電磁場序矢量分析與場論

電磁場序矢量分析與場論第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一場論復(fù)習(xí)第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一0.1標(biāo)量場和矢量場

場是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量值或矢量.例1在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場如溫度場,電位場,高度場等;矢量場如流速場,電場,渦流場等.第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一形象描繪場分布的工具--場線矢量場--矢量線標(biāo)量場--等值線(面).其方程為其方程為三維場在直角坐標(biāo)下:二維場圖0.1.2矢量線圖0.1.1等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一例2

求矢量場通過點(diǎn)M(2,-1,1)的矢量線方程.解:矢量線應(yīng)該滿足的微分方程為由上面第一個(gè)方程得。另一方面將坐標(biāo)M(2,-1,1)

代入，得最終方程為第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一矢量線的推廣:矢量面:對(duì)于場中任意一條曲線C(非矢量線),在其上的每一點(diǎn)處,必然有一條矢量線通過,這些矢量線的全體就構(gòu)成一張通過曲線C的曲面,稱為矢量面.矢量管:如果C是一條封閉曲線時(shí),通過C的矢量面就構(gòu)成一管形曲面,稱為矢量管.圖0.1.3矢量面與矢量管例2求矢量場通過曲線的矢量管方程.(自己認(rèn)真思考和推導(dǎo)!)第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一0.2標(biāo)量場的梯度一.梯度設(shè)當(dāng),即與方向一致時(shí),為最大.

設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(x,y,z),若函數(shù)

在點(diǎn)P可微,則在點(diǎn)P沿任意方向

l的方向?qū)?shù)為:

梯度(gradient)哈密頓算子式中則有:

式中，，，分別是與x,y,z軸的夾角第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一例1三維高度場的梯度例2電位場的梯度高度場的梯度

與過該點(diǎn)的等高線垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；

指向地勢升高的方向。電位場的梯度

與過該點(diǎn)的等位線垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；二.梯度的物理意義

標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);

梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.

梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);圖0.2.1三維高度場的梯度圖0.2.2電位場的梯度第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一0.3矢量場的通量與散度一、通量

矢量E沿有向曲面S的面積分>0(有正源)

<0(有負(fù)源)=0(無源)圖0.3.1矢量場的通量圖0.3.2矢量場的通量

若S為閉合曲面，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一二、散度

如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方式縮小為點(diǎn)P時(shí),通量與體積之比的極限存在，即散度(divergence)計(jì)算公式三、散度的物理意義

散度代表矢量場的通量源的分布特性?

A=0(無源）?

A=0(負(fù)源)?

A=0(正源)

在矢量場中，若?A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0，稱之為無源場。

矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一四、高斯公式(散度定理)高斯公式

該公式表明了區(qū)域V中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。

矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。圖0.3.3散度定理

由于是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì)體積分后，為穿出閉合面S的通量第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一0.4矢量場的環(huán)量與旋度一、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源

矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環(huán)量例：流速場圖0.4.2流速場圖0.4.1環(huán)量的計(jì)算第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一二、旋度1.環(huán)量密度

過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊界曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。2.旋度

旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。旋度(curl)它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一三、旋度的物理意義

矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。

在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J

稱為旋度源(或渦旋源)；

點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理

A是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為Stocke’s定理在電磁場理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。

該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系

若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。圖0.4.3斯托克斯定理第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一0.5亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場的性質(zhì)=0=0=000=0第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期一0.6三種特殊形式的場

1.平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為Z軸)的一族平行平面上，場

F的分布都相同，即F=f(x,y)，則稱這個(gè)場為平行平面場。

2.軸對(duì)稱場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為Z軸)的一族子午面上，場

F的分布都相同，即F=f(r,)，則稱這個(gè)場為軸對(duì)稱場。