余弦定理的八種證明方法

百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我定理的八種證明方法2011年高考數(shù)學(xué)卷(陜西卷)考出了“說(shuō)明并證明余弦定理”這個(gè)考題,使平時(shí)不注重翻閱課本的同學(xué)大部分吃了虧，雖然這是書(shū)本上的知識(shí)，且課本上只給出了一種證明方法，來(lái)介紹一下多種余弦定理的證明方法，來(lái)增強(qiáng)我們對(duì)課本知識(shí)的理解。用多種方法證明余弦定理，擴(kuò)展思維，了解更多的過(guò)程。的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形便可適當(dāng)移于其它知識(shí)。一余弦定理的內(nèi)容對(duì)于任意三角形，任何一邊的等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩二證明方法方法一：平面幾何法cabab*cosC66 百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我方法二：勾股法則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*cAC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosB方法三：解析法則由則由距離公式得a=(c-bcosA)2-(bsinA)2cbbccosA方法四：面積法S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC),S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=2(S△ACQ+S△PBC)=c2,ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b2.bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=c2(1)ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a2(2)ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b2(3)易得余弦定理方法五：正弦法∴∴a2+b2-c2sin2A+sin2B-sin2C＝absinAsinB∴∴a2+b2-c2=absinAsinB(sin2A+sin2B-sin2C)(1)又又∵sin2A=1-cos2A2sin2B=∴sin2A+sin2B=1-(cos2A+cos2B)=1-cos(A+B)cos(A-B)∴sin2A+cos2B=1-cosCcos(A-B)(2)百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我(2)帶入(1)得[1+cosCcos[1+cosCcos(A-B)-sin2C]a2+b2-c2===[cos2C+cosCcos(A-B)]==cosC[cosC+cos(A-B)]=cosC[-cos(A+B)+cos(A-B)]=2abcosCababcosCb2=a2+c2-2accosBa2=c2+b2-2bccosA方法六：攝影定理法abcosCccosB)b=acosC+ccosA(2)c=bcosA+acosB(3)∴(1)×a+(2)×b-(3)×c得c2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosBa2=c2+b2-2bccosA方法七：復(fù)數(shù)法如下圖，在復(fù)平面內(nèi)作△如下圖，在復(fù)平面內(nèi)作△ABC，則=a(cosB+isinB)，bcos(－A)+isin(－A)]，這里C'是平行四邊形ACBC'的頂點(diǎn)，所以c=a(cosB+isinB)+b[cos(－A)+isin(－A)]百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我。。對(duì)(*)式兩邊取模，得c2=(acosB+bcosA)2＋(asinB－bsinA)2=a2+b2+2abcos(B+A)=a2+b2－2abcosC方法八：物理法Fa=BIaFb=BIb(1)Fc=BIcc根據(jù)甲圖，有FasinB-FbsinA=0FacosB-FbcosA=Fc(2)同理，根據(jù)乙圖、丙圖分別有FbsinC-FcsinB=066 百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我FbcosC+FccosB=Fa和FasinC-FcsinA=0FacosC+FccosA=Fb(3)(4)將(1)式分別代入(2)、(3)、(4)、式并整理，得(5)(5)分別化簡(jiǎn)(5式，得余弦定理c2=a2+b2-2abc