注冊巖土基礎(chǔ)概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第八講

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一、內(nèi)容提要：本講主要是講解隨機(jī)事件與概率，古典概率，一維隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，方差分析，回歸分析。二、本講的重點(diǎn)是：隨機(jī)事件的關(guān)系，二項(xiàng)概率公式，條件概率，分布函數(shù)的性質(zhì)，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)、分布函數(shù)，正態(tài)分布，常用隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征。本講的難點(diǎn)是：數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，方差分析，回歸分析。三、內(nèi)容講解：1、

隨機(jī)事件與概率：（1)隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算：包含：若事件A發(fā)生，一定導(dǎo)致事件B發(fā)生，那么稱事件B包含事件A，記作AB;相等：若兩事件A與B相互相互包含，即AB且BA，那么稱事件A與B相等，記作A=B和事件：稱“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”的事件為A與B的和事件，記為A∪B積事件：稱“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”的事件為A與B的積事件，記為A∩B簡記為AB互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互不相容，記作AB=差事件：稱“事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生”的事件為A與B的差，記作A-B對立事件：若事件A與B滿足A∪B=

(

為必然事件)，同時(shí)AB=，稱A與B是對立的，記B=交換律：對任意兩事件A和B有A∪B=B∪A，AB=BA，結(jié)合律：對任意事件A、B、C有A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A∩（B∩C）=（A∩B）∩C分配律：對任意事件A、B、C有A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），快A展∩炭（謙B繁∪士C丟）前=揉（臣A更∩卸B搖）冷∪領(lǐng)（墊A質(zhì)∩徹C隊(duì)）炭(2巧)請概率的公理化阿定義：著設(shè)試驗(yàn)的樣本姓空間為孫節(jié)，隨機(jī)事帶件咱A踢為烈說的子集滴，自P臺（櫻A乘）為實(shí)值函數(shù)槽，若滿足下列境三條公理：段公殘理棋1警、對補(bǔ)于簡蝕任一隨機(jī)事猴件傻A(chǔ)剝，寫有總0填≤耗P更（事A亡）愚≤輔1農(nóng)，啊公犯理腐2計(jì)、烘P遭（除陶）捏=決1桐，診P抱（蓋?。┌l(fā)=0尊公獵理疊3國、對訊于裂疾一系列互不相察容的事律件冶A定1解，焰A天2字，邀…交A鐮n為…隱有第P墾（篇A榆1徐+A瘦2館+沉…相）江=節(jié)P旦（船A勻1復(fù)）個(gè)+屆P嬸（腫A絹2光）六+悲…紗則稱函執(zhí)數(shù)遭P脆（用A骨）為隨機(jī)事件泉的概率市。蒸噸概率的性質(zhì)：曾（投i盼）循挖P荷（京息）肢=1-松P吳（競A束）崗（唉i低i唐）決(ii株)累當(dāng)它A駱B鍵時(shí)，營有牲P霉（滿B-省A偶）村=踩P谷（魯B熊）酒-亭P推（殖A朗）蔥（彎ii零i拴）詠當(dāng)拘A段1適，訊A惹2刻，聚…肅A嗎n咬互不相容時(shí)，男有狠P制（體A珠1傻+A塞2懇+鉤…碗）養(yǎng)=瀉P療（片A層1鏡）膨+耽P黑（銀A掛2匹）廳+昂…墻P咸（惹A籠n后）講（防i恥v襪）采P艷（踢A椅∪彎B蹦）澇=煎P遙（等A便）替+族P望（桿B粱）穿-瀉P協(xié)（格A阿B腰）伙(2另)棉條件概率與相屋互獨(dú)立性：襲條件概率：如料果側(cè)A業(yè)、怖B彈是隨機(jī)試驗(yàn)的膨兩個(gè)事件，漿且觸P掘（臥B當(dāng)）玩>逝0吐，則稱事幼件警B孝發(fā)生的條件下遮事口件疲A盆的概率為事走件驕B叫發(fā)生條件下事膀件刮A陶發(fā)生的條件概晃率，記恩作診P序（高A|沖B掀）條件概率可釀以通過下列公惡式計(jì)算：野（蘭束P娛（低B籍）地>遷0倍）刷汗乘法定理：兩乞事件的積事件哀的概率等于其積中一事件的概梯率與另一事件毅在前一事件出圈現(xiàn)下的條件概特率的乘積：蜜P選（榆A訊B握）砌=鏟P愁（阿A課）徒P牲（嘉B|致A染）復(fù)（量怕P并（撞A新）釀>騾0缸）拿P夏（愚A摧B圖）炮=榮P駁（及B鄭）董P淘（特A|街B辜）湊（端兇P攔（義B示）歲>銳0捕）雪全概率公式：薪設(shè)事自件距A恢1袋，幫A杯2由，窩…緊A亡n第兩兩相斥，且筐事仆件見B積為事養(yǎng)件抓A桶1飲+A旅2繁+伐…肢+A影n紛的子事件渣，異A鋸1爪+A取2幣+爛…袖+A絨n懷=啊顯，掀且棗P泳（迷A辨i閉）悠>扮0束，則對任一事灶件雕B茶有催P翅（我B幣）翠=蹤P碎（韻A騾1子）瓣P(guān)理（誠B|A顧1劑）獻(xiàn)+蛙P紅（減A尤2篩）攜P度（崗B|A鞭2橫）殃+粉…頁+稠P蹦（無A范n位）穩(wěn)P荒（森B|A趕n桂）這個(gè)公式稱傭?yàn)槿怕使降?，命貝葉斯公式編事件的相互獨(dú)逝立性捷：榮久若稼P何（歇A誤B區(qū)）鈴=架P派（莖A猶）耗P妹（未B拌），則匆稱耗A由、僻B羨相互獨(dú)立。雨當(dāng)鉗P家（鴨A味）乒、轉(zhuǎn)P呼（潛B膊）都不為零時(shí)籍，從事鞋件山A狹、辜B堅(jiān)相互獨(dú)立能推蜜得鏡（區(qū)B|涂A疏）苗=訂P蜻（搜B往）爛或喉P捕（隔A|榮B境）第=配P吼（雅A她）如桑定理：若四對拾事由件笛A蔑、屬B澤；趣A蘿、也燥；甚低、創(chuàng)B元；版故、戒置中有一對相互叛獨(dú)立，則另外暮三對也是相互提獨(dú)立的真。清咱（造4押）宿治重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)享、二項(xiàng)概率公扇式：市重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)覺：做幾個(gè)試驗(yàn)為，它們是完全敵同樣一個(gè)試驗(yàn)?zāi)傅闹貜?fù)，且它搶們是相互獨(dú)立氣的，即相應(yīng)于企每一次試驗(yàn)的導(dǎo)隨機(jī)事件的概男率都不依賴于晃其它各次試驗(yàn)桌的結(jié)果，稱這盛類試驗(yàn)是重復(fù)刺獨(dú)立試驗(yàn)。綢二項(xiàng)概率公式頁：設(shè)每個(gè)試驗(yàn)柄中事輕件再A聽出現(xiàn)的概率儀為死p害，初則從n寶次重復(fù)獨(dú)立試研驗(yàn)中事哨件述A夏恰好出蠶現(xiàn)叼k丙次的概率惹(k=0,1竿,2插,周…搏,n絕)尊此公式稱為二突項(xiàng)概率公式。管例馬1川、激份隔某人投籃，每綱次命中率烈為換0.謹(jǐn)7歷，至少命頭中踐4途次的概率是多侄少？杏解：利用二項(xiàng)獅公式得：因?yàn)槊庥心А袄沃临F少窄”寇二字，所靜以需k頭可司為嫩4改或浮5軍所以至少命串中雄4丘次的概率為裝：謙0.36+0舒.17=0.莊53列例敲1羊、有三批同一成規(guī)格的產(chǎn)品存刺放在一起，各談批產(chǎn)品分別占北存時(shí)由的阻40辟%旋、翁35灰%暗、耍25蒜%狐，而次品率分家別挪為孩2靜%謹(jǐn)、閥1謊%朱、評3倦%番，若從這堆存涌品中隨機(jī)地抽哀取一個(gè)產(chǎn)品，楊則它是次品的膠概率為多少。尼解：利用全概泄率公式得：賭P棍（達(dá)B政）俊=趨P原（捎A弓1瞞）醉P漁（都B|A擾1抬）廉+耕P奴（模A徐2慰）蕩P傷（獵B|A排2哨）牧+趴P恢（拘A垂3協(xié)）四P位（栗B|A路3紙）如=0.4×0阻.02+0.揭35×0.0渠1+0.25征×0.03=轎0.019旱例鳥2晌、兩個(gè)小組生籌產(chǎn)同樣的零件遵，第一組的廢純品率憐為交2賣%勒，第二組產(chǎn)品依為第一組誦的視2說倍，而廢品率良為抖3勁%址，若兩組生產(chǎn)培的零件放在一衣起，從中任選賽一件，經(jīng)檢查夜是廢品，則這咱件廢品是第一漆組生產(chǎn)的概率艱為多少。欣解：由全概率烈公式可得：呀2佩、古典概型：浙濾具備下面兩個(gè)械特點(diǎn)的隨機(jī)試何驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型廁稱為古典概型雜：灶（明1若）可能的試驗(yàn)握結(jié)果的個(gè)數(shù)是么有限的，記非為他n飲個(gè)；限（兩2偶）兩兩互斥的新諸基本事件出運(yùn)現(xiàn)的可能性相襖等。慮這時(shí)，稱所討?zhàn)囌摰膯栴}是古煙典概型。對于欲滿足古典概型沉下的隨機(jī)事槽件風(fēng)A勸的概率可用下割式計(jì)算中：賭p(A)=m轟/n舌,爸其析中神m村為隨機(jī)事耀件昆A泰所所包含的試貝驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)殿。撫例削4塊、從一批貞由暗9頃0腥件正品訂、鴨3造件次品組成的磨產(chǎn)品中，任取資一件產(chǎn)品，求舟取得正品的概鷹率。解：寨3尚、歪住一維隨機(jī)變量贏的分布和數(shù)字鐵特征：籠一維隨機(jī)變量廢的概念：一個(gè)幣變量依試驗(yàn)結(jié)驅(qū)果的改變而取拌不同的實(shí)數(shù)值哥，而試驗(yàn)的結(jié)蹲果具有隨機(jī)性圓，因此這個(gè)變作量的取值也具竿有隨機(jī)性，稱志這個(gè)變量為一庭維隨機(jī)變量，初記薪為袖X導(dǎo)。崖序3.撐1射隨機(jī)變量的分飛布函數(shù)：源定義：隨機(jī)變嬌量錫X淋取值不大于實(shí)膠數(shù)給x迫的概他率推p誼（鬼X跌≤催x價(jià)）叫做隨機(jī)變社量身X支的分布函數(shù)，篇記括作肆F(x)=物p稅（賓X顯≤鋒x香）肅性質(zhì)：分布函血數(shù)具有以下的宏性質(zhì)：館（恭1君）勾3.使2回離散型隨機(jī)變峽量及其分布：駁有一類隨機(jī)變諷量，它所有可脅能取的值是有扮限個(gè)或可數(shù)多害個(gè)數(shù)值，這樣油的隨機(jī)變量稱寒為離散型隨機(jī)呆變量，它的分刪布稱為離散型運(yùn)分布。其分布?xì)⒖捎孟铝斜砀穹陆o出：Xx1x2…xi…概率p1p2…pi…振3.剃4柜隨機(jī)變量函數(shù)從的分布慈：曠討3.烈5末隨機(jī)變量的數(shù)槐學(xué)期望、隨機(jī)售變量的方差：推離散型隨機(jī)變紀(jì)量的數(shù)學(xué)期望摔定義：森連續(xù)型隨機(jī)變勒量的數(shù)學(xué)期望極的定義：丈隨機(jī)變量的方熊差定義防：呼D納（瀉X諒）追=E(X-E微(X))承2剃隨機(jī)變量的期置望、方差的性慘質(zhì)：項(xiàng)（鳥1賢）講E鍬（吃k濫）鮮=k,D(k咱)=飼0呢，其乒中弦k然為常數(shù)夠；島假（擱2憲）腳E(kX)=生k(X),燥D(kX)=丙k2D(X)獻(xiàn),謙牧其斜中萌k表為常嚼數(shù)愛(3)E(X偉+k)=患E叼（玩X耕）欠+k,D(圣X+k)=暖D(X)研弊其緒中砍k齊為常謝（括4溜）潔當(dāng)技ξ泰η逗相互獨(dú)立時(shí)列，接E速（滋ξ窯±宰η炊）努=喊E氧（街ξ勒）趣±埋E紅（鴨η抱）昆，慢D慨（納ξ璃±芬η玩）賺=D清(康ξ身)+帆D自（范η脈）銳3.帝6串常用隨機(jī)變量破的分布和數(shù)字獅特征：主例弊5尋、列函數(shù)中哪陵個(gè)不是隨機(jī)變星量的分布函數(shù)禮（壁C鴨測）惕例近6割、設(shè)函靜數(shù)壟F杯1舞（匠x映）撞與付F村2餡（想x東）分別是隨機(jī)言變庸量幸x付1橡與皂x挨2遇的分布函數(shù)，脾為芬使野F(x)=a每F巾1汪（爬x?。┩?bF女2壽（五x臣）為某一隨機(jī)你變量的分布函丸數(shù)，在下列給登定的各組數(shù)中槍應(yīng)取費(fèi)（醒A

胞海）拾例換7

悲脹連續(xù)型隨機(jī)變獎(jiǎng)量楊X晶的密度函院數(shù)窄卸一定滿足滋（散C店）忠例蠟8田、記正態(tài)分回布殿N(a造,帽σ惠2趴)自的分布函數(shù)為為蹈F畝a,施吵σ鴨(x)累,裹其勤X~健N轉(zhuǎn)（另-過1脈，鞋4宜），則下列計(jì)爆算正確的是揪（嘗D胸）搏例貍9猴、四拉妹已知隨機(jī)變冠量代X背服從二項(xiàng)分布簽，瓶且毫E盞（撥x擔(dān)）茂=2.押4雖，高D(x)=1童.4澆4藏，則二項(xiàng)分布抽的參數(shù)為多少石解汁：攔E脊（區(qū)x臉）進(jìn)=np=2.限4,D(x跌)=np(1狠-p)=1.膚4懂4接，可解年得樣n=6,p=撫0.4軍4鮮、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的扛基本概念：哈總體：在統(tǒng)計(jì)呈中，將研究、者考察對象的全壓體稱為總體。著也特指某個(gè)指染標(biāo)游X隆，鴿X呢具姿有林滾隨機(jī)性，因此港研究總體也轉(zhuǎn)織化為研鑰究悔X稻的分布。船樣本：從總體迅中抽取的一部弱分個(gè)體叫做樣戀本，樣本中所伍所包含的個(gè)體紀(jì)的數(shù)量叫做樣尚本容量。一般撓我們抽取的樣堪本滿足下面二港個(gè)條件：攤（酸1美）樣本中的個(gè)至體相互獨(dú)立，剃（銹2趟）樣本中個(gè)體齒的分布同總體最的分布。睜統(tǒng)計(jì)量：不含蘇未知參數(shù)的樣記本函數(shù)稱為統(tǒng)再計(jì)量。例如：粒從均值泡為呀μ依方差正為疫σ肥2獲的總體中抽得罩一個(gè)樣本量綿為蓮n續(xù)的樣幸本亭X腳1剛，眨X柄2漲，甲…袋X億n任其失中曬μ漫、衛(wèi)σ濱2繡未知，那院么委X1+X顆2敢，盾max{X介1蔽，靜X轟2朽，網(wǎng)…圍Xn耽}幸是統(tǒng)計(jì)量，破而想X1+X2大-敘2畫μ農(nóng)、版（諒X1龍-豈μ感）槳/棕σ頂都不是統(tǒng)計(jì)量先。修例蝕1冊0陪、缺棗爆總莊體煉X湯服從參數(shù)隨為跨λ陵的指數(shù)分布貸，血X獻(xiàn)1抹，組X揉2河，栽…抵X宋n梯是從中抽取的臺樣本，試求術(shù)5訪、參數(shù)估計(jì)、卵假設(shè)檢驗(yàn)公：球5.膏1并參數(shù)估計(jì)：設(shè)副總裝體董X眠服挺從甩f(x愈,皮θ題)壞的分布，其坑中拜θ泉為未知參數(shù)享，無X志1您，絞X苗2銷，果…婚X訪n春是從總枯體昌X宿中抽取的樣本陜，用樣本的函顛數(shù)即統(tǒng)計(jì)量去索估計(jì)未知參數(shù)鄰，這就是參數(shù)宿估計(jì)。參數(shù)估裙計(jì)有兩種形式殼：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)睛間估計(jì)。桌點(diǎn)估計(jì)：若取艙樣本的某個(gè)函請數(shù)豎易作為未知參數(shù)潛估計(jì)量，則稱令挑為賄θ伴的點(diǎn)估計(jì)量，活稱析涼為驟θ吃的點(diǎn)估計(jì)值。耽求點(diǎn)估計(jì)常用厘的方法為矩法抗估計(jì)：即總體些均鋼值坑E英（奧X虎）用樣本均值顯染來估計(jì)，總體遣方差臨區(qū)間估計(jì)興：避映例醉1匹1掙、設(shè)一個(gè)物體餅的重海量歇μ肌未知，為估計(jì)予其重量，可以牧用天平去稱，悄所得稱重與實(shí)勤際值間是有誤蔽差的，因此所涌得的稱重是一津個(gè)隨機(jī)變量，藍(lán)通常服從正態(tài)戀分布，如果已尺知稱量的誤差灑的標(biāo)準(zhǔn)差為尚0.得1貴克映，為完使欣μ民的狀95濃%涼的置信區(qū)間的話長度不超杯過宿0.改1瘋，那么至少應(yīng)弊該稱多少次？州解：這是求樣貧本容量的問題處。在標(biāo)準(zhǔn)差已產(chǎn)知時(shí)雙，似μ蓋的工95聞%伯的置信區(qū)間為遮：初5.2唱窗假設(shè)檢驗(yàn)：假已設(shè)檢驗(yàn)的基本創(chuàng)步驟：準(zhǔn)（真1割）、建立假設(shè)話（梢2銷）、選擇檢驗(yàn)美統(tǒng)計(jì)量，給出劍拒絕的形式沉（盜3尋）、給出顯著勒性水寸平莊α墻，常僑取漸α迫為技0.05飄（突4稍）、定出臨界叫值性c盒，寫出拒絕搶域普W花，作出判斷。毯正態(tài)總體中均云值承μ斬的假設(shè)檢驗(yàn)：隸H巖0紫：匯μ蠶=亞μ厲0式，牧H繩0亮：飄μ≠μ鍬0姑例領(lǐng)1賓2份、某電工器材請廠行產(chǎn)一種云