天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2020屆高三下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2020屆高三下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題含解析天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校19-20（下）高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題5分，共45分）1。已知集合，或,則（）A.或 B。C。 D.或【答案】A【解析】【詳解】由并集的定義可得或.故選A。2.若，則（)A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】.分子分母同時(shí)除以,即得：故選D。3。數(shù)列滿足：，若數(shù)列是等比數(shù)列,則值是（）A。1 B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，可知，根據(jù)式子恒成立，可知對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相同,從而求得結(jié)果?！驹斀狻繑?shù)列為等比數(shù)列即：上式恒成立,可知:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列的定義求解參數(shù)問題，關(guān)鍵是能夠通過對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相同求解出結(jié)果。4.偶函數(shù)在上遞增，則大小為()A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷出三者的大小關(guān)系.【詳解】,由于為偶函數(shù)，則,由于在上遞增，,所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5.以下關(guān)于的命題，正確的是A。函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.直線需是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D。將函數(shù)圖象向左平移需個(gè)單位，可得到的圖象【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)得到，再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.【詳解】A選項(xiàng),函數(shù)先增后減，錯(cuò)誤B選項(xiàng)，不是函數(shù)對(duì)稱軸，錯(cuò)誤C選項(xiàng),，不是對(duì)稱中心，錯(cuò)誤D選項(xiàng)，圖象向左平移需個(gè)單位得到，正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱軸,對(duì)稱中心，平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵。6。圓的圓心到直線的距離為,則a的值為()A.0 B。1 C.2 D。3【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，解方程求得的值.【詳解】依題意，圓的圓心為，到直線的距離為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心，屬于基礎(chǔ)題.7.過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為（）A。 B. C. D。【答案】C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為?！邽榫€段的中點(diǎn)，∴，則為等腰三角形。∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C。點(diǎn)睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用,對(duì)于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法:①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程（不等式)，即可得（的取值范圍)．8。在平行四邊形中，，分別是的中點(diǎn)，與交于，則的值A(chǔ). B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出，從而可計(jì)算.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，,，，故,，所以，，由可得，，,故，故選D?！军c(diǎn)睛】向量的數(shù)量積的計(jì)算，有四種途徑：（1)利用定義求解,此時(shí)需要知道向量的模和向量的夾角；（2）利用坐標(biāo)來求，把數(shù)量積的計(jì)算歸結(jié)坐標(biāo)的運(yùn)算，必要時(shí)需建立直角坐標(biāo)系;（3）利用基底向量來計(jì)算，也就是用基底向量來表示未知的向量，從而未知向量數(shù)量積的計(jì)算可歸結(jié)為基底向量的數(shù)量積的計(jì)算；(4）靠邊靠角,也就是利用向量的線性運(yùn)算，把未知向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化到題設(shè)中的角或邊對(duì)應(yīng)的向量．9。已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是A. B。C。 D.【答案】B【解析】分析】設(shè)，則是的圖象沿著上下平移得到，分析函數(shù)與的圖象,利用圖象關(guān)系確定兩個(gè)函數(shù)滿足的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)，則是的圖象沿著上下平移得到，當(dāng)x=1時(shí),(1)（1)，所以直線x=1與函數(shù)h（x）的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），當(dāng)x=1時(shí)，g（1)=0,當(dāng)x=2時(shí)，（2)，所以直線x=2與函數(shù)g(x）的圖像的交點(diǎn)為（2,-2），當(dāng)x=2時(shí)，（2）,所以直線x=2與函數(shù)h(x）的圖像的交點(diǎn)為(2，ln2+m）,要使方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則等價(jià)為與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則滿足,即得，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題（每小題5分,共30分）10.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則__________。【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，從而可得結(jié)果?！驹斀狻?，故答案為.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念,復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.11。曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_____________?！敬鸢浮?2【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值得答案．【詳解】由題意可得:，∴∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為12，故答案為12【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點(diǎn)處的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率,就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是基礎(chǔ)題．12.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】．【解析】試題分析：由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)式展開的第項(xiàng)為，令，則，∴．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．13。一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該球的體積為,則該正方體的表面積為.【答案】24【解析】試題分析：設(shè)正方體外接球的半徑為，由：，解得：，設(shè)該正方體的邊長為，根據(jù)解得，所以正方體的表面積為：，所以答案為?？键c(diǎn)：1.求的體積公式;2。正方體的外接球；3。球的表面積和體積公式.14。已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列中，若,，滿足，則的最小值為__________．【答案】1【解析】【分析】將寫成等比數(shù)列基本量和的形式，由可得；從而利用，根據(jù)基本不等式求得結(jié)果?！驹斀狻吭O(shè)等比數(shù)列公比為，則首項(xiàng)由得：則:則（當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)）本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系,通過等比數(shù)列基本量得到滿足的等式,從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得結(jié)果.15.已知函數(shù)滿足，,其中，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___.【答案】【解析】【分析】先作函數(shù)圖象，結(jié)合圖象確定的根的情況，再結(jié)合圖象與根的情況確定函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)所需滿足的條件.【詳解】先作函數(shù)圖象，由圖可得有兩根，其中，因此必有兩根,因此要使函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，需有兩根，即，【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn),考查基本分析求解能力，屬中檔題。三、解答題16。中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,面積是面積的2倍．（1）求；（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．【答案】（1）；(2)1【解析】試題分析:（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用三角形的面積公式求解;(2)借助題設(shè)余弦定理立方程組求解。試題解析：（1），，∵,，∴．由正弦定理可知.（2)∵，，∴．設(shè),則，在△與△中，由余弦定理可知,,,∵,∴,∴，解得，即．考點(diǎn):三角形的面積公式正弦定理余弦定理等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．17.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底,是的中點(diǎn)．(1）證明：直線平面；（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值．【答案】(1）見解析；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）取的中點(diǎn),連結(jié),，由題意證得∥，利用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；（2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量：,,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值為．試題解析：（1）取中點(diǎn)，連結(jié),．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,,由得，又所以．四邊形為平行四邊形,．又，，故（2）由已知得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則則，,，，,則因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量，所以,即(x-1)2+y2-z2=0又M在棱PC上，設(shè)由①，②得所以M，從而設(shè)是平面ABM的法向量，則所以可取。于是因此二面角M-AB-D的余弦值為點(diǎn)睛：(1)求解本題要注意兩點(diǎn):①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計(jì)算．（2）設(shè)m，n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與<m，n〉互補(bǔ)或相等，故有｜c(diǎn)osθ|＝｜c(diǎn)os<m，n>|=．求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．18。已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率（Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ）經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線(不經(jīng)過點(diǎn)且不與軸重合）與橢圓交于兩點(diǎn),與直線:交于點(diǎn),記直線的斜率分別為.則是否存在常數(shù)，使得向量共線？若存在求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率，結(jié)合性質(zhì),列出關(guān)于、、的方程組，求出、，即可得結(jié)果；（2）直線的方程為，代入橢圓方程整理得,求得的坐標(biāo)為，求出，利用韋達(dá)定理化簡可得，從而可得結(jié)果?！驹斀狻?1）由在橢圓上,。①由已知得，又,.②②代入①解得。橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得向量共線，，即。由題意可設(shè)的斜率為,則直線的方程為，③代入橢圓方程并整理，得，設(shè),則有，.④在方程③中令得，的坐標(biāo)為。從而，，.，⑤④代入⑤得，又,.故存在常數(shù)符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題。解決存在性問題,先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑。19.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是與的等差中項(xiàng)。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,。求及使成立的最小正整數(shù)的值?！敬鸢浮浚?）（2)見解析【解析】試題分析：由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵求出和的表達(dá)式，對(duì)題目中的不等式進(jìn)行變形即可解答；解析：（1）設(shè)此等比數(shù)列首項(xiàng)為,公比為，其中,，由題意知:,，得，即，，∵等比數(shù)列單調(diào)遞增，∴，.（2）①,∴，設(shè)，則，得，∴，②要使成立，即，即，∵,,且是單調(diào)遞增函數(shù),∴滿足條件的的最小值為5.20.設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅲ)當(dāng)時(shí)，若對(duì),都有(）成立，求的最大值.【答案】(1)當(dāng)時(shí),的單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；（2）兩個(gè);（3）0?！窘馕觥俊痉治觥浚?)求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，由（1)可知，在是單減函數(shù)，在是單增函數(shù)，由，，利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果；（3）當(dāng),為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立,,利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】（1），。當(dāng)時(shí),在恒成立,在是單減函數(shù)。當(dāng)時(shí),令，解之得.從而，當(dāng)變化時(shí)，，隨的變化情況如下表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增由上表中可知,在是單減函數(shù),在是單增函數(shù)。綜上，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，在是單減函數(shù)，在是單增函數(shù);又,，。，；故在有兩個(gè)零點(diǎn).(3）當(dāng)，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立。令，只需；又，由（2）知，在有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，在上單減，在上單增;又，，,且，即代入式,得。而在為增函數(shù)，，即。而,,即所求的最大值為0?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)以及不等