2023年高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練專題10 平面向量小題拔高練（解析版）

2023年高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題10平面向量小題拔高練-新高考數(shù)學復習分層訓練（新高考通用）一、單選題1．（2023·浙江·永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知是邊長為1的正三角形，，，則（

）A． B． C． D．12．（2023·浙江·模擬預測）已知在三角形ABC中，，點M，N分別為邊AB，AC上的動點，，其中，點P，Q分別為MN，BC的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，且對任意實數(shù)，，的最小值為，的最小值為，則（

）A． B．C．或 D．或4．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┰谄叫兴倪呅沃校?分別在邊?上，，與相交于點，記，則（

）A． B．C． D．6．（2023·江蘇南通·海安高級中學?？家荒＃┮阎冗叺倪呴L為，為的中點，為線段上一點，，垂足為，當時，（

）A． B．C． D．7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知平面向量、、滿足，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC、CD的中點，若，，則（

）A． B． C． D．9．（2023·福建泉州·?？寄M預測）我國古代人民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽．如圖，大正方形是由個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點，則（

）A． B． C． D．10．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．11．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預測）已知等邊三角形的邊長為1，動點滿足．若，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．312．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知中，，，，過點作垂直于點，則（

）A． B．C． D．13．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知，，是同一平面內兩兩不共線的單位向量，下列結論可能成立的是（

）A．B．C．存在不全為0的實數(shù)，，使D．若，則14．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知等腰直角三角形中，，，分別是邊，的中點，若，其中，為實數(shù)，則（

）A． B．1 C．2 D．15．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預測）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．1616．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）如圖，是平行四邊形所在平面內的一點，且滿足，則（

）A．2 B． C． D．117．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．18．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）設非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題19．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）設是兩個非零向量，則下列命題中正確的有（

）A．若，則存在實數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實數(shù)使得，則20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）設，，是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則不與垂直 D．不與垂直21．（2023·河北·河北衡水中學?？寄M預測）在中，，，，且，則（

）A．B．C．D．，，，使得22．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量滿足，對任意的實數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為23．（2023·山東·煙臺二中?？寄M預測）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．24．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學?？寄M預測）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．存在，使得B．當時，與垂直C．對任意，都有D．當時，與方向上的投影為25．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知O為坐標原點，點，，，則（

）A． B．C． D．26．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標系中，已知點，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標為D．與垂直的單位向量的坐標為或27．（2023·江蘇南通·模擬預測）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動點P在上（含端點），連結OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．三、填空題28．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知，，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標為______．29．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知點，若過點的直線交圓于兩點，則的最小值為__________.30．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）若向量滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是______.2023年高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題10平面向量小題拔高練-新高考數(shù)學復習分層訓練（新高考通用）一、單選題1．（2023·浙江·永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知是邊長為1的正三角形，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖像，即可得出，，再得出，代入計算即可得出答案．【詳解】由，可知E為BC中點，所以，如圖所示：因為，根據(jù)上圖可知故選：A2．（2023·浙江·模擬預測）已知在三角形ABC中，，點M，N分別為邊AB，AC上的動點，，其中，點P，Q分別為MN，BC的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，再計算，得到函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間最值的求法即可求解.【詳解】，則，而，，而的對稱軸為，故當時，，故選：B3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，且對任意實數(shù)，，的最小值為，的最小值為，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】不妨設向量，，求出，的坐標，表示為關于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質可利用最小值列出等式，同理，表示為關于y的二次函數(shù)，利用最小值列出等式，兩式聯(lián)立求出m，n，即可求得．【詳解】不妨設向量，，則，，所以，又對任意實數(shù)有的最小值為，所以，化簡得．又，對任意實數(shù)有的最小值為，所以，所以，即．由，可得或3，故或．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量與二次函數(shù)最小值的綜合問題，考查考生分析問題、解決問題的能力以及運算求解能力，屬于中檔題．本題求解的關鍵：一是設出向量，的坐標，有利于從“數(shù)”的角度加以分析；二是在“平方”變形的基礎上，靈活運用二次函數(shù)的最小值．4．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標表示可知，再根據(jù)余弦二倍角公式化簡、解方程可得,進而可得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求出結果.【詳解】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┰谄叫兴倪呅沃校?分別在邊?上，，與相交于點，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意過點作平行于，交于點，先利用三角形相似求出，然后利用向量的線性運算即可求解.【詳解】過點作平行于，交于點，因為，則為的中點，所以且，因為，所以，由可得：，所以，因為，所以，故選：.6．（2023·江蘇南通·海安高級中學校考一模）已知等邊的邊長為，為的中點，為線段上一點，，垂足為，當時，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設，由求出，得到為的重心，為的中點，再利用平面向量基本定理求解即可．【詳解】解：設，則，，，，或（舍去），為的重心，，為的中點，，故選：B．7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知平面向量、、滿足，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不失一般性，在平面直角坐標系中，設，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出、的值，以及的值，再利用平面向量的模長公式以及基本不等式可求得的最小值.【詳解】不失一般性，在平面直角坐標系中，設，，，因為，，，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故選：C.8．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC、CD的中點，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運算法則得到，，得到答案.【詳解】，，故.故選：C9．（2023·福建泉州·?？寄M預測）我國古代人民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽．如圖，大正方形是由個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形，利用向量的分解可得解.【詳解】如圖所示，過點分別作，，分別交，于點，，則，，所以，，，，由已知得，則在中，，所以，，即，，所以，，即，，所以，故選：A.10．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【詳解】因為，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B11．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預測）已知等邊三角形的邊長為1，動點滿足．若，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【分析】利用平方的方法化簡已知條件，結合基本不等式求得的最小值.【詳解】，由兩邊平方得，即，當且僅當時等號成立，所以，所以的最小值為.故選：B12．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知中，，，，過點作垂直于點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)求得，再用余弦定理求得，利用等面積法求得，勾股定理求得，從而，最后分解為已知向量即可.【詳解】即，又因為，所以.在中，根據(jù)余弦定理可得：，即，根據(jù)三角形面積公式，解得，，，.故選：A13．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知，，是同一平面內兩兩不共線的單位向量，下列結論可能成立的是（

）A．B．C．存在不全為0的實數(shù)，，使D．若，則【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量的定義、共線向量定理可判斷A，B，C；由可得，兩邊同時平方可得，同理可得，由向量的模長公式可求出可判斷D正確.【詳解】對于A，由可得，因為所以，故，共線，，共線，故A不正確；對于B，若，則，則，由向量共線定理可知，，共線，故B不正確；對于C，存在不全為0的實數(shù)，，使，由向量共線定理可得，共線，不滿足，是不共線的向量，故C不正確；對于D，由可得，兩邊同時平方，則，，則同理可得，所以，故D正確.故選：D.14．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知等腰直角三角形中，，，分別是邊，的中點，若，其中，為實數(shù)，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算結合平面向量基本定理分析運算.【詳解】由題意可得：，若，則，可得，故.故選：D.15．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預測）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和關系，把的兩邊平方，利用基本不等式進行轉化求解即可．【詳解】設非零向量，的夾角為.，所以，由兩邊平方得：，，，即，即，，，即當時，取得最小值，最小值為8.故選：C．16．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）如圖，是平行四邊形所在平面內的一點，且滿足，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】運用向量線性運算及數(shù)量積運算求解即可.【詳解】由已知，可得，又四邊形為平行四邊形，所以，所以.故選：D.17．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)量積運算律及向量夾角公式可得，后可得.【詳解】由題可知，，所以，，則為銳角，得，則.故選：D18．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）設非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量模的性質由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.二、多選題19．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）設是兩個非零向量，則下列命題中正確的有（

）A．若，則存在實數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實數(shù)使得，則【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量的模、及線性運算的概念即可判斷.【詳解】當時，的方向相反且，則存在負實數(shù)，使得，故A正確D錯誤；若，則以為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個矩形的兩條對角線長，所以，故B正確；若則的方向相同．在方向上的投影向量為，故C正確．故選：ABC.20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）設，，是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則不與垂直 D．不與垂直【答案】AB【分析】A選項，兩邊平方計算出，得到垂直關系；B選項，計算出，得到垂直關系；C選項，計算出，得到垂直關系，D計算出，得到D正確.【詳解】，，是三個非零向量，A選項，兩邊平方得：，即，故，則，A正確；B選項，，因為，所以，故，B正確；C選項，，故，則與垂直，C錯誤；D選項，，故與垂直，D錯誤.故選：AB21．（2023·河北·河北衡水中學?？寄M預測）在中，，，，且，則（

）A．B．C．D．，，，使得【答案】ABCD【分析】根據(jù)向量共線以及三角形的面積公式可判斷A，根據(jù)不等式即可求解BCD.【詳解】設中所對的邊分別為，由，，得，，，進而得，，，,,，故A正確，由A知，，，所以，當且僅當取等號，因此，故B正確，,同理，，當且僅當時取等號,因此存在使得，故D正確，所以，故C正確,故選：ABCD22．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量滿足，對任意的實數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為【答案】AD【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運算逐項進行檢驗即可求解.【詳解】設平面向量與的夾角為，因為對任意的實數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對任意的實數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項正確；對于，因為隨的變化而變化，故選項錯誤；對于，因為，由二次函數(shù)的性質可知：當時，取最小值，故選項錯誤；對于，向量上的一個單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計算公式可得：在上的投影向量為，故選項正確，故選：.23．（2023·山東·煙臺二中校考模擬預測）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】AD選項，由可得，，后結合，可判斷選項正誤；BC選項，結合AD選項分析可得，據(jù)此可判斷BC選項正誤.【詳解】AD選項，，得，整理得①．由，得，整理得②．由①②及，得，所以，.故AD正確；BC選項，，所以，所以反向共線，又，所以，.故B正確，C錯誤.故選：ABD．24．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學?？寄M預測）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．存在，使得B．當時，與垂直C．對任意，都有D．當時，與方向上的投影為【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量共線、垂直的坐標表示和向量投影的相關知識逐項進行判斷.【詳解】對于，若，則有，即，所以不存在這樣的，故選項錯誤；對于，若，則，即，得，故選項正確；對于，，，當時，，故選項錯誤；對于，，兩邊同時平方得，即，，解得，，，設與的夾角為，在方向上的投影為，故選項正確，故選：.25．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知O為坐標原點，點，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐標表示與旋轉角的定義推得是正三角形，從而對選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，因為，，，所以，，故是正三角形，則，故A正確；對于B，因為是正三角形，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，則，所以，故D錯誤.故選：ABC．.26．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標系中，已知點，則（

）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐標為D．與垂直的單位向量的坐標為或【答案】ABD【分析】根據(jù)向量模的坐標表示求出可判斷A；求出向量、以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)投影向量的定義求出在方向上的投影向量可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標表示求出與垂直的單位向量，判斷D.【詳解】因為，所以，A正確因為，所以，所以，即為直角三角形，B正確；設與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量為，C錯誤；因為，設與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標為或，D正確，故選：ABD．27．（2023·江