理論力學(xué)第五章

理論力學(xué)第五章第1頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5.2虛功原理§5.1約束與廣義坐標(biāo)

第五章分析力學(xué)

§5.3拉格朗日方程§5.4小振動(dòng)§5.5哈密頓正則方程

§5.6泊松括號(hào)和泊松定理

※§5.9哈密頓-雅科比理論§5.7哈密頓原理

§5.8正則變換※§5.10相積分與角變數(shù)※§5.11劉維定理第2頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.約束的概念和分類概念

力學(xué)體系中存在的限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束。§5.1約束與廣義坐標(biāo)

分類

穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束不可解約束可解約束（完整約束）幾何約束運(yùn)動(dòng)約束（微分約束）可積不可積非完整約束第3頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.廣義坐標(biāo)若n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系受k個(gè)幾何約束此時(shí)，獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)為3n-k個(gè)，它的自由度為3n-k=s，其位置可用s個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示:這s個(gè)獨(dú)立參數(shù)就叫廣義坐標(biāo)或第4頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日虛位移

它是所有想象中可能的位移，取決于質(zhì)點(diǎn)在此刻的位置和約束條件。由于沒有時(shí)間變化實(shí)位移和虛位移的區(qū)別:

在任意的t時(shí)刻，虛位移可不止一個(gè)，在穩(wěn)定約束條件下，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)，當(dāng)對(duì)于不穩(wěn)定約束，它們并不一致?！?.2虛功原理實(shí)位移1.實(shí)位移和虛位移第5頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日理想約束：質(zhì)點(diǎn)上的所有約束反力的虛功之和為零引入虛位移可以消去這些約束反力受理想約束的力學(xué)體系的平衡充要條件是所有主動(dòng)力的虛功之和等于零。虛功：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F在任意虛位移上做的功2.理想約束3.虛功原理第6頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日虛功原理的廣義坐標(biāo)表示：第7頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日平衡條件:廣義力第8頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由虛功原理第9頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日yxomgαr解代入第10頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.基本形式的拉格朗日方程達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯-拉格朗日方程§5.3拉格朗日方程從牛頓運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)由于存在約束關(guān)系，不獨(dú)立，要用廣義坐標(biāo)表示第11頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第12頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日可寫為其中第13頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日而得注意得到第14頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日基本形式的拉格朗日方程廣義力廣義動(dòng)量廣義速度第15頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.保守系的拉格朗日方程對(duì)保守力系基本形式的拉格朗日方程成為第16頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日若勢(shì)能V不包含廣義速度，引入拉格朗日函數(shù)方程變?yōu)橐驗(yàn)楸Ｊ亓ο档睦窭嗜辗匠蹋?jiǎn)稱拉氏方程。第17頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的動(dòng)能和勢(shì)能3.循環(huán)積分一般的，若拉氏函數(shù)不顯含某一坐標(biāo)，稱這一坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)。任一循環(huán)坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)一個(gè)循環(huán)積分。第18頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日若拉氏函數(shù)不顯含第19頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4.能量積分即第20頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日若力學(xué)體系是穩(wěn)定的以乘相加，得第21頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由于T是廣義速度的二次齊次函數(shù)，由歐拉齊次函數(shù)定理又因T和V都不顯含t，有這就是能量積分第22頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4.拉氏方程的應(yīng)用1）求動(dòng)力學(xué)方程—轉(zhuǎn)動(dòng)參照系代入即可求出運(yùn)動(dòng)方程第23頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第24頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2）求動(dòng)力學(xué)方程—球坐標(biāo)系第25頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日速度動(dòng)能注意第26頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解題步驟（1）確定自由度（2）選取廣義坐標(biāo)（3）寫出體系的拉氏函數(shù)L（4）代入拉氏方程，求出運(yùn)動(dòng)微分方程（5）解拉氏方程并討論3）在有約束的保守系中的應(yīng)用2個(gè)動(dòng)能和勢(shì)能第27頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日運(yùn)動(dòng)微分方程第28頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解:1.體系的自由度幾個(gè)?2個(gè)2.廣義坐標(biāo)選什么?第29頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.動(dòng)能和勢(shì)能如何表達(dá)?4.如何求解拉氏方程?在平衡位置第30頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日令略去高價(jià)小量，取第31頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5.4小振動(dòng)1.保守系在廣義坐標(biāo)系中的平衡方程已知廣義坐標(biāo)系中的平衡條件是廣義力若力是保守力，則于是第32頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.多自由度力學(xué)體系的小振動(dòng)考慮一個(gè)完整、穩(wěn)定、保守的力學(xué)體系在平衡位置附近的微小振動(dòng)，設(shè)平衡位置的廣義坐標(biāo)為零，可以將勢(shì)能展為泰勒級(jí)數(shù)取對(duì)保守系略去高級(jí)項(xiàng)第33頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在穩(wěn)定約束下，動(dòng)能只是速度的二次函數(shù)其中也展開為泰勒級(jí)數(shù)只取第一項(xiàng)，則為常量慣性系數(shù)恢復(fù)系數(shù)第34頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日代入拉氏方程，得到解的形式為代入上式，得第35頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由上式可求出2s個(gè)本征值從而求出2s組解為第36頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日振動(dòng)解要求為純虛數(shù)，要做到這一點(diǎn)勢(shì)能V>0.令上式中叫簡(jiǎn)正頻率，共有s個(gè)。第37頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.簡(jiǎn)正坐標(biāo)代入拉氏方程得到第38頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解出簡(jiǎn)正坐標(biāo)簡(jiǎn)正頻率第39頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例耦合擺解

選做廣義坐標(biāo)第40頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第41頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在平衡位置附近代入拉氏方程，得到第42頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)解的形式為得到第43頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日本征值通解為若以分別代入可求出第44頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日令只有4個(gè)任意常數(shù)，由初始條件定。如果令則將以振動(dòng)。第45頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例第46頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第47頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第48頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日基本形式的拉氏方程保守系的拉氏方程拉氏方程的應(yīng)用a.確定自由度b.選取廣義坐標(biāo)d.解拉氏方程并討論c.寫出體系的拉氏函數(shù)知識(shí)回顧§5.5哈密頓正則方程

第49頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.勒讓特變換設(shè)則其中也是的函數(shù)若選作獨(dú)立變量函數(shù)可表為第50頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日注意是獨(dú)立變量，可得其中第51頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.正則方程將勒讓特變換用于拉氏函數(shù)若要L中應(yīng)當(dāng)引入一個(gè)新函數(shù)第52頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日代入得又最后得到第53頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.能量積分與循環(huán)積分代入對(duì)穩(wěn)定約束第54頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例題2第55頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第56頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由于總可以先取一個(gè)坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系下，使初始時(shí)。那么以后各時(shí)刻必有：即：所以：第57頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.泊松括號(hào)設(shè)§5.6泊松括號(hào)和泊松定理

代入得到其中泊松括號(hào)第58頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日若則反之，若則是正則方程的一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，因?yàn)橛械?9頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日定義第60頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.泊松定理利用泊松括號(hào)，可以從正則方程的兩個(gè)積分，求另一個(gè)積分若則利用得到于是第61頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日H不是t的顯函數(shù)時(shí)，H=h是正則方程的一個(gè)積分，若由泊松定理但故依此類推，可得第62頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第63頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第64頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5.7哈密頓原理

1.變分運(yùn)算的幾個(gè)法則1）2）第65頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日但是可見一般不能對(duì)易。若則等時(shí)變分不等時(shí)變分第66頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.哈密頓原理

保守的、完整的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一位形轉(zhuǎn)移到另一位形的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)具有穩(wěn)定值。即對(duì)于真實(shí)運(yùn)動(dòng)來(lái)講，主函數(shù)的變分為零。由拉氏方程可得但第67頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日因?yàn)榉Q為作用函數(shù)或主函數(shù)第68頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第69頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第70頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5.8正則變換1.正則變換的目的和條件由正則方程知，H不含某個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)積分。而H中有沒有循環(huán)坐標(biāo)，與所選坐標(biāo)系有關(guān)。

如果通過坐標(biāo)和動(dòng)量的某種變換，使新的H*中出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，而正則方程的形式不變，為正則變換。設(shè)變換后則有第71頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日定理設(shè)顯含時(shí)間t，則正則變換的條件是式中dU為恰當(dāng)微分，而為用新變量表示的新哈密頓函數(shù)。證明設(shè)有變分因(5.8.2)變?yōu)橛钟?5.8.2)得第72頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)(5.8.3)和(5.8.4)分別取微商和變分，得第73頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日因此即得到即所滿足的方程不改變正則方程形式第74頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日又而于是得正則變換有賴于母函數(shù)的選取不顯含時(shí)間t，則正則變換的條件簡(jiǎn)化為若第75頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.幾種不同形式的正則變換1）上式最后一步利用了勒讓德變換。第76頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2）在(5.8.2)中