高數上d62弧長三63物理應用

1oxy2a圓極坐標方程糾正作業(yè)P284T5(1)求2解:P284T5(2)3

若能把某個量表示成定積分,我們就可以應用定積分計算這個量.1)根據具體情況，選取積分變量，如：x.確定x的變化區(qū)間[a,b].2)把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，取一代表區(qū)間求出該區(qū)間上所求量的部分量的近似表達式量U的元素.3)寫出定積分的表達式：也叫微分元素.1.元素法計算量U的步驟:復習4請熟記以下公式：X-型Y-型5二、體積第二節(jié)一、平面圖形的面積三、平面曲線的弧長

定積分在幾何學上的應用

第六章6定義:

若在弧

AB

上任意作內接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限

,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)則稱三、平面曲線的弧長此極限為曲線弧AB

的弧長,7dydxds則弧微分為3.若曲線的參數方程為:回顧：8(1)曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(2)曲線弧由參數方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長9(2)曲線弧由參數方程給出:因此所求弧長曲線弧為(3)

極坐標情形所求弧長注意到:求弧長時積分上下限上大下小.10解：所求弧長為例1.計算曲線上相應于(如圖)的一段弧的長度.P283例1111例2.

計算擺線解：

P283例12xyo12例3.

求阿基米德螺線一段的弧長(如圖).解:

P284例1313解:例4.

14證:設正弦線的弧長等于設橢圓的弧長等于例5.證明正弦線的弧長等于橢圓的周長.故原結論成立.15設平面光滑曲線求它繞x軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積.積分后得旋轉體的側面積取側面積元素:四、旋轉體的側面積(補充)(注意在不同坐標系下ds的表達式)16側面積元素△A的的線性主部.說明：若光滑曲線由參數方程給出,則它繞

x

軸旋轉一周所得旋轉體的側面積為不是薄片側面積注意:17例6.

計算圓旋轉一周所得的球臺的側面積A.解：對曲線弧應用公式得當球臺高h＝2R

時,得球的表面積公式18階段小結1.平面曲線的弧長曲線方程參數方程方程極坐標方程直角坐標方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小.2.旋轉體的側面積側面積元素為(注意在不同坐標系下ds的表達式)19一、變力沿直線所作的功6-3定積分在物理上的應用設物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從xa移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為解：2001x解:設木板對鐵釘的阻力為第一次錘擊時所作的功為例1.

用鐵錘將一鐵釘擊入木板,設木板對鐵釘的阻力與鐵釘擊入木板的深度成正比,在擊第一次時,將鐵釘擊入木板1厘米,如果鐵錘每次錘擊鐵釘所作的功相等,問錘擊第二次時,又將鐵釘擊入多少？h設兩次擊入的總深度為厘米依題意知:故第二次擊入的深度為P292第5題21例2.設有一長度為l,線密度為(x)

的細直棒,求該棒的質量m及平均密度.解：建立坐標系如圖.細棒上小段對應的質量微元為平均密度為：22第六章?？碱}型(用元素法計算某個量)1.求平面圖形的面積.2.求旋轉體的體積.3.求平面曲線的弧長.23請熟記以下公式：X型Y型(注意在不同坐標系下ds的表達式)24注意：1)以上公式都要求2)復雜圖形應學會分割.3)不能用公式時應會元素法.4)若曲邊梯形的曲邊為參數方程則上述公式可以用定積分的換元法處理.5)若曲邊梯形的曲邊為極坐標方程則可轉化為直角坐標系下的參數方程：6)與弧長有關時,其限應上大下小.25補充作業(yè):過坐標原點作曲線軸圍成平面圖形D.求(1)D的面積.解:

(1)設切點的橫坐標為則所求切線方程為由切線過原點知的切線.該切線與故切線方程為1(2003考研)作業(yè)P286：22;25;30.P293:總習題六1;3.26試用定積分求圓上半圓為下求體積:解:方法1

利用對稱性而成的