分形整合過程在經(jīng)濟預測中的應用

分形整合過程在經(jīng)濟預測中的應用鄒新月鄒新月，1965出生，湖南新化人，湘潭工學院副教授，博士，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟理論與應用，鄒新月，1965出生，湖南新化人，湘潭工學院副教授，博士，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟理論與應用，電話：（0732）8290411（H）8290046（O）（1湘潭工學院411201,2上海大學200072）摘要本文首先采用一個分形整合模型——誤差逗留模型（Error-DurationModel）仔細推導了分形時間序列過程的性質(zhì)，特別是序列自相關系數(shù)的性質(zhì)，表明分形整合過程與常規(guī)的時間序列分析工具有很大的不同，然后以一個實際的時間序列為例，說明了分形整合過程在經(jīng)濟預測中的應用比傳統(tǒng)的分析工具有較好的預測精度。關鍵字分形分形整合誤差逗留模型1引言經(jīng)濟數(shù)據(jù)（特別是經(jīng)濟生活中的時間序列）的辨識、建模、估計和預測一直是統(tǒng)計學家，尤其是計量經(jīng)濟學家們重點研究的對象。人們只有更準確地揭示出經(jīng)濟數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，才能正確把握經(jīng)濟變量之間的本質(zhì)聯(lián)系，完整地弄清市場經(jīng)濟的運作范式，從而為經(jīng)濟主管部門提供客觀的決策依據(jù)。眾所周知，回歸分析和時間序列分析方法過去是、今后仍然是經(jīng)濟領域研究的主要工具，特別是自ENGLE（1982）提出ARCH模型之后，時間序列分析方法又拓寬了一大步，出現(xiàn)了諸如ARCH、ARIMA、GARCH、EGARCH、EGARCH-M等模型，這些模型較之以前的模型更接近經(jīng)濟生活的實際，所以取得了更好的效果。但是近二十年的實證研究又表明上述方法與真實的模型之間仍然有一定的不容忽視的差距，或者說其殘差不能完全歸結(jié)為隨機噪聲。為解決這個問題，需要人們繼續(xù)拓寬視野，從更廣的角度、更深的層次來把握經(jīng)濟規(guī)律的內(nèi)涵，這正是實證研究自身發(fā)展的需要；另一方面，從LORENZ提出的“蝴蝶效應”，到HURST發(fā)現(xiàn)的R/S分析，再到MANDOLBROT分形幾何學的創(chuàng)立，又為統(tǒng)計學家的實證研究奠定了理論基礎，兩者的有機結(jié)合就開創(chuàng)了分形整合過程或者說是時間序列長程相關性的研究，出現(xiàn)了ARFIMA、FIGARCH、ARFIMA-GARCH等模型，甚至是GARMA、ARFISMA（文獻[1]）等模型，該領域的研究一直是時間序列分析的重點，在西方計量經(jīng)濟分析的研究中仍然是方興未艾，因為該領域尚未解決的問題比已經(jīng)解決的問題還要多得多，這也許就是其魅力之所在。國內(nèi)學者在該領域的研究也比較活躍，公開發(fā)出現(xiàn)了許多研究成果（文獻[4]、[5]、[6]），如文獻[6]的理論推廣，文獻[4]利用FIGARCH模型對股市長記憶性的實證分析等等。本文試圖以誤差逗留模型（Error-DurationModel）來仔細推導分形整合過程產(chǎn)生的機制和相關的性質(zhì)，以及時間序列長程相關性的判別方法，最后通過一個實例說明分形整合過程在經(jīng)濟預測中的應用。文章主要由兩個部分組成，第一部分是誤差逗留模型的相關推導，第二部分就是利用所得到的性質(zhì)來分析企業(yè)生存期的長短對就業(yè)的影響，指出這種影響遠非ARCH或GARCH模型可以描述的。2誤差逗留模型（Error-DurationModel）的推導設是一獨立同分布的誤差序列，且為常數(shù)，假設誤差逗留期為隨機變量，即的生存期為[，]，再定義關于的生存示性函數(shù)為：,并設對于所有的，有和相互獨立。用表示生存期為的概率，即，顯然為單調(diào)非增序列，為方便起見，可取。表示在期及以前所有誤差的累計誤差總和，即。如果{}的自協(xié)方差存在，不妨用{}表示（k為時滯），則下式成立：（1）或者如果用{}來表示，也就是說下式成立：（2）同樣，如果{}的自協(xié)方差存在（B為后移算子），不妨用{}表示，則有下式成立：（3）下面我們給出（1）、（3）兩式的證明。根據(jù)自協(xié)方差定義式，有：由假設和相互獨立（）可知：（），顯然由可推知又因為和，以及與相互獨立的假設，得到，展開就得到式（1）。同樣對于的自協(xié)方差，由以下兩式相減得到：，以及，兩式中只有的系數(shù)不同時為0，并且，所以：，再由的定義式即有（3）式成立。在誤差逗留模型滿足一定的條件下，以上我們得到了每個誤差生存概率與誤差總和的自協(xié)方差（或）之間的對應關系。顯然這里誤差逗留模型對應于，長程相關性對應于（或），那么或者說滿足怎樣的條件，就是分形整合過程呢？關于長程相關性的定義已有許多種形式，嚴格的數(shù)學定義式可參見國外文獻[1]或國內(nèi)文獻[7]，這里我們直接采用的定義式，即：如果，就說具有長程相關性，或者說是分形整合過程。其等價定義式可以表示為。由此我們可以很容易得到：如果參數(shù)，，則具有長程相關性，甚至只要滿足：對某個常數(shù)和參數(shù)，有極限成立即可。直觀說來，如果逗留誤差的生存概率減少的速度比下降的速度來得慢的話，就是分形整合過程；如果生存概率減少的速度比還要緩慢的話，則不僅僅只是分形整合過程，而且還是非平穩(wěn)過程。需要指明的是，分形整合過程有一個顯著的特征就是，雖然為單調(diào)非增序列，但比率卻是單調(diào)非減的，甚至以1作為該比率序列的上確界。為了說明分形整合過程與AR過程在時間序列預測中的本質(zhì)區(qū)別，這里分別選用模型，，和，以比較兩者的自相關系數(shù)遞減的快慢速率，計算結(jié)果見表1。從表中顯示的數(shù)據(jù)可以看到，在分形整合模型中，參數(shù)的符號決定了自相關系數(shù)的符號，而且正相關系數(shù)對應的長程相關性顯得尤為突出；雖然模型和的一階滯后相關系數(shù)均為0.5,但滯后10階時兩者就已經(jīng)相差235倍,這就說明用AR模型來描述分形整合過程時，誤差太大，對有長程相關性的時間序列的預測必須用分形整合過程方法，以提高預測精度。表1兩模型自相關系數(shù)模型LagK10.500-0.2500.50020.400-0.0710.25030.350-0.0360.12540.318-0.0220.06350.295-0.0150.031100.235-0.0050.001250.173-0.0012.98E-8500.137-3.24E-48.88E-161000.109-1.02E-47.89E-313應用實例一個國家就業(yè)率的高低是反映該國經(jīng)濟發(fā)展水平的一項重要指標，對該指標作出準確預測無疑有著極其重要的意義，下面結(jié)合文獻[3]的資料來說明分形整合過程在經(jīng)濟預測中的重要作用。影響就業(yè)率的因素有企業(yè)規(guī)模和企業(yè)數(shù)量，為方便計，本例假定企業(yè)規(guī)模是一樣的。任何一個企業(yè)都有創(chuàng)立、發(fā)展、衰落直至消亡的過程，所以可把它看作是前文中的一個誤差逗留模型，那么一個企業(yè)的生存概率有怎樣的規(guī)律呢？如果是一個AR過程，那么一個企業(yè)在第i年的與在第2*i年的應該滿足平方關系，即，但文獻[3]的統(tǒng)計資料顯示有，=0.246，顯然不符合AR模型的要求?，F(xiàn)假設企業(yè)生存過程是一個分形整合過程，即，、為參數(shù)。在時間標度不變的前提下，由等式可得，分別取、，求得參數(shù)，然后根據(jù)求得的和值分別計算對應的值，擬合結(jié)果見表2，對應的圖形顯示如圖1。表2分形整合過程擬合原始數(shù)據(jù)的離差分析K(1)()(2)/(3)(4)(5)(6)(4)-(2)(5)-(2)(6)-(2)10.8120.8121.2471.3991.3580.4350.5870.54620.6520.8030.7650.8290.8120.1130.1770.1630.5380.8260.5750.6100.6010.0370.0720.06340.4610.8570.4690.4910.4860.0080.0300.02550.4010.8680.4010.4150.41100.0140.0160.3570.8910.3530.3620.359-0.0040.0050.00270.3220.9020.3160.3220.321-0.0060.00-0.00180.2920.9080.2880.2910.290-0.004-0.001-0.00290.2660.9110.2650.2660.266-0.00100100.2460.9230.2460.2460.246000★★★數(shù)列（2）

數(shù)列（4）╋╋╋數(shù)列（5）△△△數(shù)列（6）圖1原始數(shù)列（2）與擬合數(shù)列（4）、（5）、（6）的比較從以上圖表可知，三類分形整合過程都有較高的擬合精度，在K>3以后離差不超過5%，而在K>5以后離差不超過1%，可見利用分形整合過程可以提高對經(jīng)濟變量預測的精度。4結(jié)論通過上述分析過程，我們可以得出分形整合過程與常規(guī)的時間序列分析工具有很大的不同，且分形整合過程在經(jīng)濟預測中的應用比傳統(tǒng)的分析工具有較好的預測精度，特別是對于經(jīng)濟生活中那些具有長程相關性的時間序列必須用分形整合過程的方法來預測，才能準確地揭示出經(jīng)濟數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，把握經(jīng)濟變量之間的本質(zhì)聯(lián)系，為經(jīng)濟主管部門的理性決策提供科學的證據(jù)。參考文獻Baillie,R.T.,LongMemoryProcessesandFractionalIntegrationinEconomics.JournalofEconometrics,1996(73):5-59Geweke,J.,S.Porter-Hudak,TheEstimationandApplicationofLongMemoryTimeSeriesModels.JournalofTimeSeriesAnalysis,1983(4):221-238Nucci,A.R.TheDemographyofBusinessClosings.SmallBusinessEconomics,1999(12):25-39湯果,何曉群,顧嵐.FIGARCH模型對股市收益長記憶性的實證分析.統(tǒng)計研究,1999(7)張世英,劉菁.長記憶性時間序列及其預測.預測,1999(3)李漢東,張世英.自回歸條件異方差的持續(xù)性研究.預測,2000(1)7．黃登仕,李后強.非線性經(jīng)濟學的理論和方法.四川大學出版社,1992InternationalBusiness&ManagementCollegeofShanghaiZouxinyue(XiangtanInstituteTechnology,Hunan,411201)Lvxianjin(ShanghaiAbstractThisarticleusesamodel,Error-DurationModel,toinferthecharactersoftime-sequence-procedure,especiallythecharactersofthesequence’sself-relevantCoefficient,andindicatestheprocedurehaslargedifferencewithregulartime-sequenceanaly