算法第四五章作業(yè)1114s

4，而通過B輸出字長公共子序列優(yōu)化子結(jié)構(gòu)：設(shè)X,Y,ZLCS為LCSXYZ{r1,r2,...,rk Y Ym1n

p

xmynzp ifxmynp m1n YZ ifxmp m1n

Z

ifxmzp,ynn

m

p YZ,LCSXY ifynzp,xmm n1p YZ Z YZ ,LCSXY m n p m1n m1p n1pifxmyn ifi=0j=0 ifxi=yj= ifxi=yj,zk!= ifxi=zk,yj!= ifyjzkxiyjC[i,j,k]=max{C[i-1,j,kC[i,j-1,kC[i,j,k-1C[i-1,j-1,kC[i-1,j,k-1C[i,j-1,k-1]}ifxiyj!=zk0123---Ifxi=yj Elseifxi=yjandzk!= B[i,j,k]=1or-Elseifxi=zkandyj!=Elseifyj=zkandxi!=B[i,j,k]=3or2or1or-1or-2or-ReturnCandIfi=0orj=0or If PrintElseif Elseif Elseif ElseifB[i,j,k]=- ElseifB[i,j,k]=- ElseifB[i,j,k]=- О(m+n+p)，所以,算法的時間復(fù)雜度為О(mnp)。問題轉(zhuǎn)化：設(shè)B[1:n]A[1:n]A的最長單調(diào)遞增子序列，即：數(shù)組A,B的最長公共子序列。最長公共子序列保證了其是最長序列，數(shù)組B的單調(diào)遞增性質(zhì)保證了子序列是單調(diào)遞增的。LCSABLCSA ambn ifamm1nLCSABLCSA ifambn,ckmLCS

LCS ifambn,cknn

LCSA

LCSLCSA

m2n

m1nAAm2n

mAAm1n

n ifi=0 ifai=bjL[i,j]=max{L[i-1,j],L[i,j] ifai!=輸出：數(shù)組A的最長單調(diào)遞增子序列n=B=Fori=1ToL[i,0]=Forj=1ToL[0,j]=Fori=1ToForj=1ToIfai=L[i,j]=L[i-1,j-1]S[i,j]=ElseifL[i-1,j]>=L[i,j-L[i,j]=L[i-S[i,j]=ElseL[i,j]=L[i,j-S[i,j]=Ifi=0orj= IfS[i,j]= PrintElseifS[i,j]= 的時間復(fù)雜度是О(2n)。所以，總的時間復(fù)雜度是О(n2)。優(yōu)化子結(jié)構(gòu)：假設(shè)用NMDSC(i)表示數(shù)組A[0:n]中第i個元素及之前的元素中，相繼元素之差絕對值不超過d的最長子序列。則：NMDSCi ifi

max{NMDSCj

ifj,ifj,

d,0jd,0jCi1 ifi0orj,AiAjd,0jiCimax{Cj1} ifj,AiAjd,0ji設(shè)B[i]中A中前i-1個元素中A[j]的編號，即j，如果對應(yīng)C[i]=1，則B[i]=-1。CreatearrayC[n]andMax=IfIfmax<C[i]=B[i]=Ifmax==C[i]= B[i]=-ReturnCand打印A中繼元差絕對值不超過d的最長子序列（倒序Ifmax<Max=C[i];Printwhile(B[i]!=-PrintP(n)nP(n)P(kk

ifn1ork ifnm[i,j]m[i,j]

max{m[i,k]ik

1,j]ir

ar

ifijifi]使用數(shù)組s[i,j]記錄A[i]~A[j]的最優(yōu)劃分處在A[k]與A[k+1]之間。n=length(A)-Sum[i,i]=m[i,i]=Fork=iToj-q=Ifm[i,j]=q;ReturnmandIf Print PrintPrint時間復(fù)雜度分析：Max-Merge-Cost(A)1,16О(1)2~5行為為О(n)，所以算法的總的時間復(fù)雜度為О(n3)。P(n)nP(n)P(kk

ifn1ork ifnm[i,j]m[i,j]

max{m[i,k]Okik

ifijifi輸入：表達(dá)式a1O1a2O2On1an，其中ai是整數(shù)（1i

n）Oj{A[1:n]O[1:n-1]中，s[i,j]表示表達(dá)式aiOiai1Oi1Oj1aj最佳劃分處。Fork=IToj-Ifm[I,j]=q;ReturnmandIf Print PrintPrintPrint為О(n)，第4~11行為О(n3)，Print-Optimal-Parens(s,i,j)算法的時間復(fù)雜度為О(n)，所以C[i,j] ifi0,jC[i,j]C[i,j1]bi,j ifi0,jC[i,j]C[i1,j]ai ifi0,jif0im,0j IfElseifElseifReturnCandIfPrintIfP[i][j]== Print(i-時間復(fù)雜性分析：Find-MinCost-Path(a,b)1,22О(1)2~4,5~21

Bi1,j

Bi,j

Bi1,j

ifAi,j若

Bik

Bi,jk

Bik,j

1ifAi,jk2，則在該位置存在一個k ifi=0or輸出：最大全1子方陣的階數(shù)。設(shè)S[i,j]為C[i,j]對應(yīng)方陣右下角元素在A中的位置，算法結(jié)束后，S[n,n]的就是最大全1子方陣右下角元素在A中的位置，C[n,n]存放的是最大全1子方陣的階數(shù)。Fori=0toFori=1toForj=1toIf C[i,j]=C[i-S[i,j]=C[i-ElseC[i,j]=C[i,j-S[i,j]=C[i,j-Fork=C[i,j]+1toIfi-k+1<1orj-ElseReturnCand子方陣為時間復(fù)雜度分析:1,20行為常數(shù)時間，2~3行是線性時間，4~19行為О(n3)，所以，算n0-1背包問題類似，設(shè)SUMaii

SUM,wva 如果CS中一定沒有滿足條件的A存在，如果C是偶數(shù)，S中可能會存在滿足條件的A。如果Sixi,xi1,...,xn是問題子Pii,i1,...,n,CiC1ki1wkxk的優(yōu)化解。則：Pi1子問題優(yōu)化解為maxi1knvkxki1knwk

Ciwkxk,xk0,1,i1k if

n,1j

ifi

mi,j

mi1,jmaxmi1,j,mi

aa

1jif

SumIfReturnNOForj=CToIfIfIf

m[i][j]=IfReturnNo時間算法復(fù)雜度為О(Cn)標(biāo)要小，直到最左點(diǎn)P[1],然后再嚴(yán)格向右走，直到終點(diǎn)P[j]為止，在P[i]P[j]過程中的點(diǎn)有且只經(jīng)過一次。設(shè)distance[i,j]是點(diǎn)P[i]到P[j]之間的歐式距離。 b[i,j]=b[i,j-1]+distance(j-1,j) ifi<j-1b[i,j]=min{b[k,j-1]+distance(k,j)}，其中1<=k<j-1 ifi=j-1b[n,n]=b[n-1,n]+distance(n-1,n)設(shè)函數(shù)distance(P,i,j)功能是計(jì)算并返回點(diǎn)P[i]到點(diǎn)P[j]的歐幾里得距離。Iftemp<b[j-i=n-1;while(k!=IfLeft_hand=Ifi==j-j=i;Elseifi<j-Print算法時間復(fù)雜度為

T(pk,...,pn T(pk,...,pn

C(p0pkpn

0kT(pk,...,pn)是P(pk,pk1,...,pn)的優(yōu)化三角剖分遞歸方程：設(shè)t[i,jpi1pi,...,pj的優(yōu)化三角剖分的代價（即周長t[i,j]minikjt[i,k]t[k1,j]C(pi1pkpjFork=iToj-Ifq<t[i][j]=q;ReturntandIfPrint PrintPrint對樹T的每個結(jié)點(diǎn)從上到下按層次編號，假設(shè)樹Tn1~n。假設(shè)樹T以孩子鏈表形式。父子結(jié)點(diǎn)a,b之間的權(quán)值。 ifiP(i) ifi輸入：一棵樹TIfi==T-IfIfWhile(j->child!=If5

an證明：設(shè)優(yōu)化解序列是aa,...,a,且aaa it=nii

1aki。若k11,用a1替代ak則：t=na1ni

1aka1ak,tt, t是優(yōu)化等待時間，則tt, a,aa

11

2 2 ，所以：a,a,...,a 輸入：n個任務(wù)所需時間序列：a,a,...,a Print 2假設(shè)r,r 2

，rr,rr,rr,rr。因此，r,r,r 2WhileIfElseifElseifPrint算法時間復(fù)雜度為О(n)將k個序列S=s1,s2,...,sk的合并過程表示成一棵huffman樹，用T表示。葉子結(jié)點(diǎn)用有序序列si和它的長度表示。每次選兩個長度最小的序列sx和sy合并，形成一個新序列sz,作為ki

dT(si),其中,dT(si是序列si在樹T中的深度。定理1：設(shè)序列sx,sy是T中任意相鄰兩個葉結(jié)點(diǎn)，sz是它們的父結(jié)點(diǎn)，則序列sz的長度sy,TTsx,sy是序列組SSsx,sysz的優(yōu)化合并有序序列i證明：C(T)=sSsidT(sisxdT(sxsydT(sysSssidT(sii

sxdT(sx)dT(sy)dT(sz)1,C(T)sx

dT(sz)1

dT(sz)1siSssidT(si

dT(sz)

dT(sz)siSssidT(si)C(T)

因?yàn)閟z是S中的有序序列，它一定是T中的葉子，把結(jié)點(diǎn)sxsy入T，作為s的子結(jié)點(diǎn)C(TC(T),C(T)C(T)sxsyC(T)sxsyC(TC(T與T是優(yōu)化的，故T是C的優(yōu)化合并有序序列樹

sy證明：若T是S的優(yōu)化樹，如果sx,sy是具有最大深度的兄弟結(jié)點(diǎn)。則命題得證若不然，設(shè)sb,sc是具有最大深度的兩個兄弟序列，不失一般性，設(shè)sb sc,sxsysx,sy是長度最短的兩個序列，sbsx,scsy,交換T的sb,sx,從而構(gòu)造T,交換T的sc,sy，從而構(gòu)造T。往證T是最優(yōu)化樹 C(T)C(T)sSsidT(si)sSsidT(si

dT(sx)sbdT(sx)

dT(sb)

dT(sb)

dT(sbdT(sx)sbsxdT(sb)dT(sxsbsb 輸入：k個排好序的有序序列s,s right[z]Node=newNode=”interIfNode i=1;whilewhileWhileIf不失一般性，假設(shè)aaa,bb n 若不然，M中有映射f(an)bj,f(ai)bn，則交換bj,bn得M

a

a

a

a

a

a

a

abj abnabj1abn1abja1abj M是優(yōu)化解，w(M)w(M),w(M)w(M定理2：子序列a,a,...,a到子序列b,b,...,b n n設(shè)aaa,bbb,由定理1 n1 n輸入：兩個大小為n的正整數(shù)集合A和B。輸出：A到B的映