102）舉例說明分組交織編碼器設(shè)計發(fā)送信息：X=(x1

x2

x3

x4…x23

x24

x25)交織器：按行寫入、按列取出的5×5陣列存儲器去交織器：完成與交織器相反的變換，按列寫入、按行取出，仍是一個5×5陣列存儲器，其差錯規(guī)律變成了獨立差錯。第一百零九頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法(6)交織/Interleauing

（《移動通信中的關(guān)鍵技術(shù)》，北郵出版社，2001.8，P.102）舉例說明分組交織編碼器設(shè)計

交織矩陣對此矩陣按行寫入，按列讀出，得：X[1]=(x1x6x11x16x21

x2x7x12x17x22x3x8x13x18x23x4

x9x14x19x24x5x10x15x20x25)第一百一十頁，共125頁。8.9由已知碼構(gòu)造新碼的方法(6)交織/Interleauing

（《移動通信中的關(guān)鍵技術(shù)》，北郵出版社，200