矩陣理論第四講最小多項式

矩陣理論第四講最小多項式1第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一上節(jié)內(nèi)容回顧化方陣A為Jordan標準形特征向量法初等變換法多項式矩陣（λ矩陣）多項式矩陣的Smith標準型不變因子、初等因子行列式因子法

的相似變換矩陣P的求法在A的Jordan矩陣中構(gòu)造k個以為對角元素的Jordan塊k個Jordan塊的階數(shù)之和等于2第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理任一方陣都是它的特征多項式的根Hamilton-Cayley定理 設(shè)，，則證明：

由于

顯然運算結(jié)果是一個多項式運算結(jié)果是一個數(shù)運算結(jié)果是一個矩陣運算結(jié)果是一個零矩陣3第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理任一方陣都是它的特征多項式的根證明：

考察J：4第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理 將J寫成如下形式：

上式中是A的n個根，所以 將矩陣A代入上式，形成一個矩陣多項式，： 將代入上式：5第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理6第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理7第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理8第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理任一方陣都是它的特征多項式的根證明：

仿照常數(shù)矩陣的伴隨矩陣的定義，定義多項式矩陣的伴隨矩陣： 設(shè)

其中：是的行列式的第i行第j列元素的代數(shù)余子式，那么與常數(shù)矩陣類似：9第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理 設(shè)是矩陣A的特征矩陣的伴隨矩陣，那么 是次數(shù)為n的多項式： 再考察，其每個元素的次數(shù)均不超過n–1:10第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理

令:利用矩陣加法的定義將分解11第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理

考察等式的右邊：考察其左邊：比較兩邊的系數(shù)：12第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理以依次右乘這些等式：+=13第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理的應用化簡矩陣多項式的計算：當n階方陣的矩陣多項式中A的最高次冪超過n時，可用多項式的帶余除法，將此矩陣多項式對應的多項式表示為 與商的積，再加上余式的形式： 那么根據(jù)Hamilton-Cayley定理 這樣可簡化的計算多項式的帶余除法 設(shè)，為任意多項式，不恒等于0，則必有兩個多項式和，使得 式中或14第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理的應用舉例：給出：求；；；

15第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理的應用 商：16第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一Hamilton-Cayley定理的應用所以：第2個問題第3個問題：待定系數(shù)法17第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式方陣的零化多項式 設(shè)，是多項式，如果成立，則稱為方陣A的零化多項式是A的零化多項式不恒等于零，是A的零化多項式方陣的最小多項式 設(shè)，在A的零化多項式中，次數(shù)最低的首一多項式稱為A的最小多項式，記為設(shè)，且，成立，且是唯一的

證明：采用反證法 設(shè)是A的任一零化多項式，假設(shè)不能整除，則根據(jù)多項式的帶余除法：18第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式 而是A的最小多項式：與假設(shè)矛盾再證最小多項式的唯一性 假設(shè)也是A的最小多項式 首先，、均成立 其次，與次數(shù)相同，否則其中一個不是最小多項式 因此，、的商為常數(shù)因子 又因為與都是首一的，此常數(shù)因子必等于1 所以

19第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式定理 矩陣A的特征根也必定是A的最小多項式的根；A的最小多項式的根必定是A的特征根

證明：根據(jù)矩陣多項式的特征值的定理，即 設(shè)是的特征值，矩陣多項式的特征值為 并且，若則A的任一特征值滿足 是A的次數(shù)最低的、首一的零化多項式：

即：A的特征根也必定是A的最小多項式的根 又：設(shè)是的根，即，可得 是A的特征根20第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式矩陣A的特征根也必定是A的最小多項式的根，由此可得到求最小多項式的一個方法： 設(shè)的所有不同的特征值為，則其特征多項式可寫為： 那么A的最小多項式應該具有如下形式： 這就是下述定理所描述的內(nèi)容：

定理 設(shè)，是A的所有互不相同的特征值，則 其中是A的Jordan標準形中含的Jordan塊的最高階數(shù)21第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式

可能相同22第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式定理 設(shè)，是A的特征矩陣的n–1階行列式因子，則A的最小多項式為：23第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式舉例： 求 的最小多項式

方法1

最小多項式只能有以下形式 次數(shù)從低到高依次驗證 所以24第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式舉例： 求 的最小多項式方法2(Jordan標準形法)

：A的Jordan標準形中含的Jordan塊的最高階數(shù)25第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式舉例： 求 的最小多項式

方法1(第n階不變因子)26第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一方陣的零化多項式和最小多項式舉例： 求 的最小多項式

方法2(Jordan標準形法)

：A的Jordan標準形中含的Jordan塊的最高階數(shù)27第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的逆多項式矩陣的逆 設(shè)，若，使得成立 則稱是可逆的，或稱是單模矩陣多項式矩陣的逆是唯一的

設(shè)也是的逆，則多項式矩陣可逆的充要條件 可逆

證明：必要性 假設(shè)可逆，則，成立28第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的逆

充分性 設(shè)，則使得其中，是的伴隨多項式矩陣29第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一初等矩陣及多項式矩陣的等價結(jié)論：

對多項式方陣，滿秩未必可逆 初等多項式矩陣都是可逆的 初等多項式矩陣都是單模的

初等陣，使得30第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的等價 與有相同的行列式因子，或相同的不變因子

證明：必要性

多項式矩陣的Smith標準形的唯一性 與有相同的不變因子 多項式矩陣的行列式因子和不變因子之間的關(guān)系 與有相同的行列式因子31第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的等價

充分性 設(shè)與有相同的不變因子（因而有相同的行列式因子），則它們與同一個Smith標準形等價，即矩陣的相似與其特征矩陣的等價之間的關(guān)系定理 相似矩陣有相同的最小多項式

證明：

多項式矩陣等價的傳遞性32第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介右公因子(RightCommonFactor)： 設(shè)與，如果存在多項式矩陣、以及，使得及成立 則稱多項式矩陣是與的右公因子左公因子(LeftCommonFactor)

設(shè)與，如果存在多項式矩陣、以及，使得及成立 則稱多項式矩陣是與的左公因子最大右公因子(greatestcommonrightdecompositionfactor,gcrd??)

是與的右公因子； 與的任一其它的右公因子都是的右乘因子通過轉(zhuǎn)置關(guān)系：研究其中之一即可33第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介gcrd的存在性 及，其gcrd都存在。

gcrd的構(gòu)造定理 若存在單模矩陣，使得 則即為與的一個gcrd 證明： 先證是右公因子。為此，把的逆矩陣寫成分塊矩陣：nnmgcrd34第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介 以左乘定理中的等式兩邊，可得 比較等式里邊分塊矩陣中的每一個分塊，可知是與的右公因子 再證是gcrd，即若為與的另一右公因子，證明是的右乘因子，將 代入

35第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介 可得gcrd的求法 若對分塊多項式矩陣 進行一系列初等行變換，使其下面的m×n分塊成為零多項式塊 則 就是求與的gcrd的變換矩陣，就是所求的gcrdnnm36第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介

求gcrd舉例 給出 求

37第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介

求gcrd舉例

12238第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介

gcrd的基本性質(zhì)不唯一性。

單模矩陣

滿秩滿秩單模單模

若，則39第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介

gcrd的基本性質(zhì)

對及，若 則可表示為 事實上，由gcrd的構(gòu)造定理 取，即可

40第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介

多項式矩陣的互質(zhì) 稱與是右互質(zhì)的，若 為單模矩陣

多項式矩陣的互質(zhì)的Bezout判別準則 與右互質(zhì) 使Bezout等式成立

證明：必要性 與右互質(zhì)為單模矩陣，以其逆左乘構(gòu)造定理中的上分塊矩陣等式 可得41第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介 令 則充分性得證充分性 設(shè)Bezout等式成立： 給定一個 則及，使得成立 代入Bezout等式 從而是單模矩陣與右互質(zhì)

42第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介多項式矩陣的互質(zhì)的Smith標準形判別準則 與右互質(zhì)分塊多項式矩陣 的Smith標準形為 即：

證明：必要性43第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介 由gcrd構(gòu)造定理有：(1) 其中，是單模矩陣 若與右互質(zhì)是單模矩陣 設(shè)的逆為，以其右乘(1)式

由于等價的多項式矩陣具有相同的Smith標準形

必要性得證Smith標準形44第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣的互質(zhì)性簡介充分性 若 成立 與（均為單模陣），使得 成立，設(shè)的逆為，以其右乘上式，可得 由構(gòu)造定理，，且單模 與右互質(zhì)Smith標準形45第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣既約性簡介多項式矩陣的行次數(shù)和列次數(shù)

對多項式矩陣，定義 分別為的第i行次數(shù)和的第j列次數(shù)，分別記為：

舉例:

46第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣既約性簡介多項式矩陣的列次表示式

多項式矩陣可用其列次數(shù)表示為列次表示式 其中，是一對角陣； ：列次系數(shù)矩陣，其第j列為的第j列中相應 于項的系數(shù)組成的列；：低次剩余多項式矩陣，且 47第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一多項式矩陣既約性簡介多項式矩陣的行次表示式

多項式矩陣可用其行次數(shù)表示為行次表示式 其中，是一對角陣； ：行次系數(shù)矩陣，其第i行為的第i行中相應 于項的系數(shù)組成的行；：低次剩余多項式矩陣，且

48第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一