2023年福建省福州一中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷

2023年福建省福州一中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分1．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．x≥-1B．x≥-1且x≠3C．x＞-1D．x＞-1且x≠32．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a-b|-|a|的結(jié)果為（）A．-2a+bB．-bC．-2a-bD．b3．如圖，4根火柴棒形成象形“口”字，只通過(guò)平移火柴棒，原圖形能變成的漢字是（）A.B.C.D.4．打開(kāi)某洗衣機(jī)開(kāi)關(guān)，在洗滌衣服時(shí)（洗衣機(jī)內(nèi)無(wú)水），洗衣機(jī)經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間滿足某種函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象大致為（）A．B．C．D．5．對(duì)參加某次野外訓(xùn)練的中學(xué)生的年齡（單位：歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：年齡131415161718人數(shù)456672則這些學(xué)生年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．17，15.5B．17，16C．15，15.5D．16，166．如圖所示，圓A和圓B的半徑都為1，AB=8．圓A和圓B都和圓O外切，且三圓均和直線l相切，切點(diǎn)為C、D、E，則圓O的半徑為（）A．3B．4C．5D．67．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①abc＞0；②b2-4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=6，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得折痕EF．則tan∠BFE的值是（）A．12B．1C．2D．39．如圖是一個(gè)切去了一個(gè)角的正方體紙盒，切面與棱的交點(diǎn)A，B，C均是棱的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙盒剪開(kāi)展成平面，則展開(kāi)圖不可能是（）A．B．C．D．10．甲，乙，丙，丁，戊與小強(qiáng)六位同學(xué)參加乒乓球比賽，每?jī)扇硕家荣愐粓?chǎng)，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了5場(chǎng)，乙已經(jīng)賽了4場(chǎng)，丙已經(jīng)賽了3場(chǎng)，丁已經(jīng)賽了2場(chǎng)，戊已經(jīng)賽了1場(chǎng)，小強(qiáng)已經(jīng)賽了（）A．1場(chǎng)B．2場(chǎng)C．3場(chǎng)D．4場(chǎng)17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，直線AB與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，n），線段OA=5，E為x軸正半軸上一點(diǎn)，且tan∠AOE=（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積．18．如圖，過(guò)圓O直徑的兩端點(diǎn)M、N各引一條切線，在圓O上取一點(diǎn)P，過(guò)O、P兩點(diǎn)的直線交兩切線于R、Q．（1）求證：△NPQ∽△PMR；（2）如果圓O的半徑為，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的長(zhǎng)19．如果方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1、x2，那么x1+x2=-b，x1x2=c，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：（1）已知關(guān)于x的方程x2-（a+1）x+a2+1=0的兩根之差的絕對(duì)值為，求a的值；（2）已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)20．福州一中初一（1）班的班徽如圖1所示，班徽由一個(gè)菱形和一個(gè)正三角形組合構(gòu)成，如圖2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN為正三角形，如果點(diǎn)M、N分別在菱形的變AB、BC上滑動(dòng)，且M、N不與A、B、C重合．（1）證明：不論M、N如何滑動(dòng)，總有BM=CN；（2）在M、N滑動(dòng)的過(guò)程中，試探究四邊形DMBN的面積是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）求△BMN的面積的最大值．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-與拋物線y=-x2+bx+c交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8（1）求該拋物線的解析式（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．22．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究各種多邊形數(shù)，比如：他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù)；類(lèi)似的，稱(chēng)圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)位正方形數(shù)（四邊形數(shù)）．（1）請(qǐng)你寫(xiě)出既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)且大于1的最小正整數(shù)為（2）試證明：當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必須為正方形數(shù)；（3）記第n個(gè)k變形數(shù)位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①試直接寫(xiě)出N（n，3）N（n，4）的表達(dá)式；②通過(guò)進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)N（n，5）=n2-n，N（n，6）=2n2-n，…，請(qǐng)你推測(cè)N（n，k）（k≥3）的表達(dá)式，并由此計(jì)算N（10，24）的值．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，請(qǐng)將正確答案填在答題卡相應(yīng)位置11．對(duì)正實(shí)數(shù)a，b作定義a*b=-a，若2*x=6，則x=12．羅馬數(shù)字有7個(gè)基本符號(hào)，它們分別是I，V，X，L，C，D，M分別代表1，5，10，50，100，500，1000．羅馬數(shù)依靠這7個(gè)符號(hào)變換組合來(lái)表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分別表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分別表示9，10，11，12；根據(jù)以上規(guī)律，你認(rèn)為L(zhǎng)II表示的數(shù)應(yīng)該是13．已知一個(gè)口袋中裝有7個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)白球，4個(gè)黑球，若往口袋中再放入x個(gè)白球和y個(gè)黑球，從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為15．將一副三角板按如圖1位置擺放，使得兩塊三角