測量誤差的基本理論

測量誤差的基本理論第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日1、測量誤差的來源測量工作是在一定條件下進行的，外界環(huán)境、觀測者的技術(shù)水平和儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測量誤差的產(chǎn)生。通常把儀器、觀測者和外界環(huán)境三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測量誤差的根本原因。通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日觀測誤差的來源外界條件：主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測量結(jié)果中帶有誤差。儀器條件：儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差。觀測者的自身條件：由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準等方面產(chǎn)生誤差。在觀測結(jié)果中，有時還會出現(xiàn)錯誤，稱之為粗差。粗差在觀測結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認真仔細作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。

第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日測量誤差的分類系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一，是由于儀器設(shè)備制造不完善。例如，用名義長度為30米而實際長度為30.04米的鋼尺進行量距。誤差符號始終不變，具有規(guī)律性；誤差大小與量測距離成正比，具有累積性。尺段數(shù)一二三四五···

N觀測值

306090120150···

30n真實長度30.0460.0890.12120.16150.20···

30.04n真誤差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日測量誤差的分類系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一，是由于儀器設(shè)備制造不完善。又例如，在水準測量時，當(dāng)視準軸與水準管軸不平行而產(chǎn)生夾角（i角）時，對水準尺的讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差，它與水準儀至水準尺之間的距離成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：①檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。②求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。③采用合理的觀測方法：如對向觀測。第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日觀測誤差的分類偶然誤差：在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均不一定，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。例如，在厘米分劃的水準尺上估讀毫米時，有時估讀過大，有時估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。偶然誤差，就其個別值而言，在觀測前我們確實不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號。但若在一定的觀測條件下，對某量進行多次觀測，誤差會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。而且，隨著觀測次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日真誤差=觀測值-真值觀測誤差的分類偶然誤差偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律

例：在相同的條件下獨立觀測了217個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和的觀測量（觀測值Li）應(yīng)等于180°（真值X），但由于誤差的影響往往不等于180°，計算各內(nèi)角和的真誤差△i，并按誤差每3〃為一區(qū)間進行統(tǒng)計。第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日觀測誤差的分類偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律

誤差區(qū)間正誤差負誤差正負誤差的合計個數(shù)v頻率v/n個數(shù)v頻率v/n個數(shù)v頻率v/n0~3300.138290.134590.2723~6210.097200.092410.1896~9150.069180.083330.1529~12140.065160.073300.13812~15120.055100.046220.10115~1880.03780.037160.07418~2150.02360.028110.05121~2420.00920.00940.01824~2710.0050010.00527以上000000合計1080.4981090.5022171.000第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日觀測誤差的分類偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律

概率密度函數(shù)曲線（正態(tài)分布曲線）第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日觀測誤差的分類偶然誤差具有如下四個特征：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；即：界限性絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多(或概率大)；即：密集性絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相等；即：對稱性在相同條件下同一量的等精度觀測，隨著觀測次數(shù)的無限增多，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即：偶然誤差的抵償性

。

第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日2、衡量精度的標準測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，常使用“精度”來判斷觀測成果質(zhì)量好壞的。所謂精度，就是指偶然誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。一組觀測值對應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測值精度相同。不同組觀測值，分布不同，精度也就不同。第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。方差和中誤差相對誤差極限誤差第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差：設(shè)在相同的觀測條件下，對某量進行n次重復(fù)觀測，其觀測值為l1，l2，…，ln，相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測值的中誤差m為：式中

[??]——真誤差的平方和，中誤差：真誤差平方的平均值的平方根真誤差=觀測值-真值第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差：

″

°′″Δi2真誤差Δi觀測值Li中誤差

Σ

180000210

17959589

18000038

17959567

18000006

18000035

17959574

18000023

17959582

17959591序號″

°′″Δi2真誤差Δi觀測值Li中誤差

Σ

180000410

17959549

18000078

18000087

17959516

17959535

18000004

18000033

17959542

18000081序號第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差：

″

°′″Δi2真誤差Δi觀測值Li中誤差60Σ4+21800002104-2179595899+31800003816-41795956700180000069+3180000359-3179595744+2180000234-2179595821-117959591序號″

°′″Δi2真誤差Δi觀測值Li中誤差404Σ16+418000041036-61795954949+71800007864+81800008781-91795951649-71795953500180000049+31800003336-61795954264+818000081序號-2+2比較m甲和m乙可知，甲組的觀測精度比乙組高。第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差：

注意：一組觀測值的真誤差有大有小，可正可負，是偶然誤差造成的，但它們既是在相同觀測條件下所獲得的，精度就可以認為是相等的，即它們中每一個的中誤差都相同，等于算得的m值。所以中誤差m一經(jīng)算出，即代表該組中每個觀測值的精度。第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差：

″

°′″Δi2真誤差Δi觀測值Li中誤差60Σ4+21800002104-2179595899+31800003816-41795956700180000069+3180000359-3179595744+2180000234-2179595821-117959591序號″

°′″Δi2真誤差Δi觀測值Li中誤差404Σ16+418000041036-61795954949+71800007864+81800008781-91795951649-71795953500180000049+31800003336-61795954264+818000081序號-2+2第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。相對誤差：相對中誤差是中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測結(jié)果之比，并化為分子為1的分數(shù)，即例:丈量兩段距離，D1=100m，m1=±2cm和D2=1000m，m2=±2cm，試計算兩段距離的相對中誤差。第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。極限誤差：在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。極限誤差：在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差。測量中通常取兩倍（要求較嚴）或三倍（要求較寬）中誤差作為偶然誤差的容許極限，稱為“允許誤差”。

如果某個觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認為該觀測值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測。第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日3、誤差傳播定律對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計算出觀測值的中誤差，作為評定觀測值精度的標準。但在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計算出來，這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準測量中，兩點間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)；在三角高程測量的計算公式中，如果覘標高v等于儀器高i，則h=Dtanα，這時，高差h就是觀測值l和α的函數(shù)，等等。下面要討論的就是在觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)的真誤差為，則使產(chǎn)生的真誤差為,將式取全微分誤差傳播定律誤差傳播定律公式推導(dǎo)因為誤差△xi及△z都很小:第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律可寫成：第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟2、寫出真誤差關(guān)系式，對函數(shù)進行全微分：3、寫出中誤差的關(guān)系式：1、列出獨立觀測值的函數(shù)式：第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律幾種簡單函數(shù)的中誤差計算式線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)：設(shè)有函數(shù)Z=Kx

式中x為直接觀測值，其中誤差為mx；Ｋ為常數(shù)；Z為觀測值x的函數(shù)。若對x作n次同精度觀測則有：

mＺ＝Ｋmx

上式表明：對于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀測值中誤差的K倍。和、差函數(shù)：設(shè)有函數(shù)Z=x±y式中，x、y為兩個相互獨立的觀測值，均作了n次觀測，其中誤差分別為mx和my。用同樣的方法可推導(dǎo)出:

第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律幾種簡單函數(shù)的中誤差計算式線性函數(shù)一般線性函數(shù)：設(shè)有函數(shù)Z=K1x1±K2x2±…±Knxn

式中，K1、K1…Kn為常數(shù)；x1、x2…xn為獨立觀測值，其相應(yīng)的中誤差分別為m1、m2…mn。根據(jù)倍數(shù)函數(shù)與和差函數(shù)的中誤差公式，可列出求一般線性函數(shù)中誤差的公式為：第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律上式是誤差傳播定律的一般形式，其他形式的函數(shù)都是它的特例，所以該式具有普遍意義。幾種簡單函數(shù)的中誤差計算式非線性函數(shù)設(shè)有非線性函數(shù)Z=f(x1，x2…xn）式中，x1，x2…xn為獨立觀測值，其相應(yīng)的中誤差分別為m1、m2…mn。則有：第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日誤差傳播定律函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)一般線性函數(shù)非線性函數(shù)誤差傳播定律的幾個主要公式：第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日【倍數(shù)函數(shù)示例】

在比例尺為1：500的地形圖上量得某兩點間的距離d=23.4mm，圖上量距的中誤差md=±0.2mm，問：實地兩點間的距離D及其中誤差mD是多少？解：D＝500×23.4mm=11700mm＝11.7mmD＝500×(±0.2mm)＝±0.1m

則這段距離及其中誤差可以寫成

D＝11.7m±0.1m誤差傳播定律第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日【和差函數(shù)示例】

分段丈量一直線上兩端距離AB、BC，丈量結(jié)果及中誤差為AB=150.15m±0.12m

，BC＝210.24m±0.16m。問：全長AC的距離及其中誤差mAC是多少？解：AC＝AB＋BC=150.15m＋210.24m

＝360.39m

誤差傳播定律第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日【線性函數(shù)示例】

自A點經(jīng)B點至C點進行支水準往返測量高差，設(shè)各段高差及其中誤差分別為：往測：hAB＝＋2.426m±4mmhBC＝－1.574m±6mm

返測：hCB＝＋1.562m±6mmhBA＝－2.440m±4mm求A點至C點間的高差hAC及其中誤差mAC。ABC誤差傳播定律第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日【線性函數(shù)示例】解：ABC誤差傳播定律第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日4、等精度直接平差平差原則（最小二乘法原理）例如：測得某三角形的三個內(nèi)角的觀測值如下閉合差：為消除閉合差，須對三個角度進行改正，即第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差平差原則（最小二乘法原理）滿足條件的改正數(shù)可以有無限多組，見下表：根據(jù)最小二乘法原理，應(yīng)使改正數(shù)第1組第2組第3組第4組第5組···

VαVβVγ+6″+6″+6″+4″+20″-6″-4″+6″+16″+3″-1″+16″+6″+5″+7″·········［vv］108452308266110···第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差算術(shù)平均值在相同的觀測條件下，對某量進行多次重復(fù)觀測，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術(shù)平均值作為最終觀測結(jié)果。設(shè)對某量進行了n次等精度觀測，觀測值分別為，l1,l2,…,ln，其算術(shù)平均值為：第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差算術(shù)平均值推導(dǎo)設(shè)觀測量的真值為X，觀測值為li，則觀測值的真誤差為：將上式內(nèi)各式兩邊相加，并除以n，得根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增大時，則有算術(shù)平均值較觀測值更接近于真值，故算術(shù)平均值亦稱為最值或然值或最可靠值。第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差觀測值的改正數(shù)觀測量的算術(shù)平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，用v表示。即：將上式內(nèi)各式兩邊相加，得根據(jù)觀測值改正值具有總和為零的特性，可以推導(dǎo)出用改正數(shù)計算觀測值中誤差的實用公式。對于等精度觀測，觀測值改正數(shù)的總和為零。第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差由觀測值的改正數(shù)計算觀測值中誤差由于上列左右兩式分別相加:等號兩邊分別相加考慮到[v]=0第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差由觀測值的改正數(shù)計算觀測值中誤差由于上列左右兩式分別相加:移項第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差由觀測值的改正數(shù)計算觀測值中誤差公式兩邊分別平方并求和：=0第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差由觀測值的改正數(shù)計算觀測值中誤差第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差由觀測值的改正數(shù)計算觀測值中誤差=0將其代入中誤差計算公式，可得：第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差

【中誤差公式】（1）真值已知：（2）真值未知：第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差很明顯，算術(shù)平均值是一個“線性函數(shù)”：【算術(shù)平均值的中誤差】則該算術(shù)平均值的中誤差為：第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差按改正數(shù)計算觀測值的中誤差：按改正數(shù)計算算術(shù)平均值的中誤差：第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差序號觀測值livv2計算m及mL°′″″1521829+112521832-243521825+5254521830005521833-396521831-11Σ例題：對于某一水平角，在同樣條件下用DJ6光學(xué)經(jīng)緯儀進行六次觀測，求觀測值及算術(shù)平均值的中誤差。L=52°18′30″

[v]=0[vv]=40第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差序號觀測值livv2計算m及mL°′″″1521829+112521832-243521825+5254521830005521833-396521831-11Σ例題：對于某一水平角，在同樣條件下用DJ6光學(xué)經(jīng)緯儀進行六次觀測，求觀測值及算術(shù)平均值的中誤差。L=52°18′30″

[v]=0[vv]=40第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差序號觀測值livv2計算m及mL°′″″1521829+112521832-243521825+5254521830005521833-396521831-11Σ例題：對于某一水平角，在同樣條件下用DJ6光學(xué)經(jīng)緯儀進行六次觀測，求觀測值及算術(shù)平均值的中誤差。L=52°18′30″

[v]=0[vv]=40第50頁，共54頁，2023年，2月20日，星期日等精度直接平差