第三講不定積分的計算方法

第三講不定積分的計算方法第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第五、六章一元函數(shù)的積分本章學習要求：熟悉不定積分和定積分的概念、性質、基本運算公式.

熟悉不定積分基本運算公式.熟練掌握不定積分和定積分的換元法和分部積分法.掌握簡單的有理函數(shù)積分的部分分式法.

理解積分上限函數(shù)的概念、求導定理及其與原函數(shù)的關系.

熟悉牛頓—萊布尼茲公式（微積分基本定理）.

理解廣義積分的概念.能運用牛頓—萊布尼茲公式計算廣義積分。掌握建立與定積分有關的數(shù)學模型的方法。能熟練運用定積分表達和計算一些量：平面圖形的面積、旋轉體的體積、經(jīng)濟應用問題等。第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第4節(jié).不定積分的換元法

利用積分性質和簡單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù),但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的.

現(xiàn)在介紹與復合函數(shù)求導法則相對應的積分方法——不定積分換元法.第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一一.不定積分的第一換元法:看出點什么東西沒有?原函數(shù)?被積表達式?也是被積表達式?第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一定理該定理稱為不定積分的第一換元法,也叫“湊微分”法。證明過程請看書!第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一4.見過的湊微分公式(方法):比如:dx=d(x+1);

dx=d(2x+1);

dx=d(x-3)(1).dx=d(ax+b)/a.(2).xadx=d(xa+1)/(a+1).比如:xdx=d(x2)/2下面介紹兩大類型被積函數(shù)的積分方法:第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一被積函數(shù)只是關于三角函數(shù)的積分計算問題:1.相應的湊微分公式(方法):(3).cosxdx=dsinx.(4).sinxdx=-dcosx.2.被積函數(shù)出現(xiàn)正\余弦函數(shù)的奇數(shù)次冪時:二.三角函數(shù)的積分計算例:方法:拆出個正\余弦的1次冪,再湊微分第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一3.被積函數(shù)都是正\余弦函數(shù)的偶數(shù)次冪時:目標:利用三角公式(半角公式)把次數(shù)降低!具體方法(公式):等式左邊是三角函數(shù)的2次,右邊只有1次,次數(shù)降低了!第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一三、有理函數(shù)的積分1.有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解若干部分分式之和第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例1解之前的引入例:第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一2.分母可以因式分解(1次因式)時:先將分母因式分解1次因式;再利用待定系數(shù)法分解部分分式的和;對每個部分分式的計算積分.例13采用部分分式法計算步驟:第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一真分式分解為部分分式:比較等式2邊得:A=-3,B=5第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一=-3ln(x-2)+5ln(x-3)+C第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例14解部分分式法第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一3.分母出現(xiàn)不能因式分解(2次因式)時:采用的積分公式是:該分母不能因式分解看下面這個相對簡單的例子,再看個綜合例子:(注意,這例子比較難!)第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一解:

原式例15.

求第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一(書本P219例題4)例16想想它分子怎么設？利用待定系數(shù)法求得:A=2,B=-1,C=3第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一這個積分容易計算了這個積分是新問題:分母不能因式分解!湊微分分母不能分解,進行配方第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一湊微分換元u=x-1/2第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一湊微分湊微分基本公式第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一再看這個,將分母變成u2+1湊微分第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一基本公式第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一好難!？注意步驟,不著急!優(yōu)勢:在方法一定可以完成!第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，四.不定積分的第二換元法:第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一1.定理第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一下面介紹幾種情況及處理方法:2.第一種情況:這是第2換元積分的最主要的用途目標通常是一次函數(shù)的根式第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例17解直接令根式為新的積分變元第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例18解直接令根式為新的積分變元這是前面的有理分式的積分,可以計算了第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一因式分解部分分式法湊微分法第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例19解第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一3.第二種情況:這是第2換元積分的最主要的用途目標被積函數(shù)是二次函數(shù)根式的情形:又分下面3種情況:2.第一種情況:

被積函數(shù)是(一次)函數(shù)的根式,直接令根式為新的積分變元:第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一相應的三角公式是:變形:或變形:第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一

求解:

令則∴原式例20第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例21解第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例22解第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第37頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例23解第38頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一說明:被積函數(shù)含有時,除