2015年高考真題整理解析幾何(文)

2015重慶

9.設(shè)雙曲線的右焦點是F,左、右頂點分別是

A\,A[

，過F做

的垂線與雙曲線交于B,C兩點，若

A|B1A,C

，則雙曲線的漸近線的斜率為

(A)

1

+2

(B)

+①

2

(0

±1

(D)

±板

【答案】C

【解析】

試題分析：由已知得右焦點F(c,0)(其中=才+匕箝＞0),

4(-a0)4(a0)，8(c「——

..b261

從而AXB=(c+4----)t=(c-a,—),又因為A[B—A]C,

所以4月?兒《=0,即(c-a).(c+a)+(-).(幺)=0；

*aa

化簡得到二=1=±=±1,即雙曲線的漸近線的斜率為±1;

a'a

故選C.

考點：雙曲線的幾何性質(zhì).

12.若點P(1,2)在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方

程為.

【答案】x+2y-5=0

【解析】

試題分析：由點P(b2)在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上知此圓的方程為：

x2+y=5

,所以該圓在點p處的切線方程為

lxx+2xy-5

即x+2y-5=0；

故填：x+2y-5=0.

考點：圓的切線.

21、(本小題滿分12分，(I)小問5分，(II)小問7分)

如題(21)圖，橢圓

7V=1

(

a

>

b

>0)的左右焦點分別為

耳

，且過

的直線交橢圓于P,Q兩點，且PQ

±

PF、

（I）若I

PH

|=2+

五

，I

PF1

1=2-

收

,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（II）若|PQ|=

I

PF\

I，且

3_

4

4

<2<-

3

，試確定橢圓離心率的取值范圍.

【答案】（I）

——+y-=l

4

(II)

VIV?

----<ert----

23

【解析】

試題分析：（I）由橢圓的定義知

2a^PF,|+|PF,|

可求出a的值，再由

PF,APF,

及勾股定理可求得c的值，最后由

b=yja2-c2

求得b的值，從而根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

得到結(jié)果；

(II)由

PF,APQ,\PQ\=IIPF,I

，得_____________

IQFJ=JlPFJ2+|PQ『=VT7771PF,I

由橢圓的定義，

嚴(yán)耳I+IPF?|=2a.|QFJ+|QF?|=2a

，進(jìn)而

|PF,|+|PQ|+|QF,|=4.7

于是

(1+/+Jl+/2)|PFJ=4a

.解得

S[+/+旖

,故

2a(/+Jl+產(chǎn)-i)

|PF|=2a-|PF,|=

2I+/+J1+產(chǎn)

再注意到

22222

|PF)|+|PF2|^PF2|=(2C)=4C

從而

26

4a..■9)++/

(//二

+a：2

一

二

/2?=4c

+?

+?+

1+/0

一0

?

兩邊除以

4a2

，得

72

1,(/+7177-1)2

-----------------------------------------------=e

(+/+Vi^7TJ<+/+Vi^77J

,若記

t=\+i+Vi+i2

,則上式變成

11

-

c㈤-X-

4.+-2

=嘴0

.再由

,并注意函數(shù)的單調(diào)性，即可求得離心率e的取值范圍。

試題解析：（1）由橢圓的定義，

2aTPF|I+IPF?|=g+JI）+g-啦）=4,故a=2.

設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知

PF,APF,

,因此

2C,FEI=JPFJ+|PFZ『='(2+4)+(2-拒)=20

c=6.

從而

b=yja2-c2=1

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

X~2

——+y-=l

(2)如題(21)圖，由

PF,APQ,\PQ\=I|PF,|

，得

IQFJ=JlPF/+|PQ『=VFTT71PF,|

由橢圓的定義，

|PF,|+|PF,|=2a,|QF,|+|QF2|=2a

，進(jìn)而

|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a

于是

(1+/+Vl+/2)|PF,|=4a

解得

4a

IPF,I=

1+/+J1+尸

,故

^_2a(l+Vl+/2-1)

|PF\=2a-IPF,

2I+/+71+/2

由勾股定理得

22

十耳『+|PF?|^PF2『=(2C)2=4C

從而

-

/2

43..9-)++/9

一4

7?=

2

++/+?

/一0

?

1+0亍

右記

t=\+l+V1+/2

,則上式變成

19“1

_4+(t-2y-H+-

40?2

r

由

3.4

-￡r/<-

43

,并注意到

1+/+71+/2

關(guān)于

1

的單調(diào)性，得

3￡Z<4

,即

111

一〈一￡r一

4t3

,進(jìn)而

?2r5

-<et-

29

,即

VIV?

----<eL-----

23

考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓的定義；3.函數(shù)與方程思想.

2015浙江

7、如圖，斜線段

AB

與平面

a

所成的角為

60°

B

為斜足，平面

a

上的動點

P

滿足

ZPAB=30°

則點

p

的軌跡是（）

(第7題圖)

A.直線B.拋物線

C.橢圓D.雙曲線的一支

【答案】C

【解析】

試題分析：由題可知，當(dāng)P點運(yùn)動時，在空間中，滿足條件的AP繞AB旋轉(zhuǎn)

形成一個圓錐，用一個與圓錐高成

60°

角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓.故選C.

考點：1.圓錐曲線的定義；2.線面位置關(guān)系.

15、橢圓

(

a>b>0

)的右焦點

F(c,0)

關(guān)于直線

b

y=-x

c

的對稱點

Q

在橢圓上，則橢圓的離心率是

【答案】

旦

2

【解析】

nb__]

試題分析I設(shè)Fi*O)關(guān)于直線J=的對稱點為。(叫玲，則有rC解得

c—n=—0x-m-+-2

(2c2

c3-2b2bcz-2bc由乩'-2加、"*回>-(?-2b：r@c、2dc)：

w=——,—,n=-----所以Q(—-；—,---.一)在隨1上?即Qn有-------——.：

解得。：=左、所以離心率0=￡=走

a2

考點：1.點關(guān)于直線對稱；2.橢圓的離心率.

19.(本題滿分15分)如圖，已知拋物線

G：y=；x]

4

,圓

22

C2：x+(y-I)=1

,過點

P(t,0)(t>0)

作不過原點0的直線PA,PB分別與拋物線

G

和圓

c2

相切，A,B為切點.

(1)求點A,B的坐標(biāo);

⑵求

APAB

的面積.

注：直線與拋物線有且只有一個公共點，

且與拋物線的對稱軸不平行，則該直線

與拋物線相切，稱該公共點為切點.

【答案】(1)

,2t2f2

—7,-r)

1+r1+t

；(2)

2

?【解析】

/題分析：T，設(shè)定直線？A的方程,通過聯(lián)立方程,判別式為零，得到點A的空際，根石國的性E，利用

點關(guān)于直城對稱，得到點3的坐標(biāo)，二利用兩點求距離及點到直送的距離公式,潺到三角形的它點差與底

邊上的高，由此計算三端形的面積

試題解析：1,由題意可知，百線？A的斜率存在，故可設(shè)直線？A的方程為J=*(..-：)

；.i=Kv-0

所以］、消去?二整理得?x:-4fcv-4fe=0.

Ij=_y

因為直線PA與拋物線相切，所以

A=16k2-16kt=0

，解得

k=t

所以

x=2t

即點

A2/,r)

設(shè)圓

G

的圓心為

0(0,1)

，點

B

的坐標(biāo)為

(不，%)

,由題意知，點B,0關(guān)于直線PD對稱，故有

I=°

解得

It2t

%\+尸%\+

.即點

2t2f2

B(—,-)

1+rr1+rr

(2)由⑴知，

\AP\=rVl+12

直線AP的方程為

tx-y-r=0

所以點B到直線PA的距離為

仆丁

J1+

所以

\PAB

的面積為

1戶

S=-\AP\-d=—

2112

考點：1.拋物線的幾何性質(zhì)；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.直線與拋物線的位

置關(guān)系

2015新課標(biāo)2

7.已知三點

4(l,0),B(0,V3),C(2,V3)

，則△

ABC

外接圓的圓心到原點的距離為()

5

A.-

3

口而

D.------

3

c拽

*3

4

D.-

3

【答案】B

【解析】

成題分折，△.近。外接圓圓心在直建3c垂直平分線上即直線x=l上，設(shè)圓。D(1.b)由DA?密

|4|=j+e-府=b=羋，所以曷心到原點的距離d=卜平j(luò)=浮.故選a

考點：直線與圓的方程.

15.已知雙曲線過點

(4,6)

,且漸近線方程為

1

y=±—x

2

，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】

X2

-------y=1t

4

【解析】

試題分析：根據(jù)雙雌漸近線方程為y=士（X可設(shè)雙曲線的方程為3二=物把（4,代I代入

y-r=力得巾=1.所以雙曲愛的方程為'一「=1

考點：雙曲線幾何性質(zhì)

20.（本小題滿分12分）已知橢圓

C：-—7+4=1（3>3>0）

a~b"

的離心率為

巨

2

，點

（2,收）

在C上.

（I）求C的方程；

（n）直線1不經(jīng)過原點0,且不平行于坐標(biāo)軸，1與C有兩個交點A,B,線段

AB中點為M,證明：直線0M的斜率與直線1的斜率乘積為定值.

【答案】（D

（II）見試題解析

【解析】

試題分析：《：），"一，=￡，+==1.求得a：=8.^=4,由此可得C的方程（2）把直線方程與

a2o*b'

橢圓方程聯(lián)立得（2必+1*+4防x+2/-8=0.所以雙="^=/^.%=收“+6=震片.

于是％=垃=W?=J次=一:

xM2k2

試題解析：

解：（I）由題意有正式=1.之+標(biāo)=L解得a：=8.6：=K所以橢圓C的方程為1

（II）設(shè)直線，:丁=H+5（左左0小工0）.鞏孫光）,M（玄,j上）,把y=H+b代入1?一/=1

得（》:+1）/+4及x-26、g=0.

故為￡=幺芋=恙j”=收籍+占=擊，于是直線0/的斜率治..=應(yīng)=-二，即

22k+12k+1%2k

板*?k=-；,所以直線0*的斛率與直線：的斜率乘積為定值.

考點：直線與橢圓一

2015新課標(biāo)1

5、已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，離心率為

J

2

,E的右焦點與拋物線

c：y=8x

的焦點重合，

4B

是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則

1/=

（A）

3

（B）

6

（C）

9

（D）

12

【答案】B

【解析】

試題分析：?.?拋物戲C:『=SY的焦點為ua，準(zhǔn)線方程為丫=-3橢圓三的右焦點為3力）,

廣摘圓三的焦點在X軸上，設(shè)方程為*■+*=l（a>6>0）,C-2,

?."￡=二=二，「.￡2=」，「.5。=。，一匚=12,.'橢圓三方程為二-乙=】，

a21612

朽x=-2代入橢圓三的方程解得A（-1.5）,3（-：；-3）.AA3?6,故選3

考點：拋物線性質(zhì)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)

16.已知

是雙曲線

C:，2—=1

8

的右焦點，P是C左支上一點，

，當(dāng)

/SAFF

周長最小時，該三角形的面積為

【答案】

1276

'【解析】

試題分析，設(shè)雙曲然的左焦點為月，由雙雌定義知?PF=：a+

.,.△A?F的周長為?A-?r-.V-?A-2U-PF--Ar-?A-PF-....

由于2a-.iF是定值，要使三的周長晏小.則？A-PF,隈小，即？、A、月其愛，

■

V-J|0r6^|.F.（一苧），...直綣疔:的方程為々-：=1,即x=；-3代入二=1整理得

~36j62-76S

/-6^3-96=0.解得?'==4或.1=-S?：告”所以？點的縱坐標(biāo)為:痛，

???$皿=S華一$見尸*6>6#-1x6>冰小正

/

考點：雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系；最值問題

20.（本小題滿分12分）已知過點

/（L。）

且斜率為k的直線1與圓C：

（X-2）2*尸3）2=1

交于M,N兩點.

）求k的取值范圍；

（

II

）

函?函二12

,其中0為坐標(biāo)原點，求

【答案】（

)2

［解析］

試題分析：（

）設(shè)出直線1的方程，利用圓心到直線的%離小于半徑列出關(guān)于k的不等式，即可

求出k的取值范圍；（

II

）設(shè)

巧,丫2）

,將直線1方程代入圓的方程化為關(guān)于X的一元二次方程，利用韋達(dá)定理將

玉泡,%%

用k表示出來，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式及

QV/OV=12

列出關(guān)于k方程，解出k,即可求出|MN.

試題解析：（

）由題設(shè)，可知直線1的方程為,

因為1與C交于兩點，所以

I-

解得

4-斤,4+x/7

--------<k<——

所以

的取值范圍是

II

）設(shè)

巧,丫2）

將

y=Ax+l

代入方程

(42)2寸卜3)2=1

，整理得

(1+爐］/+1比+7=0

所以

4(4+1)7

與田1+/1+p

百%+My2=(1+*)不^+左(石+電)+1一)+8

由題設(shè)可得

3型+8=12

,解得

k=\

,所以1的方程為

券=x+l

故圓心在直線1上，所以

|TvM|=2

考點：直線與圓的位置關(guān)系；設(shè)而不求思想；運(yùn)算求解能力

2015天津

5.已知雙曲線

fy2

7一方=l(a>Q6>0)

的一個焦點為

82。）

，且雙曲線的漸近線與圓

(X-@2+y2=3

相切，則雙曲線的方程為（）

【答案】D

?【解析】

門題分析，由雙曲線的漸近送雙-紗=。與國，x-2,+y2=3相力得

c=+段=2解得a=\,b=yfi.故選D

考點：圓與雙曲線的性質(zhì).

6.如圖，在圓0中,M,N是弦AB的三等分點,弦CD,CE分別經(jīng)過點M,N,若

CM=2,MD=4,CN=3,則線段NE的長為（）

8

3

(B)3(C)

10

(D)

5

2

D

弟(6)獨(dú)圖

【答案】A

【解析】

試題分析：由相交弦定理可

<JVZxAO=C?VxAE=-ABxABnNEJMxW=勺,

3CN3

故選A.

考點：相交弦定理

19.(本小題滿分14分)已知橢圓

[=l(a>b>0)

的上頂點為B,左焦點為

F

，離心率為

石

）求直線BF的斜率;

II

）設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B），故點B且垂直于BF的直線與橢圓交于

點Q（Q異于點B）直線PQ與x軸交于點M,

(

i

）求

1

的值;

）若

|7^sinE?g^=-^

，求橢圓的方程.

【答案】（

1

)2；(

II

)(

i

)

7

8

；(

)

【解析】

試題分析：(

1

）先由

c_\[5

a5

及

得

a=4^c,b=2c

,直線BF的斜率

,h-0h-

k=----;~~r=—=2

0-(-c)c

;（

II

）先把直線BF,BQ的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點P,Q橫坐標(biāo),可得

之=幽

聞

_\XM~Xl\_±

）先由

7斤

1/^sinDfig^-^-

得

閉=|^QsinEBgP

5^5

丁

，由此求出c=l,故橢圓方程為

試題解析：（

）

8Y,0)

，由已知

￡A/5

a5

及

〃=//+<?,

可得

a=\[5c,b=2c

，又因為

HQ》)

，故直線BF的斜率

ii

）設(shè)點

及為“孫），a

,（

）由（

）可得橢圓方程為

衛(wèi)4L

S?4?

直線BF的方程為

y=2x+2c

，兩方程聯(lián)立消去y得

+5cx=Q

解得

5c

.因為

BQ1BP

，所以直線BQ方程為

1c

y=—x+2c

2

，與橢圓方程聯(lián)立消去y得

2b^-40ax=0

，解得

40?

電21

.又因為

2=幽

聞

，及

均=°

得

/_|%一刃/_xr_7

XQ8

(

ii

)由(

i

)得

四=z

回8

，所以

回_7_7

“+|聞7+815

，即

1國號.

，又因為

|/^sinE?g^=-^-

，所以

\BF\=\PQ^r^BQP

史判sirf?整,當(dāng)

又因為

,所以

,因此

5/55v/5

------c-------

33

所以橢圓方程為

。=1.

54

考點：直線與橢圓.

2015四川

7、過雙曲線

X2上1

3

的右焦點且與x軸垂直的直線交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點，則AB|=

()

(A)

46

3

(B)2

6

(06(D)4

6

【答案】D

■-------------------------------------------------|f------------————n

【解析】

由題意,1=1,#,故1=二，

漸近線方程為j==值.