版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12章選4系列123絕對(duì)值不等式學(xué)案文數(shù)學(xué)教

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112.3絕對(duì)值不等式

[知識(shí)梳理]

1．絕對(duì)值不等式

(1)定理

假使a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．

(2)假使a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立，即b落在a，c之間．

(3)由絕對(duì)值不等式定理還可以推得以下幾個(gè)不等式

①|(zhì)a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.

②||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|.

2．絕對(duì)值不等式的解法

(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．

(2)①絕對(duì)值不等式|x|a與|x|a的解集．

2②|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法．

|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c0)，

|ax＋b|≥c?ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c0)．

[診斷自測(cè)]

1．概念思辨

(1)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集為?.()

(2)若|x|c的解集為R，則c≤0.()

(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等價(jià)于－c≤ax＋b≤c.()

(4)對(duì)|a－b|≤|a|＋|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)等號(hào)成立．()

答案(1)√(2)(3)√(4)√

2．教材衍化

(1)(選修A4－5P19T5)解不等式|2x＋1|＋|x－2|4.

解當(dāng)x≤－12

時(shí)，原不等式可化為－2x－1＋2－x4，所以x－1，此時(shí)x－1；當(dāng)－12

x2時(shí)，原不等式可化為2x＋1＋2－x4，所以x1，此時(shí)1x2；當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式可化為2x＋1＋x－24，所以x53

，此時(shí)x≥2.綜上，原不等式的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

(2)(選修A4－5P20T9)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－4|＋|x－3|.

①解不等式f(x)≥3；

②若f(x)≥a對(duì)一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解①當(dāng)x≤3時(shí)，原不等式可化為4－x＋3－x≥3，即x≤2，所以x≤2；當(dāng)3x4時(shí)，原不等式可化為4－x＋x－3≥3，即1≥3，無(wú)解；

當(dāng)x≥4時(shí)，原不等式可化為x－4＋x－3≥3，即x≥5，所以x≥5.

綜上，原不等式的解集為{x|x≤2或x≥5}．

②f(x)≥a對(duì)一切x∈R恒成立的充要條件是a≤f(x)min.

由于f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，即f(x)的最小值為1，所以a≤1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]．

3．小題熱身

(1)(2023山東高考)不等式|x－1|－|x－5|2的解集是()

A．(－∞，4)

B．(－∞，1)

C．(1,4)

D．(1,5)

答案A

解析①當(dāng)x1時(shí)，原不等式等價(jià)于1－x－(5－x)2，即－42，∴x1.

②當(dāng)1≤x≤5時(shí)，原不等式等價(jià)于x－1－(5－x)2，即x4，∴1≤x4.

③當(dāng)x5時(shí)，原不等式等價(jià)于x－1－(x－5)2，

即42，無(wú)解．

綜合①②③知x4.應(yīng)選A.

(2)(2023重慶高考)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12

a＋2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則

3實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

答案????

??－1，12解析令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|，易求得f(x)min＝52，依題意得a2＋12a＋2≤52

?－1≤a≤12

.

題型1絕對(duì)值不等式的解法

典例(2023全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－

3|.

(1)畫(huà)出y＝f(x)的圖象；

(2)求不等式|f(x)|1的解集．

(1)去絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)；(2)根據(jù)(1)

作出的圖象，采用數(shù)形結(jié)合方法求解．

解(1)f(x)＝?????x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32

，

y＝f(x)的圖象如下圖．

4

(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象，當(dāng)f(x)＝1時(shí)，可得x＝1或x＝3；

當(dāng)f(x)＝－1時(shí)，可得x＝13

或x＝5，故f(x)1的解集為{x|1x3}；f(x)－1的解集為?

?????????x???x13或x5.所以|f(x)|1的解集為??????

????x???x13或1x3或x5.方法技巧

解|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c的一般步驟

1．用“零點(diǎn)分段法〞

(1)令每個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；

(2)將這些根按從小到大排序并以這些根為端點(diǎn)把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；

(3)由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集；

(4)取各個(gè)不等式解集的并集求得原不等式的解集．

2．利用|x－a|＋|x－b|的幾何意義

數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.

3．圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．見(jiàn)典例．提醒：易出現(xiàn)解集不全的錯(cuò)誤．對(duì)于含絕對(duì)值的不等式，不管是分段去絕對(duì)值號(hào)還