陜西省榆林市橫山縣第四中學2022-2023學年高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則等于（）．A． B． C． D．2．下圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．3．直角坐標系中，雙曲線（）與拋物線相交于、兩點，若△是等邊三角形，則該雙曲線的離心率（）A． B． C． D．4．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間5．若x，y滿足約束條件則z=的取值范圍為（）A．[] B．[，3] C．[，2] D．[，2]6．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．7．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺8．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．9．的展開式中的系數(shù)是-10，則實數(shù)()A．2 B．1 C．-1 D．-210．已知橢圓的右焦點為F，左頂點為A，點P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3 C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域是．14．正四面體的各個點在平面同側(cè)，各點到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長為__________．15．已知函數(shù)，則過原點且與曲線相切的直線方程為____________.16．已知圓，直線與圓交于兩點，，若，則弦的長度的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當，且時，求的面積.18．（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當最大時，求的值．19．（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.20．（12分）在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點的直角坐標.21．（12分）如圖，設(shè)橢圓：，長軸的右端點與拋物線：的焦點重合，且橢圓的離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過作直線交拋物線于，兩點，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點，求面積的最小值，以及取到最小值時直線的方程．22．（10分）某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從五所高校中任選2所．（1）求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率；（2）若已知甲同學特別喜歡高校，他必選校，另在四校中再隨機選1所；而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機選2所．（i）求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ii）記為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由已知條件利用誘導公式得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結(jié)合解得，所以，故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)題干得到點A坐標為，代入拋物線得到坐標為，再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形，設(shè)直線OA為，設(shè)點A坐標為，代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標為，代入雙曲線得到故答案為：D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).4、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當且時的導數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應(yīng)自變量范圍，導數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題5、D【解析】

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為連接點和可行域內(nèi)的點的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖，目標函數(shù)可表示連接點和可行域內(nèi)的點的直線斜率的倒數(shù)，由圖可知，直線的斜率最小，直線的斜率最大，由可得，由可得，所以，，所以.故選：D.【點睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結(jié)束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結(jié)束，得，故選C．【點睛】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵．8、D【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.【詳解】設(shè)四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質(zhì)可得，又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用通項公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為，令，得，則，所以，解得.故選：C【點睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù)，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.10、C【解析】

不妨設(shè)在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力.11、B【解析】

設(shè)，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．12、C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】解：因為，故定義域為14、【解析】

不妨設(shè)點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，根據(jù)題意F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設(shè)棱長為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據(jù)頂點A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設(shè)點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，如圖所示：由題意得：F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設(shè)棱長為a，，頂點D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點A到面EDF的距離為，所以，因為，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于難題，15、【解析】

設(shè)切點坐標為，利用導數(shù)求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【詳解】設(shè)切點坐標為，，，，則曲線在點處的切線方程為，由于該直線過原點，則，得，因此，則過原點且與曲線相切的直線方程為，故答案為．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查過點作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設(shè)切點坐標，并利用導數(shù)求出切線方程；（2）將所過點的坐標代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點的坐標；（3）將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程．16、【解析】

取的中點為M，由可得，可得M在上，當最小時，弦的長才最大.【詳解】設(shè)為的中點，，即，即，，.設(shè)，則，得.所以，.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因為在銳角中，，所以（2）因為，所以，因為是銳角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【點睛】此類問題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識，同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能，屬于中檔題.18、（1）分布列見解析,（1）【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；的可能取值為0，1，1，由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學期望公式即可求得其數(shù)學期望.（1）先求得年齡在內(nèi)的頻率，視為概率.結(jié)合二項分布的性質(zhì)，表示出，令，化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時的值．【詳解】（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，年齡在的人數(shù)為人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．所以的可能取值為0，1，1．所以，，，所以的分市列為011．（1）設(shè)在抽取的10名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為，服從二項分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為，所以，所以．設(shè)，若，則，；若，則，．所以當時，最大，即當最大時，．【點睛】本題考差了離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望的求法，二項分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1），，.（2）當時，此時選擇火車運輸費最??；當時，此時選擇飛機運輸費用最??；當時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】

（1）將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.（2）作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比較與的大小關(guān)系即可，令，故當，即時，，即，此時選擇火車運輸費最省，當，即時，，即，此時選擇飛機運輸費用最省.當，即時，，，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.20、【解析】

將直線的極坐標方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程,聯(lián)立直角坐標方程求出交點坐標,結(jié)合的取值范圍進行取舍即可.【詳解】因為直線的極坐標方程為，所以直線的普通方程為，又因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的直角坐標方程為，聯(lián)立方程,解得或，因為，所以舍去，故點的直角坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化;考查運算求解能力;熟練掌握極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最小值為9，.【解析】

（Ⅰ）由已知求出拋物線的焦點坐標即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標準方程；（