第六講方差分析與實驗設計

第六講方差分析與實驗設計第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一本講主題方差分析－－多個總體平均值相等的檢驗Testingfortheequalityofkpopulationmeans多重比較過程Multiplecomparisonprocedures完全隨機設計Completelyrandomizeddesigns隨機區(qū)組設計Randomizedblockdesign多因素實驗Factorialexperiments第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一方差分析－多個等方差正態(tài)總體均值的假設檢驗引例：為了了解工人對綜合質量管理了解多少，從三個工廠各隨機抽取6名工人進行測驗，得分如下觀測個體工廠1考分工廠2考分工廠3考分185715927575643827362476746957169756858267樣本均值797466樣本方差342032第3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）現(xiàn)在的問題是檢驗假設不是所有總體的均值都相等在之下，三個樣本均來自同一總體，由樣本均值的抽樣分布可知，三個樣本均值的均值也是總體均值的最好估計值樣本均值的方差的估計值為

第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）

由此得總體方差的樣本間估計值為這個值遠大于總體方差用各個樣本方差作估計的估計值34、20、32，也遠大于各個樣本方差的平均值（或稱為的樣本內估計值）

第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）

如果前面的假設正確，基于樣本均值本身之間的差異的的估計值與基于每個樣本內數(shù)據(jù)的的估計值應該不會有太大的差異，即二者之間的比值應接近1才對。如果差異太大，即二者比值遠大于1，說明三個樣本并非來自于一個總體，即前面假設就不真，那么究竟怎樣才算差異大呢，也就是二者的比例什么情況下才算遠大于1呢？第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）考慮m個等方差的正態(tài)總體要檢驗不是所有總體的方差都相等

為此，從第i（）個總體中隨機抽取容量為的樣本，得觀測值如下表第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）

觀測個體總體1…i…總體m1……2…………………………………………………………樣本均值樣本方差第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）令為所有觀測值的平均值，其中。當時第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）兩種變差隨機變差：同一工廠里的工人的成績是不同的。系統(tǒng)變差：不同的工廠里的工人的成績是不同的。

要判別不同的工廠是否是造成工人成績差異的主要因素，歸結為判斷三個總體是否具有相同分布的問題。第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一則總體誤差平方和SST被分解為兩個部分：組間誤差平方SSB和及組內誤差平方和SSW多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一記則在之下多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）則對任意給定的，可找到，使利用樣本觀測值求出組間方差估計值與組內方差估計之比，若，則拒絕接受原假設，否則接受原假設。

第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）

方差分析表方差來源平方和自由度均方和F－值組間SSBM-1MSBMSB/MSW組內SSWN-mMSW總計SSTN-1MST第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析（等方差情況）

方差分析表方差來源平方和自由度均方和F－值組間51622589組內4301528.67F0.05(2,15)=3.68總計94617第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一

對任意，的關于的否定區(qū)域為多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－多重比較（Fisher’sLSD）第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一在前例中

因此沒有理由拒絕假設，而有理由拒絕假設和多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－多重比較（Fisher’sLSD）第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗

－多重比較（Fisher’sLSD）一、方差具有齊性時均值的比較方法有多種，如：1、LSD：用T檢驗完成各組均值間的配對比較，對多重比較誤差不進行調整；2、LSDMOD：用T檢驗完成各組間均值的配對比較，但通過設置每個檢驗的誤差率來控制整個誤差率二、方差不具齊性時均值的比較方法也有多種，如1、Tamhane’sT2：檢驗進行配對比較2：Dunnett’sT3：正態(tài)分布下的配對比較第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個正態(tài)總體均值的假設檢驗SS----SumofSquare（平方和）df----degreeoffreedom(自由度）MS----MeanSquare,Variance(方差）F----由樣本算出的F值P-value----拒絕H0犯錯的概率F-crit----在所要求的顯著水平下的F的臨界值第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個等方差正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析方差分析的SPSS實現(xiàn)1、打開SPSS數(shù)據(jù)編輯器（SPSSDataEditor）2、將數(shù)據(jù)按因變量及自變量形成具有兩個變量的數(shù)據(jù)文件，其中自變量即是因素的各不同水平，均用數(shù)字代表，因變量即是各不同水平對應的觀測值3、打開主菜單Analyze中的“CompareMean”選項，打開“One-WayANOVA”對話窗，將因變量移入“DependentList”表框，將自變量移入“Factor”表框，點擊“OK”，基本的方差分析便可完成。第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多個等方差正態(tài)總體均值的假設檢驗

－方差分析方差分析的SPSS實現(xiàn)1、Polynomial選框：選擇此項，后面的“degree”變?yōu)榭捎?，系統(tǒng)默認為“Linear”。即自、因變量間的線性關系檢驗。2、Coefficients窗口：有時候需要比較自變量不同取值對應的分組數(shù)據(jù)的均值，例如某一組的均值是否與另一組或另幾組的均值相等，或某組均值的多少倍是否與另一組或幾組的均值的多少倍相等，等等。3、Previous、Next：閱讀、修改、輸入前后面的系數(shù)第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一1）方差分析是多個總體進行的假設檢驗，必須在前述兩個基本假定前提下進行，即各總體方差必須相等。2）利用F檢驗時，若組內方差的自由度(r-1)n很小，則F檢驗靈敏度很低。此時，必須增加試驗次數(shù)或放寬，以達到實踐中檢驗的可靠性。3）在總體不遵從正態(tài)分布時，可采用非參數(shù)分析法或將變量作適當變換，使變換后的隨機變量遵從正態(tài)分布且方差相等，然后再進行方差分析。第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－基本術語實驗：收集樣本數(shù)據(jù)的過程實驗設計：收集樣本數(shù)據(jù)的計劃響應變量：實驗中測量的變量實驗單元：測量響應變量的對象因素：凡與響應變量有關系的變量稱為因素因素水平：因素的不同等級處理：實驗中若干個因素的若干水平的特定組合

重復：同一水平或處理的多次測量第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一例如：一項市場營銷研究的內容是考察品牌和貨架位置對咖啡周銷量的影響。分別記錄放在三個貨架位置（底部、頂部和中部）的兩種品牌（品牌A和品牌B）的咖啡銷售量。品牌與貨架的不同組合共有6種，在18周的時間內，每周變換一種組合。這種設計的安排如下表.試識別本實驗單元。貨架位置底中頂品牌A

B第(1,9,14)周第(2,7,16)周第(4,12,17)周第(5,10,13)周第(3,8,18)周第(6,11,14)周實驗設計－基本術語第24頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－完全隨機化設計完全隨機化設計是一種將K種處理隨機指派給各個實驗單元的設計，或者說是一種從K個總體分別抽取獨立隨機樣本的設計。例：一公司考慮用三種方法為銷售人員支付酬金：只給傭金，給固定薪金，較低的固定薪金加酬金。為比較哪種方法能調動銷售人員的極積性，分別從三類銷售人員中隨機抽取7名，檢查其月銷售額，列入下表第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－完全隨機化設計傭金固定薪金傭金加固定金165120140981151561309022021012611219510713418715523524080待查175113.29166.17第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－完全化隨機設計觀測個體處理1…處理i…處理k個體1……個體2……………………………………………個體……處理均值第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－完全化隨機設計在完全化隨機實驗設計中，總體誤差平方和SST被分解為兩個部分：處理間誤差平方SSTR和及隨機誤差平方和SSE第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－完全化隨機設計記則在之下第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－完全隨機化設計

方差分析表方差來源平方和自由度均方和F－值組間SSTRM-1MSTRMST/MSE組內SSEN-mMSE總計SSTN-1MST第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機化區(qū)組設計隨機化區(qū)組設計是一種在M個區(qū)組的每一區(qū)組內對K種處理進行比較的設計。每個區(qū)組含K個匹配的實驗單元和K種隨機分派的處理，并要求將每種處理分派給每個區(qū)組內的每一個單元。例：某超市A有一天將3個競爭超市（超市B、超市C和超市D）的49種雜貨項目的售價與本超市售價作了比較。下表列出隨機選出的7個項目的價格。試問：怎樣才能確定這四個超市雜貨項目的平均價格之間是否有差別？第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機化區(qū)組設計

雜貨項目超市A超市B超市C超市D麥片1.1美元1.18美元1.39美元1.18美元果凍0.240.240.310.26肥皂0.520.600.630.55克利斯科油1.261.702.271.29潔唇紙0.670.700.790.70金槍魚肉0.630.660.790.63德蒙特豌豆0.430.470.650.47第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機區(qū)組設計

觀測個體處理1…處理i…處理k區(qū)組均值區(qū)組1……區(qū)組2……………………………………………………區(qū)組b……處理均值第33頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機區(qū)組設計在隨機區(qū)組實驗設計中，總體差異平方和被分解為三部分：處理平方和、區(qū)組平方和及誤差平方和：

第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機區(qū)組設計令則在之下

第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機化區(qū)組設計

方差分析表方差來源平方和自由度均方和F－值處理間SSTRk-1MSTRMST/MSE區(qū)組間SSBLb-1MSBL誤差SSE(k-1)(b-1)MSE總計SSTN-1MST第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機區(qū)組設計在前例中

第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機區(qū)組設計令則在之下

第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一實驗設計－隨機化區(qū)組設計

方差分析表方差來源平方和自由度均方和F－值處理間SSTRk-1MSTRMST/MSE區(qū)組間SSBLb-1MSBL誤差SSE(k-1)(b-1)MSE總計SSTN-1MST第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一多因素實驗設計影響試驗結果（因變量的取值）的因素同時有多個。主效應：因素水平的改變所造成的試驗結果的改變；交互效應：當某一因素的效應隨另一因素的水平不同而不同，則稱職這兩個因素之間存在交互作用。由于交互作用引起的試驗結果的改變稱為交互效應。因素間是否存在交互作用，直觀上可通過交互作用圖判斷，理論上可通過專門的數(shù)學方法進行檢驗。第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一因素B因素AA1A2…ArB1x11x12…x1rX1.B2x21x22…x2rX2.………………Bsxs1xs2…xsrXs.X.1X.2…X.r特點：每一處理只有一個觀測值雙因素實驗設計—不考慮交互作用第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計－不考慮交互作用例如：考慮不同推進器及不同燃料對射程的影響，試驗結果如下：推進器1推進器2推進器3燃料158.256.265.3燃料249.154.151.6燃料360.170.939.2燃料475.858.248.7第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—不考慮交互作用不同推進器及不同燃料對射程的影響圖第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—不考慮交互作用方差分析模型：觀察值=未知常數(shù)+因素A效應+因素B效應+殘差因素A與因素B間不存在相互作用某一特定的組合（單元）的聯(lián)合效應不會大于各因素的主效應之和。第44頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—不考慮交互作用離差平方和分解其中：

——總誤差平方和

——

因素A的誤差平方和

——因素B的誤差平方和

——

隨機誤差平方和第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—不考慮交互作用假設檢驗：判斷因素A的影響是否顯著等價于檢驗假設H01：.1=.2=…=.r(A因素各水平均值相等)；H11:

至少有一個等式不成立統(tǒng)計量判斷因素B的影響是否顯著等價于檢驗假設H02：1.=2.=…=s.(B因素各水平均值相等)；H12:

至少有一個等式不成立統(tǒng)計量如果F>F，則拒絕H0。第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—不考慮交互作用SPSS實現(xiàn)（1）

1、在SPSSDataEditor中將數(shù)據(jù)依左圖形式編輯；2、打開主菜單Analyze中的“GeneralLineralModel”選項，打開“Univariate”對話窗，將因變量移入“DependentList”表框，將自變量移入“FixedFactor”表框；3、打開“Model”對話窗第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—不考慮交互作用SPSS實現(xiàn)（2）1、點黑“Custom”2、在“BuildTerm”欄，選擇“MainEffects”；3、將“Factor”欄內的自變量移入“model”欄；4、點擊“Continue”5、基本設置完畢，點擊“Ok”。第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一SPSS輸出結果結果表明：采用不同的推進器及不同的燃料對火箭的射程均沒有顯著影響。雙因素實驗設計—不考慮交互作用第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—考慮交互作用

因素B總和B1B2Bb

因素AA1x111,…,x11rx211,…,x21r…xb11,…,xb1r

A2x121,…,x12rx221,…,x22r…xb21,…,xb2r

……………

Aax1a1,…,x1arx2a1,…,x2ar…xba1,…,xbar

總和

特點：各處理有重復值第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—考慮交互作用例如：考虛4種不同燃料與3種不同型號的推進器的搭配對火箭射程（單位：海里）的影響，每種搭配發(fā)射了2次火箭，共做了24次試驗，得數(shù)據(jù)如下：

要求分析燃料和推進器及搭配的不同是否對火箭的射程有顯著影響。零假設是沒有影響。推進器1推進器2推進器3燃料158.2,52.656.2,41.265.3,60.8燃料249.1,42.854.1,50.551.6,48.4燃料360.1,58.370.9,73.239.2,40.7燃料475.8,71.558.2,51.048.7,41.4第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計—考慮交互作用方差分析模型

i=1,2,…,a;j=1,2,…,a;k=1,2,…,r觀察值=未知常數(shù)+因素A效應+因素B效應+互作效應+殘差第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計－考慮交互作用平方各分解：在考慮交互作用存在的雙因素（因素A和因素B）實驗設計中，總體差異平方和SST被分解為四部分：A因素平方和SSA、B因素平方和SSB、互作平方和SSAB及誤差平方和SSE：

第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計－考慮交互作用其中第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計－考慮交互作用令

第55頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計－考慮交互作用假設檢驗：判斷因素A的影響是否顯著等價于檢驗

H01：α1=α2=…=αr=0

(A因素各水平均值相等)；或：H11:

至少有一個等式不成立統(tǒng)計量如果F>F，則拒絕H0。第56頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計－考慮交互作用假設檢驗：判斷因素B的影響是否顯著等價于檢驗

H02：β1=β2=…=βs=0（B因素各水平均值相等)；或：H12:

至少有一個等式不成立統(tǒng)計量

如果F>F，則拒絕H0。第57頁，共64頁，2023年，2月20日，星期一雙因素實驗設計－考慮交互作用假設檢驗判斷因素A、B的交互影響是否顯著等價于檢驗

H03：（αβ）ij=0

(互作因素各水平均