2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練專題12 立體幾何小題拔高練（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題12立體幾何小題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）一、單選題1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知直線和平面，若且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四面體，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．5．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面上移動(dòng)，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬（如圖），平面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，當(dāng)空間四邊形的周長最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？家荒＃┤鐖D，已知正四棱臺中，，，，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，則下列平面中與垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面8．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是（

）A．1895秒 B．1896秒 C．1985秒 D．2528秒9．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱燈節(jié)，很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈．下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個(gè)底面的邊長分別為40cm和20cm，正六棱臺與正六棱柱的高分別為10cm和60cm，則該花燈的體積為（

）A． B．C． D．10．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑為四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵中，，鱉臑的外接球的體積為，則陽馬體積的最大值為（

）A． B． C． D．4二、多選題11．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，，點(diǎn)P在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．點(diǎn)P在線段上C．平面D．直線AP與側(cè)面所成角的正弦值的范圍為12．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正方體中，點(diǎn)P滿足，則（

）A．若，則AP與BD所成角為 B．若，則C．平面 D．13．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺（

）A．高為 B．表面積為C．體積為 D．上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為14．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）正方體的棱長為3，E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則（

）A．與垂直B．與一定是異面直線C．存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得三棱錐的體積為D．當(dāng)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得截面的周長為15．（2023·江蘇·二模）已知是棱長均為的三棱錐，則（

）A．直線與所成的角B．直線與平面所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為D．能容納三棱錐的最小的球的半徑為16．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體棱長為，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．三棱錐的體積不變D．以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與面的交線長17．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．存在點(diǎn)P，使得平面C．對任意點(diǎn)P，平面平面D．點(diǎn)到直線的距離為418．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在已知直四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，M，N，P分別是BC，，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．若，，則B．C．平面D．若，則平面平面19．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正四棱錐的所有棱長均為，，分別是，的中點(diǎn)，為棱上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A．異面直線、所成角的大小為B．直線與平面所成角的正弦值為C．周長的最小值為D．存在點(diǎn)使得平面20．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為C．若保持，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為D．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為21．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（

）A．過點(diǎn)M有且僅有一條直線與AB，都垂直B．有且僅有一個(gè)點(diǎn)M到AB，的距離相等C．過點(diǎn)M有且僅有一條直線與，都相交D．有且僅有一個(gè)點(diǎn)M滿足平面平面22．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC與的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．平面B．與所成的角為30°C．平面D．平面截正方體的截面面積為23．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，若，則（

）A．B．與所成角為C．與平面所成角為D．與平面所成角的正切值為24．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，和的中點(diǎn)，為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．D．異面直線與所成角的余弦值為25．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，正方體，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（

）A．三棱錐的體積為定值B．直線DM與平面所成角的最大值為C．D．點(diǎn)M到平面與到平面ACD的距離之和為定值26．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為2，，分別為，的中點(diǎn)，且與正方體的內(nèi)切球（為球心）交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．線段的長為B．過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為C．三棱錐的體積為D．設(shè)為球上任意一點(diǎn)，則與所成角的范圍是三、填空題27．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）將兩個(gè)形狀完全相同的正三棱錐底面重合得到一個(gè)六面體，若六面體存在外接球，且正三棱錐的體積為1，則六面體外接球的體積為_____________．28．（2023·江蘇南通·二模）已知一扇矩形窗戶與地面垂直，高為1.5m，下邊長為1m，且下邊距地面1m．若某人觀察到窗戶在平行光線的照射下，留在地面上的影子恰好為矩形，其面積為1.5m2，則窗戶與地面影子之間光線所形成的幾何體的體積為_______m3．29．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為______.30．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為__________.2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題12立體幾何小題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）一、單選題1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知直線和平面，若且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的定義結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由且，得；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?即“”是“”的充要條件.故選：C2．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由線面平行的判定定理證得面，從而得到，再結(jié)合錐體的體積公式即可得解.【詳解】因?yàn)樵谡襟w中，，，所以四邊形是平行四邊形，故，又面，面，所以面，因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以到面的距離與到面的距離相等，所以故選：B..3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點(diǎn)D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A4．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四面體，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，找出直線與平面所成角的平面角，在三角形內(nèi)即可求解.【詳解】如圖，過點(diǎn)向底面作垂線，垂足為，連接，過點(diǎn)作于G，連接，由題意可知：且，因?yàn)槠矫妫云矫?，則即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長為2，則，，所以，則，在中，由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直線與平面所成角的正切值是，故選：.5．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面上移動(dòng)，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意可證：平面，可得，兩點(diǎn)之間距離的最小值為，利用等體積法求，即可得結(jié)果.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，且平面，平面，∴平面，則點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)為，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為，即點(diǎn)到平面的距離為，∵的中點(diǎn)在上，則點(diǎn)到平面的距離為，由題意可得為，由，則，解得，故，兩點(diǎn)之間距離的最小值為.故選：A.6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬（如圖），平面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，當(dāng)空間四邊形的周長最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把剪開，使得與矩形在同一個(gè)平面內(nèi).延長到M，使得，則四點(diǎn)P，E，F(xiàn)，M在同一條直線上時(shí)，取得最小值，即空間四邊形的周長取得最小值.可得，∴.∴點(diǎn)E為的中點(diǎn).設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，則，利用勾股定理進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，把剪開，使得與矩形在同一個(gè)平面內(nèi).延長到M，使得，則四點(diǎn)P，E，F(xiàn)，M在同一條直線上時(shí)，取得最小值，即空間四邊形的周長取得最小值.可得，∴.∴點(diǎn)E為的中點(diǎn).如圖所示，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，則.設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，連接，則，則.∴三棱錐外接球的表面積.故選：B.7．（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考一模）如圖，已知正四棱臺中，，，，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，則下列平面中與垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面【答案】C【分析】延長交于一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形相似及長度關(guān)系可得為等邊三角形，即可得，，由長度關(guān)系及平行可證明，，即可證明在上，在上，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】解：延長交于一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)檎睦馀_，所以為正四棱錐，因?yàn)椋?，，且，所以，即，解得，所以，即為等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，同理可得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，故，，因?yàn)?，，所以，，所以，，因?yàn)椋?，所以在上，在上，因?yàn)椋?，所以，，即，，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?故選：C8．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是（

）A．1895秒 B．1896秒 C．1985秒 D．2528秒【答案】C【分析】由圓錐的體積公式計(jì)算細(xì)沙體積和沙堆體積，根據(jù)細(xì)沙體積不變即可求解．【詳解】沙漏中的細(xì)沙對應(yīng)的圓錐底面半徑為，高為，所以細(xì)沙體積為所以該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為秒，故選：C9．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱燈節(jié)，很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈．下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個(gè)底面的邊長分別為40cm和20cm，正六棱臺與正六棱柱的高分別為10cm和60cm，則該花燈的體積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的幾何體，求出正六棱臺兩底面積，再利用臺體、柱體的體積公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，花燈的體積等于上面的正六棱臺體積與下面的正六棱柱體積的和，正六棱臺的兩個(gè)底面積分別為，，所以花燈的體積.故選：C10．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑為四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵中，，鱉臑的外接球的體積為，則陽馬體積的最大值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設(shè)的外接球半徑為r，根據(jù)鱉臑的外接球的體積即可求得r，再根據(jù)的外接球的半徑與三棱柱的外接球的半徑相同可得到x，y的關(guān)系式，再根據(jù)四棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】設(shè)的外接球半徑為r，則的外接球的體積為．．又陽馬的體積為，所以陽馬體積的最大值為．故選：B．二、多選題11．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，，點(diǎn)P在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．點(diǎn)P在線段上C．平面D．直線AP與側(cè)面所成角的正弦值的范圍為【答案】BC【分析】對A，由面面平行說明；對B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由向量法說明，C，P三點(diǎn)共線；對C，由向量法證，再由線線垂直證平面；對D，由向量法求線面角，進(jìn)而討論范圍.【詳解】對于A，點(diǎn)P在平面內(nèi)，平面平面，所以點(diǎn)P到平面的距離即為點(diǎn)C到平面的距離，即正方體的棱長，所以，A錯(cuò)誤；對于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，且，，所以，，．因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，即，C，P三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P在線段上，B正確；對于C，，，，，，由，因?yàn)?，，平面，所以平面，C正確；對于D，，，平面的一個(gè)法向量為．設(shè)與平面的夾角為，為銳角，其正弦值為．由，得，D錯(cuò)誤．故選：BC．12．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正方體中，點(diǎn)P滿足，則（

）A．若，則AP與BD所成角為 B．若，則C．平面 D．【答案】BCD【分析】與BD所成角為與所成角，為，A錯(cuò)誤，建系得到，B正確，故面面，C正確，，D正確，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：時(shí)P與重合，與BD所成角為與所成角，為等邊三角形，則AP與BD所成角為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，，，，，，，正確；對選項(xiàng)C：，平面，平面，故平面，同理可得平面，，故面面，平面，平面，正確；對選項(xiàng)D：，，，正確．故選：BCD13．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺（

）A．高為 B．表面積為C．體積為 D．上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為【答案】BCD【分析】求得圓臺的上下底面半徑，根據(jù)圓臺的結(jié)構(gòu)特征可求得圓臺母線長和高，判斷A；根據(jù)圓臺的側(cè)面積以及體積公式求得表面積和體積，判斷B，C；進(jìn)而求得上底面積、下底面積和側(cè)面積之比，判斷D.【詳解】對于A，設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則，解得,所以圓臺的母線長為，高為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，圓臺的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，所以圓臺的表面積為，選項(xiàng)B正確；對于C，圓臺的體積為，選項(xiàng)C正確；對于D，圓臺的上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為，選項(xiàng)D正確，故選：BCD．14．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）正方體的棱長為3，E，F(xiàn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則（

）A．與垂直B．與一定是異面直線C．存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得三棱錐的體積為D．當(dāng)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得截面的周長為【答案】ACD【分析】設(shè)，利用坐標(biāo)法可判斷A，利用特值法可判斷B，根據(jù)體積公式表示出三棱錐的體積可判斷C，作出截面結(jié)合條件可得周長判斷D.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，A：由題可得，所以,所以，即，故A正確；B：當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，，所以，B，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，此時(shí)與不是異面直線，故B錯(cuò)誤；C：由，可得，則，由于，故C正確；D：直線與分別交于，連接分別交，于點(diǎn)M，N，則五邊形為平面截正方體所得的截面，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以易得，故可得，因?yàn)椋?，可得，同理可得，所以五邊形的周長為，故D正確.故選：ACD.15．（2023·江蘇·二模）已知是棱長均為的三棱錐，則（

）A．直線與所成的角B．直線與平面所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為D．能容納三棱錐的最小的球的半徑為【答案】ACD【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直判定及性質(zhì)、線面角定義逐一計(jì)算或判斷各項(xiàng)正誤即可．【詳解】A：若為中點(diǎn)，連接，由題設(shè)知：各側(cè)面均為等邊三角形，所以，，面，則面，又面，故，正確；B：若為面中心，連接，則面，面，所以直線與平面所成的角為，且，而，故，顯然不為，錯(cuò)誤；C：由B分析，即該正棱錐的體高為，故到平面的距離為，正確；D：顯然正棱錐的外接球半徑最小，令其外接球半徑為，則，所以，正確.故選：ACD16．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體棱長為，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．三棱錐的體積不變D．以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與面的交線長【答案】ACD【分析】根據(jù)的最小值為等邊三角形的高，可求得A正確；將與矩形沿翻折到一個(gè)平面內(nèi)，可知所求最小值為，利用余弦定理可求得B錯(cuò)誤；利用體積橋可求得三棱錐的體積為定值，知C正確；利用體積橋可求得點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)交線為圓可求得交線長，知D正確.【詳解】對于A，在中，，即是邊長為的等邊三角形，的最小值為的高，，A正確；對于B，將與矩形沿翻折到一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，則的最小值為；又，，，在中，由余弦定理得：，，即，B錯(cuò)誤；對于C，平面，平面，；四邊形為正方形，，又，平面，平面；，即三棱錐的體積不變，C正確；對于D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，即，解得：，以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與平面的交線是以為半徑的圓，交線長為，D正確.故選：ACD.17．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．存在點(diǎn)P，使得平面C．對任意點(diǎn)P，平面平面D．點(diǎn)到直線的距離為4【答案】BCD【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)線線垂直的判定定理可判斷C，利用余弦定理結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B正確；對于C，連結(jié)，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對任意點(diǎn)，平面平面，所以C正確；對于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以D正確．故選：BCD．18．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在已知直四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，M，N，P分別是BC，，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．若，，則B．C．平面D．若，則平面平面【答案】ACD【分析】證明，根據(jù)異面直線夾角定義證明，判斷A，證明MN與CD異面，判斷B，由線面平面判定定理判斷C，由線面垂直判定定理證明平面，由面面垂直判定定理證明平面平面.【詳解】連接，由已知，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，由，∴，則，∴，故，選項(xiàng)A正確．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又，所以，由，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫?，，平面，所以MN與CD異面，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．因?yàn)?，平面，平面，所以平面，選項(xiàng)C正確．若，則四邊形ABCD為菱形，∴．又，，平面∴平面，平面，∴平面平面，選項(xiàng)D正確．故選：ACD.19．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正四棱錐的所有棱長均為，，分別是，的中點(diǎn)，為棱上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A．異面直線、所成角的大小為B．直線與平面所成角的正弦值為C．周長的最小值為D．存在點(diǎn)使得平面【答案】BC【分析】根據(jù)空間中異面直線所成角，直線與平面所成角的定義，空間中折疊問題以及垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)運(yùn)算求解即可．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又正四棱錐的所有棱長均為，則，所以異面直線，所成角為，故A錯(cuò)誤；設(shè)正方形的中心為，連接，，則平面，，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，則，且平面，所以為直線與平面所成角，所以，中，，，，所以由余弦定理可得，所以，所以，故B正確；將正和沿翻折到一個(gè)平面內(nèi)，如圖，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以周長的最小值為，故C正確；若平面，則，此時(shí)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，而此時(shí)，與顯然不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：BC．20．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為C．若保持，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為D．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過做平面平面，即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)的軌跡是圓弧，即可判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系求得圓心坐標(biāo)即可判斷D.【詳解】對于，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，連接，則，故錯(cuò)誤；對于，因?yàn)槠矫?，平面，，又，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，平面，所以平面，所以過點(diǎn)作交交于，過作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，則平面平面，設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，所以，故B正確；對于，若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點(diǎn)作平面，則，此時(shí)，所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為，故正確；對于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建系，則，設(shè)三棱錐的外接球球心為，由得，，解得：，所以三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球表面積為，D正確.故選：BCD.21．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（

）A．過點(diǎn)M有且僅有一條直線與AB，都垂直B．有且僅有一個(gè)點(diǎn)M到AB，的距離相等C．過點(diǎn)M有且僅有一條直線與，都相交D．有且僅有一個(gè)點(diǎn)M滿足平面平面【答案】ABC【分析】逐個(gè)分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)過點(diǎn)M與AB、都垂直的直線為l，∵，∴，又∵，，、面，∴面，而過點(diǎn)M作平面的垂線有且只有一條直線，即為：．∴過點(diǎn)M有且僅有一條直線與AB、都垂直.故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，連接MA，，由題意知，AB面，面，∴ABMA，，即：MA為點(diǎn)M到AB的距離，為點(diǎn)M到的距離，在中，，在中，，又∵∴當(dāng)時(shí)，，即：當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到AB、的距離相等，即：有且僅有一個(gè)點(diǎn)M到AB、的距離相等.故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，如圖所示，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接、交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)N，則面，又因?yàn)槊?，且，，所以連接MN必與交于點(diǎn)G，即：過點(diǎn)M有且僅有一條直線與、都相交.故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)正方體的邊長為2，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)，，則，，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，當(dāng)時(shí)，取，則，，當(dāng)時(shí)，取，則，，則，設(shè)面（即：面）的一個(gè)法向量為取，則，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)面與面不垂直，當(dāng)時(shí)，，所以面與面不垂直，所以不存在過點(diǎn)M滿足面面.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC.22．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC與的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．平面B．與所成的角為30°C．平面D．平面截正方體的截面面積為【答案】ABD【分析】設(shè)點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，得到四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理，證得平面，可判定A正確；再得到四邊形為菱形，求得截面的面積，可判定D正確；設(shè)的中點(diǎn)為N，證得，得到為與所成的角，利用余弦定理求得，可判定B正確；假設(shè)平面正確，得到，結(jié)合，證得平面，得到，進(jìn)而判定C錯(cuò)誤．【詳解】如圖1所示，設(shè)點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，又，平面，平面，所以平面，故A正確；由上可知，四邊形為平面截正方體的截面，易得，故四邊形為菱形，又其對角線，，故其面積為，故D正確；設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e為與的中點(diǎn)，所以，故為與所成的角，又，，由余弦定理可得，所以與所成的角為，故B正確；如圖2所示，假設(shè)平面正確，則，又，，所以平面，得．在正方形中，，顯然不成立，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即平面錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤．故選：ABD．23．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，若，則（

）A．B．與所成角為C．與平面所成角為D．與平面所成角的正切值為【答案】ACD【分析】對于選項(xiàng)A，利用線面垂直的判定定理得到AC⊥平面SBD，進(jìn)而可判定選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由平面，知，故可選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C和D，利用線面的定義，找出線面角，從而轉(zhuǎn)化成平面角，在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行求解，即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)榈酌妫?，所?因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，又，平面，所以平面，又面，所以，選項(xiàng)A正確．選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫?，又面，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C，因?yàn)榈酌?，面，所?因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又，平?所以平面,所以與平面所成角為，易知，故選項(xiàng)C正確．選項(xiàng)D，如圖，取中點(diǎn)，連，因?yàn)榈酌?，面，所?雙四邊形是正方形，所以，又，所以平面,面，所以，又，所以，，所以面，所以與平面所成角為，不妨設(shè)，易知,在，，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD24．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，和的中點(diǎn)，為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．D．異面直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【分析】根據(jù)圖形特點(diǎn)取的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的線線關(guān)系計(jì)算可判斷A,C,D選項(xiàng)；利用線面關(guān)系及三棱錐體積即可判斷B選項(xiàng).【詳解】解：直三棱柱中，，，，分別為，和的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，由于，所以，如圖以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),，則，所以則，又，所以，所以，對于A，，設(shè)，則，所以，則，故A正確；對于B，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又，則又平面，平面，所以平面，故到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C，由A選項(xiàng)得，，所以，故C不正確；對于D，由于，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.25．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，正方體，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（

）A．三棱錐的體積為定值B．直線DM與平面所成角的最大值為C．D．點(diǎn)M到平面與到平面ACD的距離之和為定值【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體中的直線與平面的關(guān)系，判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，而，平面，平面，所以平面，點(diǎn)M到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫?，所以即直線DM與平面所成的角，，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，，所以平面，又平面，，C正確；對于選項(xiàng)D，到平面的距離為，M到平面ACD的距離為，所以M到兩個(gè)平面的距離之和為，是定值，D正確．故選：ACD.26．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為2，，分別為，的中點(diǎn)，且與正方體的內(nèi)切球（為球心）交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．線段的長為B．過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為C．三棱錐的體積為D．設(shè)為球上任意一點(diǎn)，則