線性代數(shù)期末考試試卷+答案合集

XX義大學(xué)線性代數(shù)期末考試題

一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分）

1-31

1.若05X=0,則力=。

-12-2

Zv,+x2+x3=0

2.若齊次線性方程組<匹+疝2+七=0只有零解，則％應(yīng)滿足。

X]++七=0

3.已知矩陣A,B,C=（%）”,,，滿足AC=C8,則A與8分別是階矩陣。

a\2

4.矩陣A=a2la22的行向量組線性。

1。31。32,

5.〃階方陣A滿足42-34-5=0,則A-I=。

二、判斷正誤（正確的在括號(hào)內(nèi)填“J"，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填“X”。每小題2分，共10分）

1.若行列式。中每個(gè)元素都大于零，則。〉0。（）

2.零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。（）

3.向量組％,a,“中，如果q與a,”對(duì)應(yīng)的分量成比例，則向量組為,4線性相關(guān)。

()

0100

1000,.

4.A=，則A-1=4。()

0001

0010

5.若4為可逆矩陣A的特征值，則AT的特征值為4。（）

三、單項(xiàng)選擇題（每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共10分）

1.設(shè)A為〃階矩陣，且|A|=2,則|A|A[=（）。

①2"②2"-'③2"+,④4

2.〃維向量組四,a2，…，（3<s<n）線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）。

①%,a2，…，4中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)

②%,a?，…，中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示

③%,a?，…，4中任一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示

④%,a2,---,%中不含零向量

3.下列命題中正確的是（）。

①任意〃個(gè)〃+1維向量線性相關(guān)

②任意〃個(gè)〃+1維向量線性無(wú)關(guān)

③任意〃+1個(gè)〃維向量線性相關(guān)

④任意”+1個(gè)〃維向量線性無(wú)關(guān)

4.設(shè)A,8均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是（）0

①若A,8均可逆，則A+8可逆②若4,8均可逆，則A8可逆

③若A+B可逆，則A—B可逆④若A+B可逆，貝ijA,B均可逆

5.若匕，v2,匕，匕是線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系，則匕+乙+匕+K,是AX=0的（）

①解向量②基礎(chǔ)解系③通解④A的行向量

四、計(jì)算題（每小題9分，共63分）

X+Qbcd

ax+bcd

1.計(jì)算行列式o

abx+ca

abcx+d

解.

xbcdx+〃+/?+c+dbed

ax+bcdx+a+0+c+dx+Z?cd

abx+cdx+〃+/?+c+dh尤+cd

abcx+dx+a+b+c+dbcx+d

1bcd\bcd

1xA-hcd0x00

=(x+〃+Z?+c+d)=(%+a+b+c+d)=(x+a+A+c+d)/

1bx+cd00x0

1bcx+d000x

‘301、

2.設(shè)AB=A+28,且4二110,求5。

、014;

2-1-f-5-2-2~

解.(A-2E)8=A(A-2E)-'=2-2-1,B=(A-2EY'A=4-3-2

-111-223

’1-100、’2134、

01-10

3.設(shè)5=C=jj；；且矩陣X滿足關(guān)系式X(C-8)=瓦求X。

001-1

10

0017、0002,

4.問(wèn)。取何值時(shí),卜列向量組線性相關(guān)?

Afi+x2+/=幾—3

5.2為何值時(shí)，線性方程組,F+&2+X3=一2有唯一解，無(wú)解和有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多

X]+%2+<^3—2

解時(shí)求其通解。

①當(dāng)awl且aw—2時(shí)，方程組有唯一解;

②當(dāng)4=-2時(shí)方程組無(wú)解

③當(dāng)4=1時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為X

<r「2、'1、(3、

49010

6.設(shè)%,%=,%=.求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向

1-1,%=-3-7

⑼、一3)1一77

量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。

’100、

7.設(shè)4=010,求A的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。

、。21,

五、證明題(7分)

若A是〃階方陣，且714，=/,同=—1,證明|A+/|=0。其中/為單位矩陣。

XXX大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案

一、填空題

1.52./IW13.sxs,nxn4.相關(guān)

5.A-3E

二、判斷正誤

1.X2.J3.V4.J5.X

三、單項(xiàng)選擇題

1.③2.③3.③4.②5.①

四、計(jì)算題

1.

x+abed冗+〃+b+c+dbed

ax+bcdx+a+b+c+dx+bcd

abx+cdx+Q+O+c+dbx+cd

abcx+dx+a+O+c+dbcx+d

\bcd[bed

1x+bcd0x00

=(%+〃+Z?+c+d)=(%+〃+/?+c+d)=(%+Q+6+C+4)/

1bx+cd00x0

1bcx+d000x

2.

-2-1-T-5-2-2

(A-2E)8=A(A-2Ey'=2-2-1,6=(A-2￡)一/=4-3-2

-111-223

3.

-1234-■)00O-

01232100

C-B=，（c-B)=

00123210

00014321

-

100O--1000

-2100-2100

[(C-B)T=X=E[(C-6)T=

1-2101-210

01-2101-21

4.

11

u——

22

11

aa=0

|卬ri\~~a--二一（2。+1）~（2Q-2）當(dāng)a=—或。=1時(shí)，向量組外,a,%線性相

822

11

————a

22

關(guān)。

5.

①當(dāng);Iwl且;Iw—2時(shí)，方程組有唯一解;

②當(dāng)；1=-2時(shí)方程組無(wú)解

③當(dāng)；1=1時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為X

6.

121312131213

4901001-4-201-4-2

(%,a2,a3,a4)=->

1—1—5-70-3-4-1000-16-16

0-3-1-70-3-1-700-13-13

100-2

0102

0011

0000

則a2,ava4)=3,其中q,a2,%構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組，a4=-2at+2a2+a3

7.

A-100

\AE-川=02-10=("1)3=0

0-22-1

0

特征值4=4=1,對(duì)于入1=1,^E-A=0

0

五、證明題

\A+I\=\A+AA|=|A|/+A[=-(/+A)'=-(/+A)

:.2|(/+A]=0,???|(/+A)=0

一、選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求）

1、設(shè)A,8為n階方陣，滿足等式A8=0,貝I」必有（）

(A)A=0或8=0;⑻A+5=0；(C)同=0或冏=0;(D)|A+M=0。

2、A和8均為〃階矩陣，且（4+8）2=屋+246+1，則必有（）

（A）A=E；（B）B=E；（C）A=8.（D）AB^BA.

3、設(shè)A為mx〃矩陣，齊次方程組Ax=0僅有零解的充要條件是（）

（A）A的列向量線性無(wú)關(guān)；（B）A的列向量線性相關(guān)；

（C）A的行向量線性無(wú)關(guān)；（D）A的行向量線性相關(guān).

4、〃階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是（）

（A）A的秩小于〃；（B）閭工0；

（0A的特征值都等于零；（D）A的特征值都不等于零；

二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿分16分）

5、若4階矩陣A的行列式⑶=-5,A*是A的伴隨矩陣，貝!J|A*卜。

6、A為/jx〃階矩陣，且—4一2E=0,貝lJ(A+2E)T=

42T

7、已知方程組23a+2x2=3無(wú)解，貝=

X

a—2Jl3y4

8、二次型/（七,》2，芻）=2片+3￥+用+2取2+2罰/是正定的，則f的取值范圍

是O

三、計(jì)算題（本題共2小題，每題8分，滿分16分）

1+x111

9、計(jì)算行列式O=|I"J'

111+y1

111\-y

10、計(jì)算〃階行列式

玉+3%2…%

』々+3…%

D”=...

為x2???x?+3

四、證明題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過(guò)程）

11＞若向量組%,%,火線性相關(guān)，向量組%,%，%線性無(wú)關(guān)。證明：

（1）能有線性表出;

(2)%不能由外,4,線性表出。

12、設(shè)A是"階矩方陣，E是〃階單位矩陣，A+E可逆，且/(A)=(E-A)(E+A)T。

證明

(1)(￡+/(A))(￡+A)=2E；

(2)/(/(A))=4。

五、解答題(本題共3小題，每小題12分，滿分32分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明或演算步驟)

’200、

13、設(shè)4=032,求一個(gè)正交矩陣尸使得P力尸為對(duì)角矩陣。

23,

+x2+x3=0

14、已知方程組<X]+2》2+如3=0與方程組/+2工2+》3=4-1有公共解。

2

X]+4X2+ax3=0

求。的值。

15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知〃/生,%是它的三個(gè)解向量,

且

求該方程組的通解。

解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題

1、C；2、D；3、A；4^Ao

二、填空題

5、-125;6、-；7、-1；8、t>-

25o

三、計(jì)算題

9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：

xx00

11-x11

D二

00yy

111l-y

x000

第二列減第一列，第四列減第三列得：?°

（4分）

00y0

101-y

按第一行展開(kāi)得

-x10

D=x0y0

01—y

按第三列展開(kāi)得

—x0

D^-xy=人2。（4分）

1y

、

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子1+3,再通過(guò)行列式的變換化

3=i7

為上三角形行列式

1…

。.缶+3廣：3…？

（4分）

1x2???+3

1々…X,,

住+3）°：°

00-??3

=3"（*>,+3）（4分）

四、證明題

11、證明：

(1)、因?yàn)?，%，％線性無(wú)關(guān)，所以%，出線性無(wú)關(guān)。，

又％,4，出線性相關(guān)，故%能由線性表出。(4分)

r(%,a2,%)=3,

(2)、(反正法)若不，則心能由四，。2，。3線性表出，

不妨設(shè)a4=kxa]+k2a2+k3a3。

由(1)知，%能由%,出線性表出，

不妨設(shè)/=t1a2+t2?3o

所以。4=匕(廿2+t2。3)+42a2+&3a3,

這表明a2,。3，。4線性相關(guān)，矛盾。

12、證明

(1)(￡+/(A))(E+A)=[E+(E-A)(E+A)-'](E+A)

=(E+A)+(E-A)(E+A)T(E+A)=(E+A)+(E-A)=2E(4分)

(2)/(/(Q)=[￡—/(A)][E+/(A)「

由(1)得：[E+/(A)「=；(E+4),代入上式得

W(A))=[JE-4)(E+A叫(E+4)=加+A)—(一)(E+A尸加+4)

=-(￡+A)--(E-/4)=A(4分)

22

五、解答題

13、解：

(1)由|花—A|=0得A的特征值為2,=1，4=2,4=5。(4分)

0、

(2)4=1的特征向量為。-1

1>

4=2的特征向量為&='，

4=5的特征向量為女（3分）

(3)因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則。，互后正交。（2分）

0

1

（4）將g單位化得Pi凸二屹（2分）

0I0

1I

取「=（P］，P2，P3）

一正0f

1

0a

正

00

(6)P^'AP020（1分）

、0057

14、解：該非齊次線性方程組Ax=8對(duì)應(yīng)的齊次方程組為

Ax=0

因R（A）=3,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有1個(gè)非零解構(gòu)成,即任何一個(gè)非零解都是它

的基礎(chǔ)解系。（5分）

另一方面，記向量J=2〃i-（%+%），則

=4(27一〃？一〃3)=24彷一Az?2—=2b-b-b=0

直接計(jì)算得4=（3,4,5,6）「HO,J就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

知，原方程組的通解為

，3、，2、

_43

x=殆+7=k$keR0(7分)

4

、6,.

15、解：將①與②聯(lián)立得非齊次線性方程組：

X1+%2+兀3=°，

xx+2X2+ax3=0,

2

+4X2+ax3=0,

$+2尤2+%=a-1.

若此非齊次線性方程組有解，則①與②有公共解，且③的解即為所求全部公共解.

對(duì)③的增廣矩陣N作初等行變換得:

"1110、‘1110、

12a001(3-10

X=->.(4分)

14a2000(a—2)(〃—1)0

J21"1,、00I—a6z—1?

1°當(dāng)。=1時(shí)，有r(A)=r(Z)=2<3,方程組③有解,即①與②有公共解，其全部公共解即

為③的通解，此時(shí)

f1010"|

(0000)

’-1、

則方程組③為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為：0

<1>

Jp

所以①與②的全部公共解為左0,a為任意常數(shù).(4分)

2°當(dāng)a=2時(shí)，有"4)=?4)=3,方程組③有唯一解，此時(shí)

"1000、

0101

001-1

、0000,

j01f01

故方程組③的解為：1,即①與②有唯一公共解.丫=1.（4分）

線性代數(shù)習(xí)題和答案

好東西

第一部分選擇題（共28分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符

合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)行列式孫3,2=m,a'3卬』，則行列式0+a^等于（）

321a22a0332]a^]a"+a23

A.m+nB.一(m+n)

C.n-mD.m-n

‘100、

2.設(shè)矩陣人=020,則A-1等于（）

<003；

1

-Oo

310o

11

o-Oo-o

A.22

O011

OO

3-

(1

-00

—002

3

010D.0-0

13

00001

'3-12、

3.設(shè)矩陣A=10-1,A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于（1,2）的元素是（)

「214>

A.-6B.6

C.2D.-2

4.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有()

A.A=0B.B聲C時(shí)A=0

C.Aw0時(shí)B=CD.IAI#0時(shí)B=C

5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（)

A.1B.2

C.3D.4

6.設(shè)兩個(gè)向量組a”a2,（^和即，g，…，6,均線性相關(guān)，則（)

A.有不全為0的數(shù)人1，A.2,入s使AIa什X.2a2+…+入sas=0和入?B1+入2B2+…As。s=0

B.有不全為0的數(shù)人1，入2,…，3使人?(a|+61)+入2(a2+82)+…+入s(as+B.)=0

C.有不全為0的數(shù)人1，A2,…，As使人］(aI)+82(az—B?)+…+入s(as-3s)=0

D.有不全為0的數(shù)人”A2)—,L和不全為0的數(shù)NI，u2,…,使入ia|+入2a2+…+、sas=0

和」1B1+U2）2+…+us0s=0

7.設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（)

A.所有r-l階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0

C.至少有?個(gè)r階子式不等于0D.所有r階子式都不為0

8.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組,”是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

B.|Oi+gL是Ax=b的一個(gè)解

A.ni+n2是Ax=o的一個(gè)解

c.n「n2是Ax=o的一個(gè)解D.2nrn2>Ax=b的一個(gè)解

9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）

A.秩（A）<nB.秩（A）=n-1

C.A=0D.方程組Ax=0只有零解

10.設(shè)A是?個(gè)n（，3）階方陣，下列陳述中正確的是（)

A.如存在數(shù)人和向量a使Aa=入a,則a是A的屬于特征值人的特征向量

B.如存在數(shù)人和非零向量a,使（人E-A）a=0,則入是A的特征值

C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同?個(gè)特征向量

D.如入X2,入3是A的3個(gè)互不相同的特征值，a（,a2,5依次是A的屬于A”X2,入3的特

征向量，則a|,a2,<13有可能線性相關(guān)

11.設(shè)入。是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入o的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k,則必有（)

A.kW3B.k<3

C.k=3D.k>3

12.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A.IAF必為1B.IA必為1

C.A-I=ATD.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC則（)

A.A與B相似

B.A與B不等價(jià)

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（)

2334

A.B.

,34.26,

‘100、?1r

C.02-3D.120

<0-35>J02>

第二部分非選擇題(共72分)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每小題的空

格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。

111

15.356=.

92536

16.設(shè)A=(；；[，B=C]；).則A+2B=-----------1

17.設(shè)A=(aijbx3，IAI=2,Ajj表示IAI中元素a.的代數(shù)余子式(i,j=l,2,3),則

(a|1A2?+a12A22+a13A23)~+(a21A21+a22A22+a23A23)~+(a31A2?+a32A22+a33A23)~=.

18.設(shè)向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關(guān)，則a=.

19.設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若山，112為非齊次線性方程組人*=1)的2個(gè)不同的解，則它的通解

為.

20.設(shè)A是mXn矩陣，A的秩為r?n),則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)數(shù)

為.

21.設(shè)向量a、B的長(zhǎng)度依次為2和3,則向量a+6與a-B的內(nèi)積(a+B,a-0)=,

22.設(shè)3階矩陣A的行列式IAI=8,已知A有2個(gè)特征值-1和4,則另一特征值為.

(0106](2、

23.設(shè)矩陣A=1-3-3,已知a=-1是它的一個(gè)特征向量，則a所對(duì)應(yīng)的特征值為一

「2108)[2)

24.設(shè)實(shí)二次型f(X|,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為

三、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)

'120、

/23-1A

25.設(shè)A=340B二.求(1)ABT；(2)I4AL

1-24

-121>

31-12

26.試計(jì)算行列式:13-4

201-1

1-53一3

試判斷a4是否為a”a2,a3的線性組合；若是,則求出組合系數(shù)。

'I-2-102

-2426-6

29.設(shè)矩陣人=0,

2-10A23

、33334,

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。

‘0-22'

30.設(shè)矩陣A=-2-34的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D,使T“AT=D.

、24-3,

31.試用配方法化卜列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

f(Xj,X2,X3)=xf+2x9-3x：+4X]X2-4X]X3-4x2X3，

并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.設(shè)是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，（，g2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系試證明

（1）n尸no+1,12=110+&2均是人*=1）的解；

（2）Ho,Hl,n?線性無(wú)關(guān)。

答案:

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題,每小題2分，共28分）

1.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

11.A12.B13.D14.C

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）

15.6

17.4

18.-10

19.ni+c(nI)(或n2+c(。2-Qi))，C為任意常數(shù)

20.n-r

21.-5

22.-2

23.1

24.Z：+Z2+Z3-7-4

三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

120V2-2、

25.解(1)ABT=34034

「121八—10>

86

=1810

、31。

(2)I4AI=43IAI=64IAI,而

12()

IAI=34()

-121

所以14Al=64?(-2)=-128

31-1251-11

-513-4-1113-1

26.解

201-10010

1-53-3-5-530

51

-11-1

-50

511

-62

-620=30+10=40.

-5-5

-5-50

27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

’223」-4-、3

(A-2E)■=1-10-5-3

<-l2L64;

-4-3V423、

所以B=(A-2E)-IA=1-5-310

64;23>

3-8-6、

2-9-6

-2129>

,-230]-53-2、

1-30-11-30-1

28.解一->

02240112

<34-19;<013-1⑵

035、<1035、

02012

■?

0088001

<00-14-14；<0000；

口002、

001

00

<0000；

所以a4=2aj+a2+a3,組合系數(shù)為（2,1,1).

—考a4=x]a1+X2a2+X3a3,

—2x]+x2+3x3=0

即X-X2=T

2x2+2x3=4

3x]+4x2—X3—9.

方程組有唯一解(2,1,1)T,組合系數(shù)為(2,1,1).

29.解對(duì)矩陣A施行初等行變換

'1-2-I02'

0006-2

0328-2

.0963-27

(1-2-102]