2023專題3：根與系數(shù)的關(guān)系(含答案)

專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系例1.已知關(guān)于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若x1、x2為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且滿足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知關(guān)于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求

m的值．例3．已知關(guān)于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12m，且點(diǎn)B（m，n）在x軸上，求m.例4.已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知關(guān)于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求證：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出k的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)?shù)妊切蜛BC的邊長(zhǎng)a=4，另兩邊的長(zhǎng)b、c訓(xùn)練1.已知關(guān)于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β，滿足1α+1β=1，求2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的范圍；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知關(guān)于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）證明：無(wú)論m為何值方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）是否存在正數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于26？若存在，求出滿足條件的正數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k為常數(shù)）．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)x1、x2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2x1+x2=14，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和k的值．5.已知關(guān)于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x1、x2滿足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（m-2）x+12m-3=0（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m7.已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一個(gè)根為x=3．（1）求a的值及方程的另一個(gè)根；（2）如果一個(gè)等腰三角形（底和腰不相等）的三邊長(zhǎng)都是這個(gè)方程的根，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．8.設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實(shí)根，當(dāng)a為何值時(shí)，x12+x22有最小值？最小值是多少？專題：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，解得：m＞-14，∵二次項(xiàng)系數(shù)≠0，∴m≠0，∴當(dāng)m＞-14且m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵x1、x2為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=2m-1m，x1x2=m-2m，∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2m-1m）2-3(m-2)m=2，解得：m1=2+1，m2=-2解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵x=4m±362=2m±3，∴x1=2m-3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，∴解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），=m2+8m+16=（m+4）2又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵方程的兩個(gè)根分別為x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=-4-3mm，x1?x2=2m-8m，n=x2-x1-12m，且點(diǎn)B（m，n）在x軸上，∴x2-x1-12m=(x1+x2)2-4x2x1-12.解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．（2）∵原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5．∵m＞2，∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1?x2=m2+5＞0，∴x1＞0、x2＞0．∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2，∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m證明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-12）=（2k-3）2≥0，∴方程總有實(shí)根；解：（2）∵兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；（3）①當(dāng)b=c時(shí)，則△=0，即（2k-3）2=0，∴k=32，方程可化為x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不適合題意舍去；②當(dāng)b=a=4，則42-4（2k+1）+4（k-12）=0，∴k=52，方程化為x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，當(dāng)c=a=4時(shí)，同理得b訓(xùn)練1.（1）證明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=m+2m，αβ=2m，∵1α+1β=1，∴m+2m2m=m+22=1，解得2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由兩根關(guān)系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程組x1+x2=2x1+3x2=3，解得x1=32x2=12，∴m=x1?x2=32×12=34；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x23.（1）證明：∵關(guān)于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判別式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴無(wú)論m為何值方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，則x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解這個(gè)方程得，m=175或m=-1，所以存在正數(shù)m=174.（1）證明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵x1、x2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=6①，x1?x2=-k2，∵2x1+x2=14②，聯(lián)立①②成方程組x1+x2=62x1+x2=14，解之得：x1=85.解：（1）∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，解得：k＜512；（2）∵k＜512，∴x1+x2=2k-3＜0，又∵x1?x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=1，k2=-2，又∵k＜512，6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（12m-3）=（m-3）2+3＞0，∴無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+12m-3=0解得m=7.解：（1）將x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程為x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值為2，方程的另一個(gè)根為x=2．（2）結(jié)合（1）