【課件】任意角課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

新教材人教版·高中必修第一冊數(shù)學(xué)5.1

任意角和弧度制5.1.1任意角第五章

三角函數(shù)要求1.結(jié)合實例，了解角的概念的推廣及其實際意義.2.理解象限角的概念，并掌握終邊相同角的含義及其表示．在角的概念推廣過程中，經(jīng)歷由具體到抽象，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)．前言現(xiàn)實世界中的許多運動、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性，例如：地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化，月亮圓缺，潮汐變化，物體做勻速圓周運動時的位置變化，物體做簡諧運動時的位移變化，交變電流變化等，這些現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)刻畫.復(fù)習(xí)引入

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形；問題1初中所學(xué)的角是如何定義的?角的取值范圍如何?

情景引入

追問觀察下面的實例，思考角的現(xiàn)象不同方向的齒輪旋轉(zhuǎn)三周半的翻轉(zhuǎn)概念引入（1）一、任意角的概念我們規(guī)定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角.如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角.這樣，零角的始邊與終邊重合.如果α是零角，那么α=0°.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以簡記成“α”溫馨提示時鐘正角負角概念引入（1）圖5.1-3（1）中的角是一個正角，它等于750°；圖5.1-3（2）中，正角α=210°，負角β=-150°，γ=-660°.正常情況下，如果以零時為起始位置，那么鐘表的時針或分針在旋轉(zhuǎn)時所形成的角總是負角.圖5.1-3概念理解（1）任意角的概念：一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)形成的圖形.始邊：射線的起始位置.終邊：射線的終止位置.頂點：繞其旋轉(zhuǎn)的端點.任意角正角＞0°負角＜0°零角=0°和實數(shù)類似：正角＞零角＞負角如果一個角α的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與另一個角β的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向都一樣，我們就稱這兩個角相等，稱α=β概念的理解（1）角的加法：設(shè)α，β是任意兩個角，我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應(yīng)的角是a+β.相反角：類似于實數(shù)a的相反數(shù)是-a，我們引入任意角α的相反角的概念.如圖，我們把射線OA繞端點0按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角，問題2兩個角也能像兩個實數(shù)那樣進行加減運算嗎？概念的理解（1）角的減法：像實數(shù)減法的“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有α-β=α+(-β).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.和實數(shù)同樣：α＞βα-β＞0α＜βα-β＜0問題2兩個角也能像兩個實數(shù)那樣進行加減運算嗎？概念引入(2)為了更好的研究角，我們需要有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，也為了更好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，所以我們通常把角放進直角坐標(biāo)系中進行研究.為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角，如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限.例如，圖5.1-5中的30°角、-120°角分別是第一象限角和第三象限角.圖5.1-5概念的理解（2）

1、畫出下列各角：-50°，405°，210°，-200°，450°并指出分別是第幾象限的角？第四象限角第一象限角405°=360°+45°第三象限角210°=180°+30°理解深化概念的理解(2)2、下列說法正確的是(

)A．小于90°的角是銳角B．鈍角是第二象限角C．－30°是第四象限角D．第一象限角是銳角第二象限角-200°=-180°-20°=-360°+160°軸線角450°=360°+90°答案BC解析

小于90°的角有負角或0°角，A錯，390°是第一象限角，不是銳角，D不正確，只有B、C正確．概念的理解(2)3、第二象限的角一定比第一象限的角大嗎?不一定，象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小概念引入(3)將角放在直角坐標(biāo)系中后，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應(yīng).反之，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線OB（圖5.1-6），以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？探究圖5.1-6①終邊同一位置的角有無窮多個；②這些角相差360°的整倍數(shù)。追問：所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合嗎？如果能，你會用描述法寫出來嗎？概念引入(3)圖5.1-6328°=-32°+k×360°(k∈Z)(這里k=？)-392°=-32°+k×360°(k∈Z)(這里k=？)設(shè)S={?|?=-32°+k360°，k∈Z}，則328°，-392°角都是S的元素，-32角也是S的元素（此時k=_）.k=1k=-1因此，所有與-32°角終邊相同的角，連同-32角在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素顯然與-32°角的終邊相同.k=0概念引入(3)

溫馨提醒利用終邊相同的角的一般形式可以求出符合某些條件的終邊相同的角，注意“k∈Z”這一條件．

問題3概念的理解(3)

問題4概念的理解(3)

問題4概念的理解(3)終邊

落在x軸的正半軸

S={α|α=

k360°，k∈Z}終邊

落在x軸的負半軸

S={α|α=

180°+k360°,k∈Z}

終邊

落在x軸所有角的集合α=

k360°=2k

180°α=

180°+k360°=(2k+1)180°n為偶數(shù)時終邊

落在x軸的正半軸

n為奇數(shù)時終邊

落在x軸的負半軸

S={α|α=

n180°,n∈Z}鞏固與練習(xí)套用終邊相同角的表示形式，關(guān)鍵確定k值。追問：如果將0°~360°改為-360°~0°結(jié)果如何？鞏固與練習(xí)鞏固與練習(xí)終邊

落在x軸的正半軸

S={α|α=

k360°，k∈Z}終邊

落在x軸的負半軸

S={α|α=

180°+k360°,k∈Z}

問題4終邊

落在x軸所有角的集合α=

k360°=2k

180°α=

180°+k360°=(2k+1)180°n為偶數(shù)時終邊

落在x軸的正半軸

n為奇數(shù)時終邊

落在x軸的負半軸

S={α|α=

n180°,n∈Z}鞏固與練習(xí)鞏固與練習(xí)深化與思考四個象限角的集合分別怎樣表示?問題5思考第三象限角的集合這樣表示可以嗎？(180°+k360°，-90+k360°)(k∈Z)深化與思考表示區(qū)間(域)角的三個步驟第一步：先按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界