第二章時頻分析與連續(xù)小波變換

第二章時頻分析與連續(xù)小波變換第1頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一時頻聯(lián)姻(TimeMeetsFrequency)傅里葉分析回顧聯(lián)合時頻分析的基本原理短時傅里葉分析:STFT連續(xù)小波變換:CWT時頻分析的應用

瞬時頻率基于短時傅里葉脊和小波脊的瞬時頻率檢測本章小結第2頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一一、傅里葉分析回顧概述定義性質實現(xiàn)第3頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一傅里葉分析可以分析信號中的“頻率成分”。它是一個全局的分析。它有很多好的性質：如其所選擇的基本分析單元是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，可將其方便地用于分析線性時不變系統(tǒng)-利用傅里葉分析可以將時域卷積運算轉化成頻域相乘運算。傅里葉分析數(shù)字實現(xiàn)時常常采用FFT進行快速實現(xiàn)。

傅里葉分析概述第4頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

傅里葉變換(分析)的定義根據(jù)信號的不同，傅里葉變換有四種定義：CTFT:連續(xù)時間傅里葉變換CFS:連續(xù)時間傅里葉級數(shù)DTFT：離散時間傅里葉變換DFS：離散時間傅里葉級數(shù)第5頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一CTFT:連續(xù)時間傅里葉變換適用信號:連續(xù)時間信號變換公式:第6頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一CFS:連續(xù)時間傅里葉級數(shù)適用信號:連續(xù)時間周期信號變換公式:

第7頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一DTFT：離散時間傅里葉變換適用信號:離散時間信號變換公式:第8頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一DFS：離散時間傅里葉級數(shù)適用信號:離散時間周期信號變換公式:第9頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一四種傅里葉變換的關系:第10頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一信號時域和頻域特性之間關系：第11頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一本課程中傅里葉變換的記號:第12頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)時間傅里葉變換性質第13頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一從頻率分析角度看： 傅里葉變換不能提供頻率隨時間局部變化的規(guī)律。從信號奇異性分析角度看:傅里葉變換不容易提供信號局部奇異性信息：不容易從傅里葉變換系數(shù)在高頻的分布規(guī)律分析出原始信號在特定點上的奇異性（局部的變化）…..然而,小波變換可以做到這一點。傅里葉變換在高頻處的衰減性依賴于信號的整體奇異性。

傅里葉變換的重要缺陷:難于獲得信號的“局部變化”規(guī)律第14頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一傅里葉變換的衰減性與信號的全局正則性之間的關系：第15頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一1965年庫利和圖基提出FFT算法FFT不是一種新的傅里葉變換,它僅僅是計算DFS的一種快速算法.FFT的出現(xiàn)極大地促進了傅里葉變換在工程中的應用.傅里葉變換的快速算法：FFT第16頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一二、聯(lián)合時頻分析聯(lián)合時頻分析引入的動機：具有時變頻率結構的信號在自然界中隨處可見：語音/音頻信號顏色變化的光線雷達信號地震信號……第17頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一1946年,DennisGabor(1971年Nobel獎獲得者):“迄今為止，通信理論的基礎一直是信號分析的兩種方法組成的：一種將信號號描述成時間的函數(shù)，另一種將信號描述成頻率的函數(shù)（Fourier分析）。這兩種方法都是理想化的……。然而，我們每一天的經(jīng)歷－特別是我們的聽覺－卻一直是用時間和頻率來描述的?！钡?8頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一為了分析信號中時變的頻率結構，需要引入一些時頻分析的新工具：短時傅里葉變換和小波變換就是其中的代表。短時傅里葉變換和小波變換的差別在于采用了不同的時頻原子不同時頻原子具有不同的時頻特性。第19頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一時頻原子時頻原子的基本概念線性時頻變換的定義時頻原子的時頻局部化描述Heisenberg測不準原理時頻原子的時頻結構-Heisenberg-box時頻能量密度

第20頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一時頻原子基本概念時頻原子具有時頻局部化特性的基本信號分析單元短時傅里葉時頻原子

小波時頻原子

特點：都是由一個基本的單元信號經(jīng)過變換得到；短時傅里葉原子是通過平移和調制形成的；小波原子是通過平移和伸縮得到的。第21頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一線性時頻變換

：參數(shù)集第22頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一線性時頻變換的時頻局部化如果時頻原子在時間上是集中于某個時刻點u周圍,根據(jù)(1)式,則僅與信號f(t)在該鄰域的值有關。如果時頻原子在頻率上是集中于某個頻率點周圍,根據(jù)(2)式,則僅與信號f(t)的頻譜在該鄰域的值有關。

第23頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一如果所選擇的時頻原子的能量在時間上集中在某個時刻點,同時在頻率上集中在某個頻率點,則線性時頻變換的結果必然精確反映原始信號在某個時刻點和某個頻率點上的信息-具有最高的時頻分辨率。問題:上述時頻原子存在否?“最高的時頻分辨率”第24頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一時頻原子的分辨率受如下兩個結論限制:Heisenberg測不準原理不存在同時具有時限和頻限的時頻原子第25頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一設時頻原子的時頻結構：時頻局部化的定量描述第26頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一Heisenberg-box示例：有關Heisenberg-box的幾個值得注意的問題：根據(jù)測不準原理，Heisenberg-box的面積至少要大于1/2；在Heisenberg-box所處位置以外的地方并不表示該時頻原子就沒有能量分布，Heisenberg-box只是代表了該時頻原子的大部分能量集中的位置和區(qū)域。

第27頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一Heisenberg測不準原理結論

第28頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一時頻不可能同時有限長

盡管有了Heisenberg測不準原理的限制,可能仍然有人認為存在某個信號在時間-頻率域上可以同時是有限長的,但這個結論也是不成立的。第30頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一定理:時頻不能同時有限長第31頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一時頻能量密度它度量了信號的能量在以為中心的時頻鄰域內的分布。第32頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)STFT定義短時傅里葉原子的時頻結構常用信號的連續(xù)STFT連續(xù)STFT的反變換連續(xù)STFT的性質

能量守恒定理

再生核方程短時譜三、短時傅里葉變換STFT(ShortTimeFourierTransform)第33頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)STFT第34頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第35頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一短時譜第36頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一短時傅里葉原子的時頻結構:

(為簡化起見，設g(t)為實偶信號)：第37頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一短時傅里葉原子的時頻結構圖示：短時傅里葉原子的時頻結構在整個時頻平面上保持不變！第38頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一常用信號的短時傅里葉變換正弦信號

第39頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一正弦信號短時譜對應的時頻區(qū)域第40頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一單位沖激信號第41頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一線性調頻信號推導在高斯窗下短時傅里葉變換。

第42頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一STFT反變換-完備性如果f(t)是能量有限信號，則：第43頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第44頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一STFT性質穩(wěn)定性：Parseval定理時頻能量密度的體現(xiàn)第45頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一STFT的冗余性:重建核方程

上面的性質表明:并不是所有的能量有限的二維信號都是某個一維能量有限信號的短時傅里葉變換!

能量有限信號能量有限二維信號STFT第46頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一模糊函數(shù)與重建核

模糊函數(shù)定義模糊函數(shù)沿時間軸和頻率軸的衰減性可以定義信號的時頻結構-比Heisenbergbox更精確模糊函數(shù)在雷達信號設計中具有重要用途

第47頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一重建核和模糊函數(shù)的關系第48頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一離散短時傅里葉變換第49頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換連續(xù)小波正變換連續(xù)小波反變換連續(xù)小波變換性質時移不變性

尺度變換性微分性再生核方程

能量守恒定理尺度譜小波原子的時頻結構

解析小波及解析小波變換小波脊第50頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換的定義：Notes:第51頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一(2)尺度因子s的作用是對母小波做伸縮，選擇不同的s會改變波形的寬窄，但不會改變波形的形狀。尺度因子s越大，波形越寬，可以用于分析持續(xù)時間長的低頻信號。第52頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第53頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一(4)小波可以是實小波，實小波往往用來檢測信號的奇異性，如在圖象處理中檢測邊緣的墨西哥草帽小波。

第54頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一墨西哥草帽小波的波形及其傅里葉變換：第55頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一基于墨西哥草帽小波的連續(xù)小波變換：

奇異性檢測第56頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一(5)小波也可以是復小波，并且一般采用復解析小波。采用復解析小波常用來做時頻分析，如檢測信號的瞬時頻率。采用復解析小波進行的小波變換稱為解析小波變換(AWT:AnalyticWaveletTransform).第57頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一（6）連續(xù)小波變換的濾波器解釋:

S變化時可以看成是帶寬不斷變化的一組帶通濾波器。第58頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第59頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一(7)連續(xù)的含義（三重連續(xù)）：

信號是連續(xù)的；

尺度因子是連續(xù)的；位移因子是連續(xù)的。(8)計算機實現(xiàn)連續(xù)小波變換時運算量很大

用計算機處理時較慢,這往往限制了其在實時信號處理中的應用。第60頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換的計算計算連續(xù)時間小波變換的4個步驟：1、選取一個小波，然后將其和待分析信號從起點開始的一部分進行相乘積分。

2、計算相關系數(shù)c。第61頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一3、將小波向右移，重復1和2的步驟直到分析完整個信號。4、將小波進行尺度伸縮后再重復1，2，3步驟，直至完成所有尺度的分析。第62頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換的計算可以采用模擬器件來實現(xiàn)連續(xù)小波變換。連續(xù)小波變換的數(shù)值計算位移的離散化：在上式中令:,則有:第63頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一在實際計算時,尺度參數(shù)s也要進行離散化,常見離散化方法是令:

可以用FFT來計算。第64頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波反變換-連續(xù)小波變換的完備性問題

第65頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第66頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一有關該定理的說明:該定理的證明過程利用了傅里葉分析的結果。稱為小波容許條件。

第67頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一在該定理證明過程中假設是與頻率無關的有限值，要使該假設成立，必然要求小波具有零均值。如果，則容許條件成立。第68頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一尺度函數(shù)第69頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一墨西哥草帽小波對應的尺度函數(shù)及其傅里葉變換：低通特性第70頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一含有尺度函數(shù)的連續(xù)小波變換重建公式：第71頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)小波變換性質：1、時移不變性：注意：(1)該性質在小波用于模式識別中的特征提取過程中十分重要(2)并不是所有小波變換都具有時移不變性

DWT(離散小波變換)不具有時移不變性。

第72頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一DWT(離散小波變換)不具有平移不變性(示例)：第73頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一2、尺度變換性質該性質指出：當信號在時間軸作伸縮時，其小波變換在時間軸和尺度軸上要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變-小波被稱為“數(shù)學顯微鏡”得名的由來。第74頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一3、微分性質第75頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一4、連續(xù)小波變換的重建核方程：冗余性說明：(1)重建核方程表明連續(xù)小波變換具有冗余性-某一點的小波變換值可以通過平面其余點上的小波變換值按重建核方程恢復。第76頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一(2)(3)重建核方程表明：并不是任意的二維函數(shù)都可以作為一個信號的連續(xù)小波變換。反映的是的相關性。當時，此時u-s平面內各點的小波系數(shù)才互不相關，此時的小波變換沒有冗余。此條件實際上表明不同尺度和位移處的小波是正交的。第77頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一(5)能量守恒定理：第78頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一尺度譜和歸一化尺度譜尺度譜和歸一化尺度譜：

描述信號能量在時間-尺度平面的分布。第79頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一尺度譜的時間-尺度表示和時間-頻率表示假定頻率和尺度間滿足如下關系：，其中是母小波的中心頻率則：第80頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一小波時頻原子的時頻結構第81頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一小波原子的時頻結構(續(xù))第82頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一小波原子的時頻結構(續(xù))第83頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一在頻域中有：小波原子的時頻結構(續(xù))第84頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一對應的時頻窗(Heisenberg-box)的特點：(1)用于確定時頻窗的四個參數(shù)都與尺度參數(shù)s有關。(2)當s大于1且增大時，時頻窗的時間長度增加，而時頻窗的頻率長度減少(3)時頻窗的面積為：

時頻窗面積與尺度和位移參數(shù)無關，但與選定的母小波有關。小波原子的時頻結構(續(xù))第85頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一(4)低頻：時頻窗時間寬度大，頻率寬度小高頻：時頻窗時間寬度小，頻率寬度大第86頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一解析小波和解析小波變換解析信號：AnalyticSignal解析小波:AnalyticWavelets解析小波變換:AnalyticWaveletTransforms第87頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一解析信號:定義:一個信號是解析的是指其傅里葉變換的值在負頻率處全部為零(沒有負的頻率成份)。實信號f(t)對應的解析信號的傅里葉變換為:第88頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一解析小波可以通過對一個實偶窗函數(shù)g(t)進行頻率調制得到

第89頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一解析小波變換(AnalyticWavelets)采用解析小波進行的小波變換稱為解析小波變換:采用解析小波變換主要是可以同時得到信號的瞬時幅頻特性和相頻特性.

第90頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一有關解析小波變換有如下結論:信號f(t)的解析小波變換可以由該信號的解析信號對應的解析小波變換確定:第91頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一利用解析小波變換計算實信號的解析信號如果f(t)是實信號,并且,則有:

第92頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一常用信號的解析小波變換(Gabor小波作為解析小波):

第93頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

第94頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一時頻分析應用:瞬時頻率檢測

瞬時頻率解析信號可以分解成模和復相位的形式:

瞬時頻率定義為復相位的導數(shù):

常用信號及其瞬時頻率單頻正弦信號第95頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一常用信號及其瞬時頻率(續(xù))多分量信號:可見:含有多個頻率分量的信號(多分量信號)的瞬時頻率不能客觀反映原始信號中的頻率分布情況。解決辦法:可以先通過短時傅里葉變換和小波變換分離不同頻率成分,然后再求瞬時頻率。第96頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一瞬時頻率檢測的兩個應用:

通信中的頻率調制:

音頻處理中的加性聲音模型:變化緩慢第97頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一基于短時傅里葉脊和小波脊的瞬時頻率檢測短時傅里葉脊小波脊第98頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一短時傅里葉脊和小波脊用于瞬時頻率檢測理論基礎：第99頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第100頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一證明:第101頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第102頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第103頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第104頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第105頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第106頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第107頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一短時傅里葉脊：STFTRidges根據(jù)上述的理論，再做如下的假設：

第108頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第109頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一多分量信號的短時傅里葉脊（STFTRidges）第110頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一短時傅里葉脊用于瞬時頻率檢測中窗長的選擇:

第111頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一窗長選擇示例：第112頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一短時傅里葉脊是短時譜的局部極大值點。短時傅里葉脊在變換允許的時頻分辨率范圍內可以描述信號的瞬時頻率。變換允許的分辨率由Heisenberg盒描述。對多分量信號,如果要用短時傅里葉脊來檢測這兩個信號的瞬時頻率，則需滿足如下條件：

短時傅里葉脊：STFTRidges第113頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一小波脊：WaveletRidges小波時頻原子（三參數(shù)小波）：第114頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一解析小波變換：

第115頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第116頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一小波脊:歸一化尺度譜的極值點第117頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一第118頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一小波脊：Waveletridges小波脊是歸一化尺度譜的極大值點。小波脊在變換允許的時頻分辨率下可以描述信號的瞬時頻率。變換允許的時頻分辨率由Heisenberg-box來描述。

第119頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

(a)尺度譜(b)小波脊

(c)短時譜(d)短時脊原因:高頻時CWT的頻率分辨率過低第120頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

(a)尺度譜(b)小波脊

(c)短時譜(d)短時脊原因:高頻時STFT的時間分辨率過低第121頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一附錄：常見小波介紹可以通過Matlab命令Waveinfo了解常見小波的信息可以通過Wavefun畫出小波的波形第122頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一1.Crudewavelets(原始小波)Wavelets:

高斯小波、Morlet小波特性:僅滿足小波的最低要求

-不能構成正交函數(shù)集合-小波函數(shù)不是緊支撐的-不一定能保證穩(wěn)定重建.可能的分析方法:-連續(xù)分解主要的好性質:對稱性,小波函數(shù)具有顯式的表達式.主要問題:不存在快速算法,精確重建不可能.

第123頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

Wavelets:meyer(meyr).

特性:-尺度函數(shù)存在,可以進行正交分析.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)是無限可微分的.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)都不是有限支撐的

可能的分析方法:-可以進行連續(xù)小波變換.-可以進行離散變換,但濾波器無限長.主要的好性質:對稱性,無限正則性.主要問題:不存在快速算法.Wavelets:

離散的Meyerwavelet(dmey).

特性:-用FIR濾波器來近似

Meyerwavelet

可能的分析方法:-連續(xù)小波變換.-離散小波變換.2.Infinitelyregularwavelets(無限正則的小波)第124頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

3.Orthogonalandcompactlysupportedwavelets(正交緊支撐小波)Wavelets:Daubechies(dbN),symlets(symN),coiflets(coifN).常見特性:-尺度函數(shù)存在,可以進行正交分析.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)是有限長的.-小波函數(shù)具有一定的消失矩.可能的分析方法:-可以進行連續(xù)變換.-可以采用FWT進行離散小波變換.主要的好的性質:緊支撐,具有消失矩,可以用FIR濾波器進行快速實現(xiàn).主要的問題:差的正則性.

特別的特性:

FordbN:asymmetry(不對稱)

ForsymN:nearsymmetry(近似對稱)

ForcoifN:nearsymmetryandphiaspsi,hasalsovanishingmoments(近似對稱,但尺度函數(shù)也具有消失矩).

第125頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

Wavelets:B-splinesbiorthogonalwavelets(biorNr.NdandrbioNr.Nd).特性:

尺度函數(shù)存在,可以進行雙正交分析.分解的尺度函數(shù)和小波函數(shù),重構的尺度函數(shù)和小波函數(shù)都是有限長的.分解的尺度函數(shù)和小波函數(shù)都具有消失矩.重建的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都具有正則性.可能的分析方法:連續(xù)小波變換.采用FWT進行離散小波變換.主要好性質:FIRfilters是對稱的,分解和重構所需要的特性可以分離.主要問題:不具有正交性.

4.Biorthogonalandcompactlysupportedwaveletpairs(雙正交緊支撐小波)第126頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

Wavelets:ComplexGaussianwavelets(cgauN),complexMorletwavelets(cmorFb-Fc),complexShannonwavelets(shanFb-Fc),complexfrequencyB-splinewavelets(fbspM-Fb-Fc).特性:只具有最小的特性

-尺度函數(shù)不存在.-不能進行正交分析.-小波函數(shù)不是緊支撐的.-不能保證精確重建.可能的分析:-復的連續(xù)分解.主要的好的特性:對稱性,小波函數(shù)具有顯式的表達式.主要問題:不存在快速算法和精確重構.5.Complexwavelets(復小波)第127頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一

‘haar':Haarwavelet.'db':Daubechieswavelets.'sym':Symlets.'coif':Coiflets.'bior':Biorthogonalwavelets.'rbio':Reversebiorthogonalwavelets.'meyr':Meyerwavelet.'dmey':DiscreteMeyerwavelet.'gaus':Gaussianwavelets.'mexh':Mexicanhatwavelet.'morl':Morletwavelet.'cgau':ComplexGaussianwavelets.'cmor':ComplexMorletwavelets.'shan':ComplexShannonwavelets.'fbsp':ComplexFrequencyB-splinewavelets.MatLab介紹的有關小波信息第128頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一Haar小波:Generalcharacteristics:Compactlysupportedwavelet,theoldestand

thesimplestwavelet.scalingfunctionphi=1on[01]and0otherwise.waveletfunctionpsi=1on[00.5[,=-1on[0.51]and0otherwise.FamilyHaarShortnamehaarExampleshaaristhesameasdb1OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth1Filterslength2RegularityhaarisnotcontinuousSymmetryyesNumberofvanishingmomentsforpsi1第129頁，共134頁，2023年，2月20日，星期一‘db’小波:DaubechiesWavelets

Generalcharacteristics:Compactlysupportedwaveletswithextremalphaseandhighestnumberofvanishingmomentsforagivensupportwidth.Associatedscalingfiltersareminimum-phasefilters.FamilyDaubechiesShortnamedbOrderNNstrictlypositiveintegerExamplesdb1orhaar,db4,db15OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth2N-1Filterslength2NRegularit