線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)一．問答題

1．表達(dá)n階行列式的余子式和代數(shù)余子式的定義，并寫出二者之間的關(guān)系。

答：定義：在n階行列式D中劃去a所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原來

ij相對(duì)位置所組成的（n－1）階行列式，稱為aij的余子式，記為Mij，即Mij＝

a11???a1,j?1?a1,j?1???a1n?ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,1?ai?1,j?1?an1???an,j?1ai?1,j?1?ai?1,nai?1,j?1?ai?1,n???an,j?1ij?annij(?1)i?j?Mij稱為a的代數(shù)余子式，記為A，而兩者的關(guān)系為：Aij＝(?1)i?j?Mij

2．表達(dá)矩陣的秩的定義。

答：定義：設(shè)在m?n矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式D，且所有r+1階子式（假使有的話）全等于零，則D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩。記作（秩）R（A）＝r。

3．齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是什么？

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn答：定義：設(shè)T是??????????????的所有解的集合，若T中存在一組非零解

??an1x1?an2x2???annxn?0?1,?2,?,?s,滿足

（1）?1,?2,?,?s,線性無關(guān)；

（2）任意??T，都可用?1,?2,?,?s,線性表出則稱?1,?2,?,?s,是此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系

4．試寫出條件概率的定義。

P(AB)答：條件概率的定義：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率定義為P(A|B)?P(B)

(P(B)?0).

5．試寫出全概率公式和貝葉斯公式這兩個(gè)定理。

答：定理1（全概率公式）設(shè)事件則對(duì)任意事件B，有

A1,A2,?,An構(gòu)成完備事件組，且

P(Ai)?0(i?1,2,?,n)，

P(B)??PA(B(Ai|iP)i?1n)。

特別地，當(dāng)n=2時(shí)，全概率公式為P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A).定理2（貝葉斯公式）設(shè)事件A1,A2,?,An構(gòu)成完備事件組，P(Ai)?0(i?1,2,?,n)，則對(duì)任意事件B(P(B)?0)，有

P(Ak|B)?

二．填空題

1．行列式D??11P(Ak)P(B|Ak)?P(A)P(B|A)iii?1n(k?1,2,?,n)

1111?4．

?1?112．設(shè)A,B均為3階矩陣，且|A|?|B|??3，則?2ABT?-72。

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?02112222nn3．假使齊次線性方程組?的系數(shù)行列式|D|?0，那么它有???????????????an1x1?an2x2???annxn?0唯一零解．

4．用消元法解線性方程組AX?b，其增廣矩陣A經(jīng)初等行變換后,化為階梯陣

?1?53?02?3A???00s??0001?4??，t??0?則(1)當(dāng)S=0,t≠0時(shí),

(2)當(dāng)s=0,t=0時(shí),

AX?b無解;

AX?b有無窮多解;

AX?b有唯一解。

(3)當(dāng)s≠0,t是任意實(shí)數(shù)時(shí),

mn?mCMCN?M件中檢有m(m?M)件次品的概率為P＝。nCN5．設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，若從N件產(chǎn)品中任意抽取n件，則抽到的n

6．隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有

（1）E(aX?b)＝aE(X)+b（a，b為常數(shù)）；

（2）設(shè)有兩個(gè)任意的隨機(jī)變量X，Y，它們的期望E(X),E(Y)存在，則有E(X?Y)＝E(X)+E(Y)。

（3）設(shè)X,X是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，且各自的期望均存在，則有

12E(X1X2)?E(X1)E(X2)。

7．設(shè)(X1,X2,?Xn)為總體X的一個(gè)容量為n的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量

1nX?X?i為樣本均值；（1）ni?11n2(X?X)為樣本方差。

（2）S＝n?ii?128．由概率的加法公式知，

（1）對(duì)任意兩個(gè)事件A，B，有

P(A?B)＝P(A)+P(B)-P(AB)；

（2）假使事件A，B互不相容，則

三．計(jì)算題

2P(A?B)＝P(A)+P(B)；

1221111?1?21．計(jì)算行列式

41202302?9998．

210?2210?2?00?1?32023020395120?5解：原行列式可化為：20231?200?1?3102?9998120?5

102395202395202302??(?2)2023023952＝＝2?51?512

12?5＝－2600＋1400－600＝-1800?2．設(shè)?1201??11?A??2?1?14???，?B??2?1??，求(I?A)B。?0?20?1??01??1431????1?2????1000??1201??100?解：(I?A)??0?010??2?1?14??0?2?－??0?20?1??＝??22?0?0001????1431????02??1?4

??0?20?1??11???54??221?4??1???25?(I?A)B??????2?0211??01????＝???1?4?30????1?2???5?3???90?

?0?1?1?4?11???30??

?1?3．求矩陣?2?532A??5?8543???1?7420??的秩。?4?1123????2?5321???7420??解：A??5?8543??5321??10??7420??1?→?2?1?4?1123??→??0?4?1123????5?8543????0??1?7420?→?09?5?20???00000???00000??所以，矩陣的秩為2（化為三角陣的方法P44）.

?749?527?1527?1520??21??63???63????x1?2x2?x3?4x4?0?2x?3x?4x?5x?0?1234?4．解齊次線性方程組x?4x?13x?14x?0。?1234??x1?x2?7x3?5x4?0解：對(duì)系數(shù)矩陣施以初等變換：

??214??1?214???1???1?A＝?23?4?5??1?23??20?1???→?0?1?4?1314??0?6?1218??→??00?1?1?75????0?3?69????00??105?20?52???1?→?0?1?23??012?3???0000??→??0000???0000????0000??與原方程組同解的方程組為：

??x1?5x3?2x4?0?x2?x3?3x4?014??23?00??00??

所以：方程組的一般解為

??x1?5x3?2x4?x2??2x3?3x4（其中，x3,x4為自由未知量）

取何值時(shí)，齊次線性方程組??3x1?x2??x3?05．試問??2x2?x3?0有非零解？

??x1?x2?2x3?0解：系數(shù)行列式為：

31?1?1?21?1?202?1?04??6?02?11?1?202?100??8

所以，當(dāng)???8時(shí)，該齊次線性方程組有非零解．

6．設(shè)有甲、乙兩名射手，他們每次射擊命中目標(biāo)的概率分別是0.8和0.7?，F(xiàn)兩人同

時(shí)向同一目標(biāo)射擊一次，試求：（1）目標(biāo)被命中的概率；

（2）若已知目標(biāo)被命中，則它是甲命中的概率是多少？

解：

設(shè)A={甲命中目標(biāo)}，B={乙命中目標(biāo)}，C={目標(biāo)被命中}。則C=A+B，在這個(gè)問題中，A與B相互獨(dú)立，而P(A)?0.8,P(B)?0.7，那么（1）目標(biāo)被命中的概率為

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.8?0.7?0.94

（2）在已知目標(biāo)被命中條件下，則它是甲命中的概率為

P(AC)P(A)0.840P(A|C)????P(C)P(C)0.9447.

7．一袋中有m個(gè)白球，n個(gè)黑球，無放回地抽取兩次，每次取一球，求：

（1）在第一次取到白球的條件下，其次次取到白球的條件概率；

（2）在第一次取到黑球的條件下，其次次取到白球的條件概率。

解：（1）袋中原有m+n個(gè)球，其中m個(gè)白球。第一次取到白球后，袋中還有m+n-1球，其中m-1個(gè)為白球。故

m?1P(B|A?)m?n?1；

（2）袋中原有m+n個(gè)球，其中m個(gè)白球，第一次取到黑球后，袋中還有m+n-1個(gè)球，

其中m個(gè)為白球。故

m?)P(B|Am?n?1.

8．某工廠生產(chǎn)一批商品，其中一等品點(diǎn)1，每件一等品獲利3元；二等品占1，每件

23二等品獲利1元；次品占1，每件次品虧損2元。求任取1件商品獲利X的數(shù)學(xué)期望E(X)與

6方差D(X)。

111EX?3??1??(?2)??1.5解：236D(X)?E[X?E(X)]2??(Xk?E(X))2Pk

k()??(?)??(?)??13

2223264

9．設(shè)某儀器總長度X為兩個(gè)部件長度之和，即X=X1+X2，且已知它們的分布列分別為

X12412X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6求：（1）E(X?X)；（2）E(XX)；（3）D(X?X)。

解：由于EX1=2×0.3+4×0.5+12×0.2=5EX2=6×0.4+7×0.6=6.6

121212所以（1）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=5+6.6=11.6

（2）E(X1X2)=E(X1)E(X2)=5?6.6=33

22D(X)?E[X?E(X)]?(X?E(X))P?111k1k