線性方程組的平方根解法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性方程組的平方根解法淺析線性方程組的平方根解法

在求解線性方程組時(shí),直接解法有順序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯約當(dāng)消元法、消元形式的追趕法、LU分解法、矩陣形式的追趕法，當(dāng)我們遇到對(duì)稱正定線性方程組時(shí)，我們就要用到平方根法(對(duì)稱LLT分解法)來(lái)求解，為了熟悉和熟練運(yùn)用平方根法求解線性方程組，下面對(duì)運(yùn)用平方根法求解線性方程組進(jìn)行解析。

一、運(yùn)用平方根法求解線性方程組涉及到的定理及定義

我們?cè)谶\(yùn)用平方根法求解線性方程組時(shí)，要判定線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A是否是對(duì)稱正定矩陣，那么我們就要了解正定矩陣的性質(zhì)和如下定理及定義：

1、由線性代數(shù)知，正定矩陣具有如下性質(zhì)：

1)正定矩陣A是非奇異的

2)正定矩陣A的任一主子矩陣也必為正定矩陣3)正定矩陣A的主對(duì)角元素均為正數(shù)4)正定矩陣A的特征值均大于零5)正定矩陣A的行列式必為正數(shù)

定義一線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A是對(duì)稱正定矩陣，那么Ax=b是對(duì)稱正定線性方程組。

定義二假使方陣A滿足A=AT，那么A是對(duì)稱陣。2.1.4平方根法和改進(jìn)的平方根法

假使A是n階對(duì)稱矩陣，由定理2還可得如下分解定理：

定理2若A為n階對(duì)稱矩陣，且A的各階順序主子式都不為零，則A可惟一分解為：A＝LDLT，其中L為單位下三角陣，D為對(duì)角陣。

證明由于A的各階順序主子式都不為零，所以A可惟一分解為：A＝LU由于，所以可將U分解為：

u12u1n??1???uu11nn??u11??u2n????1?u22???u22?U???????????????unn??1????DU1

其中D為對(duì)角矩陣，U1為單位上三角陣．于是：A＝LDU1＝L(DU1)

由于A為對(duì)稱矩陣，所以，A＝AT＝U1TDTLT＝U1T(DLT)，由A的LU分解的惟一性即得：L＝U1T，即U1＝LT，故A＝LDLT。

工程技術(shù)中的大量實(shí)際問(wèn)題所歸結(jié)出的線性方程組，其系數(shù)矩陣常有對(duì)稱正定性，對(duì)于具有此類特別性質(zhì)的系數(shù)矩陣，利用矩陣的三角分解法求解是一種較好的有效方法，這就是對(duì)稱正定矩陣方程組的平方根法及改進(jìn)的平方根法，這種方法目前在計(jì)算機(jī)上已被廣泛應(yīng)用。

定理3對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是A的各階順序主子式大于零。2對(duì)稱正定矩陣的三角分解

定理(Cholesky分解)設(shè)A為n階對(duì)稱正定矩陣，則存在惟一的主對(duì)角線元素都

是正數(shù)的下三角陣L，使得：A＝LLT。

分解式A＝LLT稱為正定矩陣的Cholesky分解，利用Cholesky分解來(lái)求解系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定矩陣的方程組AX＝b的方法稱為平方根法。設(shè)A為4階對(duì)稱正定矩陣，則由定理4知，A＝LLT，即：

?a11a12a13a14??l11000??l11l21l31l41????????a21a22a23a24??l21l2200??0l22l32l42????a?a32a33a34l31l32l330??00l33l43?31?????????a????41a42a43a44??l41l42l43l44??000l44?

將右端矩陣相乘，并令兩端矩陣的元素相等，于是不難算得矩陣L的元素的計(jì)算公式為：

平方根法的計(jì)算框圖見(jiàn)圖3.4。

用平方根法求解系數(shù)矩陣對(duì)稱正定的線性方程組時(shí)，計(jì)算過(guò)程是數(shù)值穩(wěn)定的。

為了避免開(kāi)方運(yùn)算，有時(shí)直接使用對(duì)稱矩陣A的LDLT分解來(lái)計(jì)算，在(3.40)中令uij?lji(j?i),根據(jù)矩陣乘法可以求出Ｌ和Ｄ的元素，然后將方程組(3.1)即

LDLTx?b轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形方程組Ly?b，LTx?D?1y，由前一方程解出y，

代入后一方程便可解出x。

二、平方根法求解對(duì)稱正定線性方程組的過(guò)程

用平方根法求解對(duì)稱正定方線性程組Ax=b的步驟如下：例用平方根法求解方程組

?112??x1??5??120??x???8????2?????2023????x3????7??解設(shè)

?112??l110?120???l???21l22??2023????l31l320??l11l21?0l0?22??l33????00l31?l32??l33??右端矩陣相乘并比較等式兩端。由第一列有

21?l11,1?l11l21,2?l11l31

可得l11?1,l21?1,l31?2

22比較其次列有2?l21?l22,0?l31l21?l32l22

12221求得l22?(2?l)?1，l32?(0?l31l21)l22??2

由第三列得11?l?l?l231232233，故l33?(11?l?l)?3

23112232?10L???11??2?20?0??3??由Ly?b解得y1?5,y2?3,y3?3,由LTx?y解得x1??2,x2?5,x3?1。

一般情形，設(shè)

??l11A?LLT??l21????ln1根據(jù)矩陣乘法有

ak2k?122kk??lks??lks?lkk,k?1,2,?,ns?1s?1及aklk?1ik??lisks??lislks?liklkk,i?k

s?1s?1于是有

?l?(ak?1122??kkkk??lks)?s?1???lik?(aik?k??1lislks)lkk,i?k?1,k?2,?,ns?1在上式中取k=1,2,…,n便可求出L的全部元素。

??ll??1122????l????n2?lnn?

l21?ln1?l22?l?n2????l?nn?(3.51)

三、平方根法的算法的流程圖

開(kāi)始輸入A,bk?1lkk?(akk??lk2s)s?1k?112對(duì)i?k?1,k?2,?,n計(jì)算lik?(aik??lislks)lkks?1k?1k?