三角形的邊角及三線

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第三章全等三角形

專題一、認(rèn)識三角形知識點：

1.三角形的定義：由不在上的三條線段連接形成的圖形叫三角形。2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和第三邊；任意兩邊之差第三邊。3.內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于。

4.三角形按角分類：、、。5.直角三角形性質(zhì)：直角三角形兩銳角。6.三角形的角平分線

（1）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的叫做三角形的角平分線。三角形的三條角平分線交于。（2）幾何語言

∵AD是△ABC的角平分線∴∠1=∠2=

A121∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠227.三角形的中線

BC

D

（1）定義：三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊的，叫做三角形的中線。三角形的三條中線交于。（2）幾何語言8.三角形的高線

ABCAD

（1）定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，之間的線段叫做三角形的高線，三角形的三條高交于。（2）幾何語言（3）作圖（做出以下三角形各邊上的高）

AABDC

CBCB

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典型例題：

例1.有兩條線段的長分別是a=8,b=6,要造一條選段c，使得a,b,c構(gòu)成一個三角形，求c的取值范圍。

例2.已知一個等腰三角形的兩邊分別為6和9，求這個三角形的周長。

變式訓(xùn)練：

1.已知長度為2cm,3cm,4cm,5cm的四條線段，能組成多少個不等邊三角形？2.已知一個三角形的兩邊分別為3和9，第三邊長為奇數(shù)，求這個三角形的周長。

3.a、b、c為三角形邊長，化簡|a?b?c|?|a?b?c|?|a?b?c|?|a?b?c|的結(jié)果是（A.0B.2a?2b?2cC.4aD.2b?2c能力提升：

（1）已知三角形的三邊長分別為4，x，6-x，求x的取值范圍。

（2）如圖，設(shè)P為三角形ABC內(nèi)一點，且AB=PB，求證：AC>PC。

2

）

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例3.已知一個三角形的內(nèi)角和的度數(shù)之比為1:3:5，求這個三角形的度數(shù)。

變式訓(xùn)練：1.在?ABC中，

（1）?A?80?,?B??C，則?B?_____________；

C（2）?A??C?35?,?B??A?20?，則?B?_____________；（3）?C?90?，?A?30?，則?B?_____________.

例4.如圖2，?A?40?,?B?15?,?C?35?,則?BDC?_________;

ADB

變式訓(xùn)練：1、如圖，已知?A?27?，?CBE?96?，?C?30?.求：?ADE的大小.

2、（1）如圖：有一塊直角三角板XYZ放置在?ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、

度，XZ分別經(jīng)過點B、C。?ABC中，?A?40?，則?ABC??ACB?________?XBC??XCB?__度；（2）如圖：改變直角三角板XYZ的位置，使直角三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ依舊分別經(jīng)過點B、C。那么?ABX??ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出?ABX??ACX的大小。

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三角形的角平分線

例5.摸索三角形的內(nèi)角和外角角平分線（平分三角形外角的射線角外角角平分線，如圖（2），?AEC是?ABC的外角，CO平分?ACE,那么射線CO就是外角平分線）

?（1）如圖（1），在?ABC中，兩內(nèi)角角平分線BO,CO相交于點O，若?A?50,則?BOC?___________；

此時?A與?BOC有怎樣的關(guān)系？

（2）如圖（2），在?ABC中，一內(nèi)角平分線BO與一外角平分線CO相交于點O，?A?50，則

??BOC?___________；此時?A與?BOC有怎樣的關(guān)系？

（3）如圖（3），在?ABC中，兩外角?EBC、?FCB的平分線，BO,CO相交于點O，若?A?50,則

??BOC?___________；此時?A與?BOC有怎樣的關(guān)系？

變式練習(xí)：如圖，在△ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，AD交BC于點G，DE//AB交AC于點E，∠BCA的平分線CF交AD于點P，交AB于F

（1）求證：AE=CE（2）求證：∠B=2∠PCD

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能力提高：探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖〞，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：觀測“規(guī)形圖〞，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，直接寫出∠ABX+∠ACX的結(jié)果；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、?、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度數(shù)．

圖1圖2圖3圖4

三角形的中線

例7.（1）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，周長為16cm，AC邊上的中線BD把△ABC分成周長差為2cm的兩個三角形。求△ABC各邊長。

A

5

DBC

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（2）如圖已知ΔABC三角形的面積為20cm2，點D在BC邊上，且BD:DC?3:2，點E為AD的中點，則ΔBDE的面積為。

變式練習(xí)：1.如圖，在△ABC中，已知AB=AC，中線BD把三角形的周長分成15cm和16cm兩部分，求這個三角形BC的長。

A

ADBC2.如圖，AD是ABC的中線，DE=2AE，且S

ABC=24cm，則S2ABE=____

E3.在ΔABC中點D是BC邊的中點，E、F分別為AD、CE的中點ΔBEF的面積為6cm，求ΔABC的面積

2BDC例8.如下圖，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D。求∠DCE的度數(shù)。

CA能力提升：

EDB

1.如圖1所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC。

（1）若△ABC中，∠B=a，∠C=b（a>b），請你猜想∠DAE與a、b間的等量關(guān)系，但不須證明；

（2）如圖2，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，F(xiàn)是AE上任意一點，過F作FG⊥BC于G，且∠

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C=40°，∠B=60°，請你直接運用（1）中的結(jié)論求出∠EFG的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若F點在AE的延長線上，其它條件不變，則∠EFG的度數(shù)大小發(fā)生變化嗎？請說明理由。

AAFBDE圖1CBDGE圖2C

開心體驗

1、有以下長度（cm）的三條小木棒，假使首尾順次連結(jié)，能釘成三角形的是（）

A、10、14、24B、12、16、32C、16、6、4D、8、10、122、已知等腰三角形的兩邊長分別為2cm、7cm，則其周長為（）

A、11cmB、16cmC、11cm或16cmD、不能確定

3、?ABC中,若?B??A??C，則?ABC是三角形；若?A??B??C，則?ABC是三角形；

4、在?ABC中，?A?100?，?B??C?20?，求?B、?C的度數(shù)各是多少度？

5、如圖，BD、CE是?ABC的高，以下給出的四個結(jié)論中正確的是（）（1）?1??2?90???A（2）?3??A?90???1（3）?BOC??1??2??A（4）?1??2??3??4?180?

1AE3O42DCBA、4個B、3個C、2個D、1個

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6、如圖：?ABC中，O是內(nèi)角平分線AD、BE、CF的交點。（1）若?BAC?52?，則?BOC?；（2）過O作OG?BC于G，求證：?DOB??GOC。

7、如下圖1，AD?BC