全等三角形證明判定方法分類總結(jié)

./全等三角形〔一SSS[知識要點(diǎn)]1．全等圖形定義：兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形．2．全等圖形的性質(zhì)：〔1全等圖形的形狀和大小都相同,對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等〔2全等圖形的面積相等3．全等三角形：兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形〔1表示方法：兩個三角形全等用符號"≌"來表示,讀作"全等于"如全等,記作≌〔2符號"≌"的含義："∽"表示形狀相同,"="表示大小相等,合起來就是形狀相同,大小也相等,這就是全等．〔3兩個全等三角形重合時,互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn),互相重合的邊叫做對應(yīng)邊,互相重合的角叫做對應(yīng)角．〔4證兩個三角形全等時,通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上．ABABCDEF如圖,在和中≌ABDCABDC例1．如圖,≌,點(diǎn)B與點(diǎn)D是對應(yīng)點(diǎn),,且,,求的度數(shù)及的面積．ABECFD例2．如圖,≌,,求ABECFD例3．如圖,已知：AB=AD,AC=AE,BC=DE,求證：AABECD例4．如圖AB=DE,BC=EF,AD=CF,求證：ABCDFABCDFE〔2AB//DE,BC//EF例5．如圖,在D、E分別為AC、AB上的點(diǎn),且BE=BC,DE=DC,求證：〔1；AEBCAEBCD[鞏固練習(xí)]1．下面給出四個結(jié)論：①若兩個圖形是全等圖形,則它們形狀一定相同；②若兩個圖形的形狀相同,則它們一定是全等圖形；③若兩個圖形的面積相等,則它們一定是全等圖形；④若兩個圖形是全等圖形,則它們的大小一定相同,其中正確的是〔A、①④B、①②C、②③D、③④2．如圖,≌,且AB和CD是對應(yīng)邊,下面四個結(jié)論中ABABDCA、的面積相等B、的周長相等C、D、AD//BC且AD=BCABCD第3題圖3．如圖,≌,A和B以及C和D分別是對應(yīng)點(diǎn),如果,則的度數(shù)為〔ABCD第3題圖A、B、C、D、4．如圖,≌,AD=8,BE=2,則AE等于〔ACACEBFD第6題圖第5題圖A第5題圖ABCDEBACEFD第4題圖5．如圖,要使≌,則下列條件能滿足的是〔A、AC=BC,AD=CE,BD=BEB、AD=BD,AC=CE,BE=BDC、DC=EC,AC=BC,BE=ADD、AD=BE,AC=DC,BC=EC6．如圖,≌,點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是對應(yīng)點(diǎn),則AB=,,AE=,CE=,AB//,若,則DF與BC的關(guān)系是．EFDBCA第9題題圖BACDE第7題圖EFDBCA第9題題圖BACDE第7題圖第8題圖第8題圖ABDEC8．如圖,若AB=AC,BE=CD,AE=AD,則,所以,,．9．如圖,≌,,則下列說法錯誤的是〔A、B、C、D、ABCDFE10．如圖,≌,,求ABCDFE11．如圖,在中,AC=BD,AD=BC,求證：≌AADCB全等三角形〔一作業(yè)1．如圖,≌,AC=7cm,AB=5cm.,則AD的長是〔A、7cmB、5cmC、8cmD、無法確定2．如圖,≌,,點(diǎn)B、C、E在同一直線上,則的度數(shù)為〔A、B、C、D、3．如圖,≌,AF=2cm,CF=5cm,則AD=．ABCDE4．如圖,≌,,求的度數(shù)．ABCDE5．如圖,已知,AB=DE,BC=EF,AF=CD,求證：AB//CDAABCDEF6．如圖,已知AB=EF,BC=DE,AD=CF,求證：①≌②AB//EFBBACEFD7．如圖,已知AB=AD,AC=AE,BC=DE,求證：AABECD.全等三角形〔二[知識要點(diǎn)]定義：SAS兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等,簡寫成"邊角邊"或"SAS",幾何表示AABCEDF如圖,在和中,≌[典型例題][例1]已知：如圖,AB=AC,AD=AE,求證：BE=CD.AADBECABDEC1ABDEC12[例3]如圖已知：AE=AF,AB=AC,∠A=60°,∠B=24°,求∠BOE的度數(shù).BBEAFCO[例4]如圖,B,C,D在同一條直線上,△ABC,△ADE是等邊三角形,求證：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.EEABCD[例5]如圖,已知△ABC、△BDE均為等邊三角形。求證：BD＋CD=AD。DDABCE[鞏固練習(xí)]1．在△ABC和△中,若AB=,AC=,還要加一個角的條件,使△ABC≌△,那么你加的條件是〔A．∠A=∠B.∠B=∠C.∠C=∠D.∠A=∠2．下列各組條件中,能判斷△ABC≌△DEF的是〔A．AB=DE,BC=EF；CA=CDB.CA=CD；∠C=∠F；AC=EFC．CA=CD；∠B=∠ED.AB=DE；BC=EF,兩個三角形周長相等3．閱讀理解題：如圖：已知AC,BD相交于O,OA=OB,OC=OD.那么△AOD與△BOC全等嗎？請說明理由.△ABC與△BAD全等嗎？請說明理由.SASOA=SASOA=OBOD=OC△AOD≌△BOCDDC12OAB—而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△AOB所以△ABC≌△BAD〔1你認(rèn)為小明的解答有無錯誤；〔2如有錯誤給出正確解答；4．如圖,點(diǎn)C是AB中點(diǎn),CD∥BE,且CD=BE,試探究AD與CE的關(guān)系。AACBED5．如圖,AE是AB=AC〔1若D是AE上任意一點(diǎn),則△ABD≌△ACD,說明理由.〔2若D是AE反向延長線上一點(diǎn),結(jié)論還成立嗎？請說明理由.BBCDEA126．如圖,已知AB=AC,EB=EC,請說明BD=CD的理由AABEDC全等三角形〔二作業(yè)1．如圖,已知AB=AC,AD=AE,BF=CF,求證：≌。AABCEDF2．如圖,△ABC,△BDF為等腰直角三角形。求證：〔1CF=AD；〔2CE⊥AD。AACBDEF3．如圖,AB=AC,AD=AE,BE和CD相交于點(diǎn)O,AO的延長線交BC于點(diǎn)F。求證：BF=FC。AADECBFO4．已知：如圖1,AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、F在直線AC上,求證：DE∥BF。112DCABEFDDABQCPE5.如圖,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,求證：〔1BE=DC,〔2BE⊥DC.6、已知,如圖A、F、C、D四點(diǎn)在一直線上,AF=CD,AB//DE,且AB=DE,求證：〔1△ABC≌△DEF〔2∠CBF=∠FEC7、已知:如圖,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE8、如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接BE、DG,〔1觀察猜想BE與DG之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論?！?圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個三角形？若存在,請說出旋轉(zhuǎn)過程,若不存在,說明理由。9、已知:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．10、已知C為AB上一點(diǎn),△ACN和△BCM是正三角形.求證：〔1AM=BNCNMBCNMBAEDF11、已知如圖,F在正方形ABCD的邊BC邊上,E在AB的延長線上,FB＝EB,AF交CE于G,求∠AGC的度數(shù).12、如圖,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四邊形CDEF是正方形,連接AF、BD.<1>觀察圖形,猜想AF與BD之間有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想；<2>若將正方形CDEF繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn),使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內(nèi)部,請你畫出一個變換后的圖形,并對照已知圖形標(biāo)記字母,題<1>中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立,直接寫出結(jié)論,不必證明；若不成立,請說明理由..全等三角形〔三ASAABABCASA公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．如圖,在與中DEFDEFASA公理推論〔AAS公理：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．[典型例題][例1]下列條件不可推得和全等的條件是〔AB=AB,,AB=AB,AC=AC,BC=CAB=AB,AC=AC,ADBECFAB=AB,ADBECF[例2]已知如圖,,求證：BC=EFABDEABDECABCDABCDP1234[例5]如圖,,AC=AE,求證：DE=BC112A43BCDEO[例6]如圖,,AC,BD相交于O,ABCDO1ABCDO12[鞏固練習(xí)]ABABDCFEABABCNMDO3．求證：兩個全等三角形ABC與ABC的角平分線AD、AD相等ABABCDABDCAEDOAEDOCFBABABDC13246．已知,如圖AB=DB,,求證：AC=DECCADEB12全等三角形〔三作業(yè)1．已知,如圖,,求證：AB=DEAAEFDCB122．如圖,已知,求證：BE=CDAABEDC3．已知如圖,AB=AD,,求證：AC=AEAABDCE4．已知如圖,在中,AD平分,求證：AABDCACBDACBD6、如圖中,∠B＝∠C,D,E,F分別在AB,BC,AC上,且BD=CE,∠DEF=∠BADADECBF7、<1>如圖１,以的邊、為邊分別向外作正方形和正方形,連結(jié),試判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系,并說明理由．<2>園林小路,曲徑通幽,如圖２所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成．已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米,內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米,這條小路一共占地多少平方米？AGAGFCBDE〔圖１8、已知：如圖,AD為CE的垂直平分線,EF∥BC.求證：△EDN≌△CDN≌△EMN．9、已知：如圖,AB=AC,AD=AE,求證：△OBD≌△OCE10、已知：如圖,AB=CD,AD=BC,O為BD中點(diǎn),過O作直線分別與DA、BC的延長線交于E、F．求證：OE=OF11、如圖在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一點(diǎn)．求證：PA=PD.12、已知：如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中點(diǎn),DF交CB延長線于E,CE=CD．求證：∠ADE=∠EDC．13、已知：如圖,OA=OE,OB=OF,直線FA與BE交于C,AB和EF交于O,求證：∠1=∠2．.全等三角形〔四強(qiáng)化訓(xùn)練1、如圖,△是等邊三角形,點(diǎn)、、分別是線段、、上的點(diǎn),〔1若,問△是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；〔2若△是等邊三角形,問成立嗎？試證明你的結(jié)論．2、如圖所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延長線于M,求證：2∠M=〔∠ACB-∠B3、△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC中點(diǎn),E、F分別在AC、AB上,且DE⊥DF,試判斷DE、DF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．4、已知：如圖,中,,于,平分,且于,與相交于點(diǎn)是邊的中點(diǎn),連結(jié)與相交于點(diǎn)．〔1求證：；〔2求證：；5、如圖,點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn),．將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得,連接．〔1求證：是等邊三角形；〔2當(dāng)時,試判斷的形狀,并說明理由；〔3探究：當(dāng)為多少度時,是等腰三角形？7、過等腰直角三角形直角頂點(diǎn)A作直線AM平行于斜邊BC,在AM上取點(diǎn)D,使BD=BC,且DB與AC所在直線交于E,求證：CD=CE。過A作AF⊥BC于F,過D作DG⊥BC于G,則DG=AF=1/2BC=1/2BD,

在Rt△BDG中,DG=1/2BD=>∠DBC=30°=>∠BDC=∠BCD=1/2<180°-30°>=75°,即∠EDC=75°

∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75°∴∠EDC=∠DEC=>CD=CE8、Rt△ABC,AB=AC,BM是中線,AD⊥BM交BC于D,求證：∠AMB=∠CMD。9、如圖,已知△ABC是等邊三角形,∠BDC＝120o,說明AD=BD+CD的理由。10、已知：如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊CA的延長線上,點(diǎn)E在BA的延長線上,CF、EF分別是∠ACB、∠AED的平分線,且∠B=30°,∠D=40°,求∠F的度數(shù)。11、等邊三角形ABC和等邊三角形DEC,D在AC邊上。延長BD交CE延長線于N,延長AE交BC延長線于M。求證：CM=CN易證△BCD≌△ACE所以∠DBC=∠EAC再證△BCN≌△ACM<ASA>∴CM=CN12、操作：如圖①,△ABC是正三角形,△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個60°角,角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn),連接MN．探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系,并加以證明．13、如圖等邊△ABC和等邊△CDE,點(diǎn)P為射線BC一動點(diǎn),角APK=60°,PK交直線CD于K。試探索AP、PK之間的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BC延長線上時,上題結(jié)論是否依然成立？為什么。14、〔涉及相似三角形若P為所在平面上一點(diǎn),且,則點(diǎn)叫做的費(fèi)馬點(diǎn).如圖,在銳角外側(cè)作等邊′連結(jié)′。求證：′過的費(fèi)馬點(diǎn),且′=.AACB15、如圖,是等腰直角三角形,∠C＝900,點(diǎn)M,N分別是邊AC和BC的中點(diǎn),點(diǎn)D在射線BM上,且BD＝2BM,點(diǎn)E在射線NA上,且NE＝2NA.求證:BD⊥DE..第五章全等三角形拓展延伸分析：三角形全等的證明及其運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)在于"把相等的邊〔角放入正確的三角形中",去說明"相等的邊〔角所在的三角形全等",利用三角形全等來說明兩個角相等〔兩條邊相等是初中里面一個非常常見而又重要的方法。例1：已知AE既是∠BAC的平分線,也是∠BDC的平分線,試說明AB=AC思路：AB在△AB