4661萬有引力定律在天體運(yùn)動中的應(yīng)用例題-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦4661萬有引力定律在天體運(yùn)動中的應(yīng)用例題萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用·典型例題解析

【例1】在天體運(yùn)動中，將兩顆彼此距離較近的行星稱為雙星，因?yàn)閮尚情g的引力等于向心力而使它們在運(yùn)動中距離保持不變，已知兩個行星的質(zhì)量分離為M1、M2，相距為L，求它們的角速度．

解析：如圖44－2所示，設(shè)M1的軌道半徑為r1，M2的軌道半徑為r2，兩個行星都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω；因?yàn)閮蓚€行星之間的萬有引力提供向心力，按照牛頓其次定律有

G

MMrMrGMMrMrrrL

121

2112

122222212＝＝＋＝ωω以上三式聯(lián)立解得

ω＝112LGMML

()+點(diǎn)撥：雙星之間的萬有引力大小相等，方向相反，這兩個行星之所以能在引力作用下不互相逼近而保持距離不變，是由于它們都圍著二者聯(lián)線上的同一點(diǎn)(質(zhì)心)做勻速圓周運(yùn)動，并且它們的角速度相同．這就是雙星的物理模型．

【例2】某星球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T，在它的兩極處，用彈簧秤測得某物體重為P，在它的赤道上，用彈簧秤測得同一物體重為0.9P，星球的平均密度是多少？

解析：設(shè)被測物體的質(zhì)量為m，星球的質(zhì)量為M，半徑為R；在兩

極處時物體的重力等于星球?qū)ξ矬w的萬有引力，即＝在赤道上，PGMmR2

因星球自轉(zhuǎn)物體做勻速圓周運(yùn)動，星球?qū)ξ矬w的萬有引力和彈簧秤對物體的拉力的合力提供向心力，按照牛頓其次定律有－＝G

MmR0.9PmR42π2

2T

由以上兩式解得星球的質(zhì)量為＝按照數(shù)學(xué)學(xué)問可知星球的體積為＝．MVR340943

23

2

ππPRGPPT(.)-按照密度的定義式可得星球的平均密度為

ρππ＝＝＝MVPPPGTGT3093022

(.)-點(diǎn)撥：重力是因?yàn)榈厍驅(qū)ξ矬w的吸引而產(chǎn)生的力，但是不能認(rèn)為重力就是地球?qū)ξ矬w的吸引力．嚴(yán)格地講，惟獨(dú)在兩極處，重力才等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球?qū)ξ矬w的萬有引力．因?yàn)橹亓εc地球?qū)ξ矬w的萬有引力差別微小，所以通常近似視為重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力．

【例3】宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球．經(jīng)過時光t，小球落到星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離

為．若拋出時的初速增大到倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L23L．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G．求該星球的質(zhì)量M．

點(diǎn)撥：設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有x2＋h2＝L2．由平拋運(yùn)動邏輯得知，當(dāng)時速增大到2倍，其水平射程也增

大到，則有＋＝．可得的值．設(shè)該星球上的重力加速

度為，由平拋運(yùn)動的邏輯，有＝得．由萬有引力定律與牛頓第2x(2x)h(3L)hghgtg222212二定律，有＝．式中為小球的質(zhì)量，聯(lián)立以上各式，解得＝．G

MmRmgmM22332

2

LRGt

【例4】在地球某處海平面上測得物體自由下落高度h所需的時光為t，到某高山頂測得物體自由下落h同樣高度所需時光增強(qiáng)了Δt，已知地球半徑為R，試求山的高度H．點(diǎn)撥：在海平面，＝，自由落體時光＝，在高山頂，′＝，自由落體時光：＋Δ＝＇得＝．gtgttHRG