周世勛量子力學(xué)習(xí)題及解答

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1．1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長?m與溫度T成反比，即?mT=b（常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，確鑿到二位有效數(shù)字。

解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式

8?hv3?vdv?3?1hvdv，（1）

cekT?1以及?v?c，?vdv???vd?，有

?dv????d?d??c????????v(?)d???

v(?)??c?8?hc1?5?hc,e?kT?1???'hc1???5?hc?1???8??6?hc??0e?kT?1???kT1?e?hc?kT????5?hc1?kT??0

1?e?hc?kThc?5(1?e??kT)?hc?kT假使令x=

hc?kT，則上述方程為5(1?e?x)?x：x=0，取：x=4.97，?hcmT?xk把x以及三個物理常量代入到上式便知

?mT?2.9?10?3m?K

2）

3）

1

（（1．2在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。

解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知

在這里，利用了以及

最終，對

E=hv，

P?h?

p2E?2?eE=pc

??hp

?h2?eE?hc2?2ecE?1.24?10?62?0.51?106?3m

?0.71?10?9m?0.71nmhc?1.24?10?6eV?m

?ec2?0.51?106eV

??hc2?ec2E

2

1．3氦原子的動能是E?3，求T=1K時，氦原子的德kT（k為玻耳茲曼常數(shù)）

布羅意波長。

解根據(jù)

有

這里，利用了

21k?K?10?3eV，

E?32kT?32k?K?1.5?10?3eV,??hc2?2核cE

?1.24?10?62?3.7?109?1.5?10?3m?0.37?10?9m

?0.37nm?核c2?4?931?106eV?3.7?109eV

??hc2?c2E?hc2?kc2T

3

2.1證明在定態(tài)中，幾率流與時間無關(guān)。證：對于定態(tài)，可令?

?(r，t)??(r?)f(t)i??(?r)e??Et?J?i?2m(???*??*??)

?i?[?(?r)e?ii?Et?（?(?r)e??Et）*??*(?r)e?i?Et?（?(?r)e?i?Et2m）]?i?2m[?(?r)??*(?r)??*(?r)??(?r)]可見J?與t無關(guān)。

4

2.2由以下定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：

11r(1)?1?eik(2)?2?e?ikrrr從所得結(jié)果說明?1表示向外傳播的球面波，?2表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。

解：J??1和J2只有r分量

在球坐標(biāo)中???r??1?0?r?e?r????e1??rsin???

(1)J?i?**1?2m(?1??1??1??1)?i?1ikr?2m[re?r(1re?ikr)?1re?ikr??r(1ikr?re)]r0?i?111112m[r(?rr)?r(?1?2?ikr2?ikr)]r0??k??k?mr2r0?mr3r?J?1與r同向。表示向外傳播的球面波。

(2)?Ji?**2?2m(?2??2??2??)?i?1?2m[reikr??r(1reikr)?1?1?ikr?reikr?r(re)]r0?i?112m[r(?1111?r2?ikr)?r(?r2?ikr)]r0???k