第八講正態(tài)分布及隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第八講正態(tài)分布及隨機(jī)變量函數(shù)的分布第1頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、分布函數(shù)（P27）

定義(P27)：設(shè)是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)，事件的概率稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。記為，即第2頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分布函數(shù)的性質(zhì)(P28)

(1)單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);(2)規(guī)范性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

若某函數(shù)滿(mǎn)足上述3條性質(zhì)，則它一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)第3頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一般結(jié)論：

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …則X的分布函數(shù)為：一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量，若P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)第4頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、連續(xù)型隨機(jī)變量(P30)

定義(P31)：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，如果隨機(jī)變量的分布函數(shù)F（x）可以寫(xiě)成則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).常記為～,(-<x<+)第5頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

密度函數(shù)的性質(zhì)(P31-32)(1)非負(fù)性

0，(-<x<)；

(2)歸一性（4）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，連續(xù)型隨機(jī)變量取該值的概率為零，即(-<b<)，則P{=b}＝0。第6頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

連續(xù)型隨機(jī)變量落入某區(qū)間的概率等于

其密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分或

其分布函數(shù)在該區(qū)間“右端點(diǎn)”處

的值減去“左端點(diǎn)”處的值第7頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、均勻分布(P32)則稱(chēng)服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布。記作~U[a,b]試求其分布函數(shù)F(x)四、常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布（P32）

第8頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、指數(shù)分布（P33）第9頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一要求：（1）明確分布函數(shù)的含義。

（2）掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)和分布函數(shù)及簡(jiǎn)單概率計(jì)算。

（3）掌握均勻分布和指數(shù)分布的概率計(jì)算。

第10頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、正態(tài)分布（P35）第八講正態(tài)分布及隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第11頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，說(shuō)明隨機(jī)變量取值越分散越小，曲線越陡峻，說(shuō)明隨機(jī)變量取值越集中。正態(tài)分布也稱(chēng)為高斯(Gauss)分布第12頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第13頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第14頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第15頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由此可得P37結(jié)論第16頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第17頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第18頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一實(shí)際中常常有一些隨機(jī)變量，它們的分布往往難于直接得到(如滾珠體積的測(cè)量)，但是與它們有關(guān)系的另一隨機(jī)變量其分布是容易知道的(如滾珠直徑測(cè)量值)。因此，要研究由已知的隨機(jī)變量的分布求出與之有關(guān)的另一隨機(jī)變量的分布。第19頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量函數(shù)的概念

定義：設(shè)是定義在隨機(jī)變量的一切可能值的集合上的函數(shù)。如果對(duì)于的每一個(gè)可能取值，有另一個(gè)隨機(jī)變量的相應(yīng)取值。則稱(chēng)為的函數(shù)，記為。

隨機(jī)變量函數(shù)的分布第20頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布（P39）例5：測(cè)量一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，其結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量(為簡(jiǎn)便起見(jiàn)把它看成是離散型的)，其分布如下表。求周長(zhǎng)與面積的分布律。P0.20.30.40.1解：PP0.2

36

0.2

81

0.3400.31000.4440.41210.1480.1144第21頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(shù)(xk)有相同的，其對(duì)應(yīng)概率合并。）一般地若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：XPk而隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)，Y=g(X)，則Y的分布列為：PkY可記在P39第22頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一XPk-101YPk1例6:已知隨機(jī)變量X的分布列為：求：Y=X2的分布律解：YPk100第23頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一課練：設(shè)的分布如下表，求和的分布。P0.20.10.30.30.1P0.10.50.30.1P0.20.10.30.30.1第24頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布P40第25頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第26頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注：只有當(dāng)f(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式。第27頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第28頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本次課的要求：

（1）掌握一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系，學(xué)會(huì)將一般正態(tài)分布的概率問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

（2）明確隨機(jī)變量函數(shù)的概念。（3）掌握由已知的隨機(jī)變量的分布求出與之有關(guān)的隨機(jī)變量的分布。重點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布。第29頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，