線性代數(shù)第五章習題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性代數(shù)第五章習題

第五章相像矩陣及二次型

一、判斷題

1.線性無關的向量組必是正交向量組.()

2.正交矩陣的列向量組和行向量組都是單位正交向量組.()3.正交矩陣一定是可逆矩陣.()

4.若n階矩陣A與B相像,則A與B不一定等價.()

5.若n階矩陣A有n不同的特征值，則A相像于對角矩陣.()6.實對稱矩陣一定可以相像對角化.()7.相像矩陣的行列式必一致.()

8.若n階矩陣A和B相像，則它們一定有一致的特征值.()

9．n階實對稱矩陣A的屬于兩個不同特征值的兩個特征向量一定正交.()10.若A是正定矩陣，則A的特征值全為正.()二、單項選擇題

?001???1.設A??010?,則A的特征值是().

?100???(A)-1,1,1(B)0,1,1(C)-1,1,2(D)1,1,2

2.若x1,x2分別是方陣A的兩個不同的特征值對應的特征向量,則k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分條件是().

(A)k1?0且k2?0(B)k1?0且k2?0(C)k1k2?0(D)k1?0且k2?03.若n階方陣A,B的特征值一致,則().

(A)A?B(B)|A|?|B|(C)A與B相像(D)A與B合同4.設A為n階可逆矩陣,?是A的特征值,則A*的特征根之一是().(A)??1|A|n(B)??1|A|(C)?|A|(D)?|A|n5.矩陣A的屬于不同特征值的特征向量（）.

(A)線性相關(B)線性無關(C)兩兩相交(D)其和仍是特征向量6.|A|?|B|是n階矩陣A與B相像的().

(A)充要條件(B)充分而非必要條件

(C)必要而非充分條件(D)既不充分也不必要條件7.若n階方陣A與某對角陣相像,則().

(A)r(A)?n(B)A有n個不同的特征值(C)A有n個線性無關的特征向量(D)A必為對稱陣8.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是（）.

(A)A?0(B)存在矩陣C，使A?CTC(C)負慣性指數(shù)為零(D)各階順序主子式為正9．設A為n階方陣，則以下結(jié)論正確的是（）.(A)A必與一對角陣合同

(B)若A的所有順序主子式為正，則A正定(C)若A與正定陣B合同，則A正定

(D)若A與一對角陣相像，則A必與一對角陣合同10．設A為正定矩陣，則以下結(jié)論不正確的是（）.(A)A可逆(B)A?1正定

(C)A的所有元素為正(D)任給X?(x1,x2,?,xn)T?0,均有XTAX?0二、填空題

1.n階零矩陣的全部特征值為_______.2.若A2?A，則A的全部特征值為_______.

3.設三階矩陣A的特征值分別為-1,0,2,則行列式A2?A?I?.4.特征值全為1的正交陣必是陣.

?2231??12?5.若A??相像與????B，則x?，y=.

yx34????26.二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩為.

227.若f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，則t的取值范圍是.

?110???8.設A??1a0?是正定矩陣，則a滿足條件.

?00a2???9．二次型f(x1,x2)?x1x2的負慣性指數(shù)是__________.

?13??x1?10．二次型(x1,x2)???x?的矩陣為.

?12??2?三、計算與證明題

1?試用施密特法把以下向量組正交化?

?111?(1)(a1,a2,a3)??124??

?139????11?1??0?11?(2)(a1,a2,a3)???

?101??110???2?以下矩陣是不是正交陣:

?1?11??23??1?1(1)??1?;

2??211?1???32?

?1?8?4??999??814?(2)?????

99??9447????999??3?設x為n維列向量?xTx?1?令H?E?2xxT?證明H是對稱的正交陣?

4?設A與B都是n階正交陣?證明AB也是正交陣?5?求以下矩陣的特征值和特征向量:

?2?12?(1)?5?33?;

??10?2????123?(2)?213?;

?336????0?0(3)?0?1?001001001?0?.0?0??6?設A為n階矩陣?證明AT與A的特征值一致?

7?設n階矩陣A、B滿足R(A)?R(B)?n?證明A與B有公共的特征值?有公共的特征向量?

8?設A2?3A?2E?O?證明A的特征值只能取1或2?9?設A為正交陣?且|A|??1?證明???1是A的特征值?10?設??0是m階矩陣Am?nBn?m的特征值?證明?也是n階矩陣BA的特征值?

11?已知3階矩陣A的特征值為1?2?3?求|A3?5A2?7A|?12?已知3階矩陣A的特征值為1?2??3?求|A*?3A?2E|?13?設A、B都是n階矩陣?且A可逆?證明AB與BA相似?

?201?14?設矩陣A??31x?可相像對角化?求x?

?405????2?12?15?已知p?(1?1??1)是矩陣A??5a3?的一個特征向量?

??1b?2???T

(1)求參數(shù)a?b及特征向量p所對應的特征值?(2)問A能不能相像對角化？并說明理由?

16?試求一個正交的相像變換矩陣,將以下對稱陣化為對角陣:

?2?20?(1)??21?2?;

?0?20????22?2?(2)?25?4??

??2?45????5??1?2?4??17?設矩陣A???2x?2?與???4?相像?求x?y?并求一

??4?21???y????個正交陣P?使P?1AP???

18?設3階方陣A的特征值為?1?2??2??2??3?1?對應的特征向量依次為p1?(0?1?1)T?p2?(1?1?1)T?p3?(1?1?0)T?求A.

19?設3階對稱陣A的特征值為?1?1??2??1??3?0?對應?1、?2的特征向量依次為p1?(1?2?2)T?p2?(2?1??2)T?求A?

20?設3階對稱矩陣A的特征值?1?6??2?3??3?3?與特征值?1?6對應的特征向量為p1?(1?1?1)T?求A.21?設a?(a1?a2?????an)T?a1?0?A?aaT?(1)證明??0是A的n?1重特征值?

(2)求A的非零特征值及n個線性無關的特征向量?

?142?22?設A??0?34??求A100?

?043???23?在某國?每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)?有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村?假設該國總?cè)丝跀?shù)不變?且上述人口遷移的規(guī)律也不變?把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn?yn?