人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)6.1平面向量的概念同步訓(xùn)練及答案

.1平面向量的概念一、單選題1．下列命題中正確的是（

）A．溫度是向量 B．速度、加速度是向量C．單位向量相等 D．若，則和相等2．如圖，向量，則向量可以表示為（

）A． B． C． D．3．P是所在平面上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形4．已知空間四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點(diǎn)，則（

）．A． B．C． D．5．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是平行向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③（為實(shí)數(shù)），則必為零；④為實(shí)數(shù)，若，則與共線(xiàn)；⑤向量的大小與方向有關(guān)．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，四邊形是等腰梯形，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．7．已知向量，且與方向相同，則的取值范圍是（

）A．（1，+∞） B．（-1，1）C．（-1，+∞） D．（-∞，1）8．已知空間向量，，且，，，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是（）A． B． C． D．9．如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，，則下列向量相等的是（

）A．與 B．與C．與 D．10．若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式：①；②﹔③；④.其中正確的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③二、填空題11．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，則與向量相等的向量是________．12．如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集，向量的集合不重合且，則集合T有______個(gè)元素．13．已知為內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則為的________心．14．已知圓O的周長(zhǎng)是，是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，則___________.15．如圖，在矩形中，，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，若，，則的值為_(kāi)__________.三、解答題16．已知向量．(1)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．17．如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，.(1)試用向量表示；(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別交線(xiàn)段于點(diǎn)，記，，求證：不論點(diǎn)在線(xiàn)段上如何移動(dòng)，為定值.18．如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方．(1)作出、、（圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m）；(2)求的模．19．在如圖的方格紙上，已知向量，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量，使；(2)在圖中畫(huà)一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量，使，并說(shuō)出向量的終點(diǎn)的軌跡是什么？參考答案：1．B【分析】根據(jù)向量的定義判斷．【詳解】溫度只有大小，沒(méi)有方向，不是矢量，A錯(cuò)誤；速度有大小和方向，應(yīng)該是向量，加速度是速度變化量與發(fā)生這一變化所用時(shí)間的比值．由于速度是矢量，速度的變化既可能有大小上的變化，同時(shí)也可能有方向上的變化，因此速度的變化量應(yīng)該是一個(gè)既有大小又有方向的一個(gè)量，即是一個(gè)矢量．時(shí)間的變化，只有大小，是一個(gè)標(biāo)量．因此加速度是一個(gè)矢量，也就是向量，B正確；向量既有大小也有方向，單位向量都是長(zhǎng)度為1的向量，但方向可能不同，C錯(cuò)誤；已知，但與的方向不一定相同，則與不一定相等，D錯(cuò)誤．故選：B．2．C【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則結(jié)合圖形可得的表達(dá)式.【詳解】根據(jù)向量運(yùn)算法則可得，又，所以，故選：C.3．B【分析】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積與模長(zhǎng)公式，可以得出，由此可判斷出的形狀.【詳解】由，可得，即，，等式兩邊平方，化簡(jiǎn)得，，因此，是直角三角形.故選：B.4．B【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求出結(jié)果．【詳解】如圖，連接，則，故選：B．5．A【分析】根據(jù)向量、平行向量的定義、向量數(shù)乘運(yùn)算依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)向量具有公共終點(diǎn)，但兩向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)可能不共線(xiàn)，則兩向量不是平行向量，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，向量有大小和方向兩個(gè)維度，無(wú)法比較大??；但向量模長(zhǎng)僅有大小一個(gè)維度，可以比較大小，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，可以為任意實(shí)數(shù)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以不共線(xiàn)，④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，向量的大小即向量的模長(zhǎng)，與方向無(wú)關(guān)，⑤錯(cuò)誤.故選：A.6．B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及等腰梯形的定義即可求解.【詳解】解：由題意，四邊形是等腰梯形得，且，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，又向量不能比較大小，所以選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤，故選：B7．C【分析】與同向，用共線(xiàn)基本定理得到關(guān)系，表示依據(jù)的范圍去求.【詳解】因?yàn)榕c同向，所以可設(shè)則有，又因?yàn)?，，所以所以的取值范圍?-1，+∞)，故選：C.8．C【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)判斷三點(diǎn)共線(xiàn)即可．【詳解】解：，又與過(guò)同一點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)．故選：C．9．D【分析】由可知四邊形是平行四邊形，根據(jù)相等向量的定義即可判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t四邊形是平行四邊形，結(jié)合題圖，，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；與方向不相同，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D10．B【分析】根據(jù)向量的定義、向量的模、平行向量的定義判斷．【詳解】對(duì)于①，的大小不能確定；對(duì)于②，兩個(gè)非零向量的方向不確定；對(duì)于④，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，只有③正確．故選：B．11．,【分析】根據(jù)相等向量的定義確定即可.【詳解】因?yàn)镻、Q、R分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，所以，,因?yàn)榉较蛳嗤笮∠嗟鹊南蛄繛橄嗟认蛄?，所以與相等的向量為，.故答案為：，.12．12【分析】根據(jù)題中關(guān)于集合的定義，應(yīng)用枚舉法，列出符合條件的元素個(gè)數(shù)即可.【詳解】由已知得，，且不重合，可得向量集合為（不含相等向量）：以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：綜上所述，集合T有12個(gè)元素.故答案為：1213．重【分析】如圖，取的中點(diǎn)，利用向量的加減法運(yùn)算得到與共線(xiàn)，進(jìn)一步得到三點(diǎn)共線(xiàn)，且，結(jié)合重心的性質(zhì)可判斷為的重心．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)由．得，又，故，則與共線(xiàn)，又，有公共點(diǎn)，故三點(diǎn)共線(xiàn)，且，因此可得為的重心．故答案為：重.14．【分析】根據(jù)題設(shè)可得圓O的半徑為1，結(jié)合已知條件及含的直角三角形的性質(zhì)即可求.【詳解】由題設(shè)，圓O的半徑為1，又，如下圖示：在中，，，所以.故答案為：15．##【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算及平面向量基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)椋謩e為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，所以,,,所以,所以，解得，所以，所以的值為.故答案為：.16．(1)(2)【分析】（1）利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算與向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解；（2）利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示即可得解；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)椋峙c向量平行，所以，即，解得，所以.17．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)可得，同理由三點(diǎn)共線(xiàn)可得，根據(jù)向量相等的條件可求出的值，即可求解；（2）設(shè)，由及三點(diǎn)共線(xiàn)聯(lián)立即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)使得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)使得，根據(jù)向量相等可得，解得，所以.（2）設(shè)，由（1）可得①，②，又三點(diǎn)共線(xiàn)，所以③，由①②可得，，代入③式可得，即不論點(diǎn)在線(xiàn)段上如何移動(dòng)，為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了共線(xiàn)向量的基本定理：當(dāng)為直線(xiàn)外一點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)共線(xiàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用.18．(1)作圖見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)行走方向和單位長(zhǎng)度即可確定各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，即可做出所有向量；（2）由題意可知，四邊形是平行四邊形，則可求得的模.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方，所以，又，所以，即D、C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，；即可作出、、如下圖所示.（2）如圖，作出向量，由題意可知