信號與系統(tǒng)試驗報告試驗三 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻域分析

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一、試驗目的

1、把握系統(tǒng)頻率響應特性的概念及其物理意義；2、把握系統(tǒng)頻率響應特性的計算方法和特性曲線的繪制方法，理解具有不同頻率響應特性的濾波器對信號的濾波作用；

3、學習和把握幅度特性、相位特性以及群延時的物理意義；4、把握用MATLAB語言進行系統(tǒng)頻響特性分析的方法。

基本要求：把握LTI連續(xù)和離散時間系統(tǒng)的頻域數(shù)學模型和頻域數(shù)學模型的MATLAB描述方法，深刻理解LTI系統(tǒng)的頻率響應特性的物理意義，理解濾波和濾波器的概念，把握利用MATLAB計算和繪制LTI系統(tǒng)頻率響應特性曲線中的編程。

二、試驗原理及方法

1連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻率響應

所謂頻率特性，也稱為頻率響應特性，簡稱頻率響應（Frequencyresponse），是指系統(tǒng)在正弦信號鼓舞下的穩(wěn)態(tài)響應隨頻率變化的狀況，包括響應的幅度隨頻率的變化狀況和響應的相位隨頻率的變化狀況兩個方面。

x(t)X(j?)LTI系統(tǒng)h(t)H(j?)y(t)Y(j?)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的時域及頻域分析圖上圖中x(t)、y(t)分別為系統(tǒng)的時域鼓舞信號和響應信號，h(t)是系統(tǒng)的單位沖激響應，它們三者之間的關系為：y(t)?x(t)*h(t)，由傅里葉變換的時域卷積定理可得到：

Y(j?)?X(j?)H(j?)

或者：H(j?)?3.1

Y(j?)3.2

X(j?)H(j?)為系統(tǒng)的頻域數(shù)學模型，它實際上就是系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)的傅里葉變換。即

?H(j?)????j?th(t)edt3.3?由于H(j?)實際上是系統(tǒng)單位沖激響應h(t)的傅里葉變換，假使h(t)是收斂的，或者說是絕對可積（Absolutlyintegrabel）的話，那么H(j?)一定存在，而且H(j?)尋常是復數(shù)，因此，也可以表示成復數(shù)的不同表達形式。在研究系統(tǒng)的頻率響應時，更多的是把它表示成極坐標形式：

H(j?)?H(j?)ej?(?)3.4

上式中，H(j?)稱為幅度頻率相應（Magnituderesponse），反映信號經過系統(tǒng)之后，信號各頻率分量的幅度發(fā)生變化的狀況，?(?)稱為相位特性（Phaseresponse），反映信號經過系統(tǒng)后，信號各頻率分量在相位上發(fā)生變換的狀況。H(j?)和?(?)都是頻率?的函數(shù)。

對于一個系統(tǒng)，其頻率響應為H(j?)，其幅度響應和相位響應分別為H(j?)和?(?)，假使作用于系統(tǒng)的信號為x(t)?ej?0t，則其響應信號為

y(t)?H(j?0)ej?0t3.5

?H(j?0)ej?(?0)ej?0t?H(j?0)ej(?0t??(?0))

若輸入信號為正弦信號，即x(t)=sin(?0t)，則系統(tǒng)響應為

y(t)?H(j?0)sin(?0t)?|H(j?0)|sin(?0t??(?0))3.6

可見，系統(tǒng)對某一頻率分量的影響表現(xiàn)為兩個方面，一是信號的幅度要被H(j?)加權，二是信號的相位要被?(?)移相。

由于H(j?)和?(?)都是頻率?的函數(shù)，所以，系統(tǒng)對不同頻率的頻率分量造成的幅度和相位上的影響是不同的。

2LTI系統(tǒng)的群延時

從信號頻譜的觀點看，信號是由無窮多個不同頻率的正弦信號的加權和（Weightedsum）所組成。正如方才所述，信號經過LTI系統(tǒng)傳輸與處理時，系統(tǒng)將會對信號中的所有頻率分量造成幅度和相位上的不同影響。從相位上來看，系統(tǒng)對各個頻率分量造成一定的相位移（Phaseshifting），相位移實際上就是延時（Timedelay）。群延時（Groupdelay）的概念能夠較好地反映系統(tǒng)對不同頻率分量造成的延時。

2

LTI系統(tǒng)的群延時定義為：

?(?)??d?(?)3.7d?群延時的物理意義：群延時描述的是信號中某一頻率分量經過線性時不變系統(tǒng)傳輸處理后產生的響應信號在時間上造成的延時的時間。

假使系統(tǒng)的相位頻率響應特性是線性的，則群延時為常數(shù)，也就是說，該系統(tǒng)對于所有的頻率分量造成的延時時間都是一樣的，因而，系統(tǒng)不會對信號產生相位失真（Phasedistortion）。反之，若系統(tǒng)的相位頻率響應特性不是線性的，則該系統(tǒng)對于不同頻率的頻率分量造成的延時時間是不同的，因此，當信號經過系統(tǒng)后，必將產生相位失真。

3用MATLAB計算系統(tǒng)頻率響應

在本試驗中，表示系統(tǒng)的方法依舊是用系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)行向量來表示。試驗中用到的MATLAB函數(shù)如下：

[H,w]=freqs(b,a)：b,a分別為連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的微分方程右邊的和左邊的系數(shù)向量

（Coefficientsvector），返回的頻率響應在各頻率點的樣點值（復數(shù)）存放在H中，系統(tǒng)默認的樣點數(shù)目為200點；

Hm=abs(H)：求模數(shù)，即進行Hm?H運算，求得系統(tǒng)的幅度頻率響應，返回值存

于Hm之中。

real(H)：求H的實部；imag(H)：求H的虛部；

phi=atan(-imag(H)./(real(H)+eps))：求相位頻率相應特性，atan()用來計算反正切值；

或者

phi=angle(H)：求相位頻率相應特性；

tao=grpdelay(num,den,w)：計算系統(tǒng)的相位頻率響應所對應的群延時。計算頻率響應的函數(shù)freqs()的另一種形式是：

H=freqs(b,a,w)：在指定的頻率范圍內計算系統(tǒng)的頻率響應特性。在使用這種形式的

freqs/freqz函數(shù)時，要在前面先指定頻率變量w的范圍。

例如在語句H=freqs(b,a,w)之前加上語句：w=0:2*pi/256:2*pi。

下面舉例說明如何利用上述函數(shù)計算并繪制系統(tǒng)頻率響應特性曲線的編程方法。假設給定一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，下面的微分方程描述其輸入輸出之間的關系

d2y(t)dy(t)?3?2y(t)?x(t)

dt2dt編寫的MATLAB范例程序，繪制系統(tǒng)的幅度響應特性、相位響應特性、頻率響應的實部

和頻率響應的虛部。程序如下：

%Program3_1

%ThisProgramisusedtocomputeanddrawtheplotsofthefrequencyresponse%ofacontinuous-timesystem

3

b=[1];%Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequationa=[132];%Thecoefficientvectoroftheleftsideofthedifferentialequation[H,w]=freqs(b,a);%ComputethefrequencyresponseHHm=abs(H);%ComputethemagnituderesponseHmphai=angle(H);%Computethephaseresponsephai

Hr=real(H);%Computetherealpartofthefrequencyresponse

Hi=imag(H);%Computetheimaginarypartofthefrequencyresponsesubplot(221)

plot(w,Hm),gridon,title('Magnituderesponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(223)

plot(w,phai),gridon,title('Phaseresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(222)

plot(w,Hr),gridon,title('Realpartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(224)

plot(w,Hi),gridon,title('Imaginarypartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')

三、試驗內容及步驟

試驗前，必需首先閱讀本試驗原理，了解所給的MATLAB相關函數(shù)，讀懂所給出的全部范例程序。試驗開始時，先在計算機上運行這些范例程序，觀測所得到的信號的波形圖。并結合范例程序所完成的工作，進一步分析程序中各個語句的作用，從而真正理解這些程序。

試驗前，一定要針對下面的試驗項目做好相應的試驗準備工作，包括事先編寫好相應的試驗程序等事項。

給定三個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，它們的微分方程分別為

d2y(t)dy(t)dx(t)?1?25y(t)?系統(tǒng)1：Eq.3.1

dtdtdt2系統(tǒng)2：系統(tǒng)3：

dy(t)dx(t)?y(t)??x(t)Eq.3.2dtdtd6y(t)d5y(t)d4y(t)d3y(t)d2y(t)dy(t)?10?48?148?306?401?262y(t)?262x(t)65432dtdtdtdtdtdtEq.3.3

Q3-1修改程序Program3_1，并以Q3_1存盤，使之能夠能夠接受鍵盤方式輸入的微分方程系

數(shù)向量。并利用該程序計算并繪制由微分方程Eq.3.1、Eq.3.2和Eq.3.3描述的系統(tǒng)的幅度響應特性、相位響應特性、頻率響應的實部和頻率響應的虛部曲線圖。

4

抄寫程序Q3_1如下：%

Q3_1

b=input('請輸入右邊向量系數(shù)');%Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequation

a=input('請輸入左邊向量系數(shù)');%Thecoefficientvectoroftheleftsideofthedifferentialequation

[H,w]=freqs(b,a);%ComputethefrequencyresponseHHm=abs(H);%ComputethemagnituderesponseHmphai=angle(H);%Computethephaseresponsephai

Hr=real(H);%ComputetherealpartofthefrequencyresponseHi=imag(H);%Computetheimaginarypartofthefrequencyresponsesubplot(221)

plot(w,Hm),gridon,title('Magnituderesponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(223)

plot(w,phai),gridon,title('Phaseresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(222)

plot(w,Hr),gridon,title('Realpartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(224)

plot(w,Hi),gridon,title('Imaginarypartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')

執(zhí)行程序Q3_1，繪制的系統(tǒng)1的頻率響應特性曲線如下：

5

手工繪制的x1(t)的幅度頻譜圖如下：

結合所學的有關濾波的知識，根據(jù)上面所得到的信號的時域和頻域圖形，請從時域和頻域兩個

方面解釋濾波的概念。

答：

Q3-3編寫程序

Q3_3，能夠接受從鍵盤輸入的系統(tǒng)微分方程系數(shù)向量，并分別繪制所給三個

系統(tǒng)的群延時曲線圖。

抄寫程序Q3_3如下：%Q3_3

b1=input('Typeintherightcoefficientvectorofdifferentialequation：');%Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequation

a1=input('Typeintheleftcoefficientvectorofdifferentialequation：');%Thecoefficientvectoroftheleftsideofthedifferentialequation

b2=input('Typeintherightcoefficientvectorofdifferentialequation：');%Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequation

a2=input('Typeintheleftcoefficientvectorofdifferentialequation：');%Thecoefficientvectoroftheleftsideofthedifferentialequation

b3=input('Typeintherightcoefficientvectorofdifferentialequation：');%Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequation

a3=input('Typeintheleftcoefficientvectorofdifferentialequation：');%Thecoefficientvectoroftheleftsideofthedifferentialequationw=-10:0.01:10;

H1=freqs(b1,a1,w);%ComputethefrequencyresponseHphi1=angle(H1);

H2=freqs(b2,a2,w);%ComputethefrequencyresponseHphi2=angle(H2);

H3=freqs(b3,a3,w);%ComputethefrequencyresponseHphi3=angle(H3);

tao1=grpdelay(b1,a1,w);tao2=grpdelay(b2,a2,w);tao3=grpdelay(b3,a3,w);

11

subplot(321);

plot(w,phi1);gridon,title(