概率論統(tǒng)計電子教案

§3.3常用連續(xù)型隨機變量

下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機變量。一、均勻分布

設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為

通常稱這個隨機變量X服從區(qū)間(a,b)上的(連續(xù)型)均勻分布，記作。

一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來描述。均勻分布的分布函數為：

在隨機模擬技術中，服從均勻分布R(0,1)的隨機變量是最基本的一類隨機變量。二、指數分布

一般地，如果隨機變量X的密度函數為那么稱這個隨機變量X服從參數為的指數分布，記作，其中。指數分布的分布函數為指數分布在可靠性理論及排隊論中有廣泛的應用，因為許多優(yōu)質產品的壽命常常服從指數分布；某一復雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時間間隔服從指數分布。

指數分布有一個性質，稱此性質為無后效性：設隨機變量，則對于任意的，有因此，假如把X解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽命長于年，則再活年的概率與年齡無關，所以有人風趣地稱指數分布是“永遠年青”的分布。

例1根據歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強地震之間相隔的年數X是一個隨機變量，它服從參數為的指數分布，現該地剛發(fā)生了一次強地震。試求

(1)今后3年內再次發(fā)生強地震的概率；

(2)今后3年至5年再次發(fā)生強地震的概率。

解(1)所求概率為

(2)所求概率為

例2假設顧客在銀行的窗口等待服務的時間

（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等待服務的時間超過10分鐘他就離開，（1）求這位顧客某天去銀行未等到服務而離開的概率；（2）假如他一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務而離開的概率。

解（1）所求概率為

(2)用Y表示他離開的次數，則，所求概率為三、正態(tài)分布(高斯（Gauss）分布)

如果隨機變量X的密度函數為那么稱這個隨機變量X服從參數為的正態(tài)分布（或高斯分布），記作，其中服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機變量。

由高等數學的知識不難得到具有下列性質：

(1)關于對稱；

(2)在處有最大值；

(3)當時，。正態(tài)分布在理論上與實際應用中都是一個極其重要的分布，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差的分布。經驗表明，當一個變量受到大量微小的、獨立的隨機因素影響時，這個變量一般服從或近似服從正態(tài)分布。

正態(tài)分布的密度函數的圖像見下圖：

上圖還給出了參數的一個幾何解釋：當較大時，函數曲線平坦；當較小時，曲線陡峭。四、標準正態(tài)分布

參數且的正態(tài)分布N(0,1)稱為標準正態(tài)分布,它的密度函數為它的分布函數記作，即

由于N(0,1)的密度函數是一個偶函數，因此，由推得：

當時，的值可以查附表四得到。由概率計算過程可得如下公式：當時,

其中。

當時，由于X的分布函數

（令）

因此通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式。例2設。查附表四可以得到例3設，查附表四可以得到

例4從南郊某地到北區(qū)火車站有兩條路可選，一條路線穿過市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需時間（單位：分鐘），另一條路線沿環(huán)線走，路程長，但意外堵塞較少，所需時間

（單位：分鐘）。（1）假定有70分鐘可用，應選哪一條路線？（2）假定有65分鐘可用，應選哪一條路線？

解（1）由于所以，應選第二條路線。（2）由于所以，應選第一條路線。

例4某人上班所需的時間(單位：分)，已知上班時間為早晨8時，他每天7時出門。試求，

(1)某天遲到的概率；

(2)某周(以五天計)最多遲到一次的概率。

解(1)所求概率為

(2)設一周內遲到次數為Y，則Y為離散型隨機變量，且，所求概率為

當時，附表四對每一個，給出了的值。反過來，給定也可以從附表四查得，使得由，稱為標準正態(tài)隨機變量X的p分位數(見下圖)，即.當時，可以直接查表得到。當

時，由的性質知道。

例如，當時，

有時候，需要對給定的求出常數c，使得，由于

即因此，例如，當時，相應的

§3.4二維隨機變量及其分布如果一個二維隨機變量的值域是平面上的一個區(qū)域，那么稱它為二維連續(xù)型隨機變（向）量，類似地有n維連續(xù)型隨機變（向）量。

本節(jié)主要研究二維連續(xù)型隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性（即分布）。一、聯(lián)合密度函數

定義3.4給定二維連續(xù)型隨機變量，如果存在一個定義域為整個平面的二元非負實值函數，使得的分布函數可以表達成那么稱為連續(xù)性隨機變量的(概率)密度函數(或分布)，或者稱它為隨機變量X與Y的聯(lián)合(概率)密度函數(或聯(lián)合分布)。

按照分布函數的定義與性質，聯(lián)合密度函數必須滿足下列兩個條件：

(1)；

(2)。這兩個條件刻劃了聯(lián)合密度函數的特征。定理3.5

設是任意一個二維連續(xù)型隨機變量，與分別是它的分布函數與密度函數，那么

(1)為連續(xù)函數，且在的連續(xù)點處，有

(2)對任意一條平面曲線L，；(3)對任意一個平面上的集合D：

例1設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數為求（1）常數A的值；

（2）概率

解(1)由可得

(2)概率一、均勻分布：

設的密度函數為

其中，G是平面上某個區(qū)域，通常稱這個隨機變量

服從區(qū)域G上的(二維連續(xù)型)均勻分布。

二、二維正態(tài)分布：

如果隨機變量的密度函數為

那么稱隨機變量服從參數為的二維正態(tài)分布，記作,其中.

例1設服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G為區(qū)域試求關于t的一元二次方程無實數根的概率。

解由于G的面積為1，因此的密度函數

于是，所求概率為

思考：

概率

二、邊緣密度函數

設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數為，對于任意一個，稱為的邊緣分布函數。類似地，稱為的邊緣分布函數。即

例1設的聯(lián)合分布函數為求與邊緣分布函數。解由邊緣分布函數的計算公式可知當時，當時，，所以，的邊緣分布函數為

同理可得，的邊緣分布函數為思考：三個分布函數之間有什么關系？

設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數為稱為的邊緣密度函數。類似地，稱為的邊緣密度函數。

事實上，由的邊緣分布函數的定義,可得例2設(X,Y)的聯(lián)合密度函數為求X與Y的邊緣密度函數。

解由公式可知，當時，當時，

，所以的邊緣密度函數為同理，當時，所以所以，的邊緣密度函數為

例3設的聯(lián)合密度函數為其中，試求X與Y的邊緣密度函數。

解當時，其余的取值對應