概率論大數(shù)定律及其應(yīng)用

概率論大數(shù)定律及其應(yīng)用率論基礎(chǔ)結(jié)課論文摘要：歷史上第一個定理屬于，后人稱之為“”。概率論中討論的向的定律。概率論與數(shù)理的基本定律之一，又稱弱大數(shù)理論。大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)—平均結(jié)果的穩(wěn)定性，它是概率論中一個非常重要的定律，是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的具體表現(xiàn)，應(yīng)用很廣泛。本文介紹了幾種常用的大數(shù)定律，并分析了它們在理論與實際中的應(yīng)用。大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，這個規(guī)律就是大數(shù)定律，通俗的說，這個定律就是在試驗不變的條件下，重復(fù)試驗多次，隨機事件的頻率以概率為穩(wěn)定值。數(shù)的增多，事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，人們在實踐中觀察其他的一些隨機現(xiàn)象時，也常常會發(fā)現(xiàn)大量隨機個體的平均效果的穩(wěn)定性。這就是說，無論個別隨機個體以及它們在試驗進行過程中的個別特征如何，大量隨機個體的平均效果與每一個再是隨機的。深入考慮后，人們會提出這樣的問么條件下具有穩(wěn)定性這就是我們大數(shù)要研究的問規(guī)律的學(xué)科，而隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性只有在具有穩(wěn)定性，它的穩(wěn)定性會隨著試驗次數(shù)的增多表在在實驗進行中的個別特征無關(guān)，且不再是隨機含義，并且給出了什么條件下才具有穩(wěn)定性。那題有哪些實際意義呢這就是我們在下面將要了解到率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的科學(xué),而隨機計規(guī)律性只有在相同條件下進行大量重復(fù)試驗或觀察才呈現(xiàn)出來.從概率的事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性,即隨著試驗次數(shù)的增多,事件頻率逐漸穩(wěn)定在某個常數(shù)附近.人們在實踐中觀察其他一些隨機現(xiàn)象時,也常常會發(fā)現(xiàn)大量隨機個體的平均效果的穩(wěn)定性.這就是說,無論個別隨機個體以及它們在試驗進的個別特征如何,大量隨機個體的平均效果與每一個體的特征無關(guān),且不再是隨機的.深入考慮后,人們會提出這樣的問題:穩(wěn)定性的確切含義是什么在什么條件下具有穩(wěn)定性這就是大數(shù)定律要研究的問題.布。拉普拉斯改進了他的證明并把二項分布推廣為更一無規(guī)律可循，但不少卻是有規(guī)律的，這些“有發(fā)展，隨機變量序列服從大數(shù)定律的證明，出現(xiàn)雪夫大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律就是切比雪夫大獨立同分布的辛欽大數(shù)定律等常用的大數(shù)定律。largenumbers是注意到，雖然通常最常見的稱呼是大數(shù)“定律，而是了的定理。有些無規(guī)律可循，但不少是有”數(shù)學(xué)家伯努利在大量重復(fù)出現(xiàn)的條件下，往往律就是大數(shù)定律。確切的說大數(shù)定律是以確切的數(shù)即頻率的穩(wěn)定性和平均結(jié)果的穩(wěn)定性，并討論了它理就是“當試驗次數(shù)足夠多時，事件發(fā)生的頻率無舉例說明：例如，在重復(fù)投擲一枚硬幣的中，觀測投擲了n次硬幣中出現(xiàn)正面的nn能不同，但當同的重量數(shù)值，但它們的一般來說將隨稱量次數(shù)的造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字)，法國數(shù)學(xué)家。德莫佛對數(shù)學(xué)最著名的貢獻是德莫佛公式(deMoivreFormula)和德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，以及他對正態(tài)分布和概率理論的研究。機主義者(gambler)高度贊揚。德莫佛是和概率理論的先驅(qū)之一；他還最早發(fā)現(xiàn)了。的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個穩(wěn)率收斂于事件的概率p，這個定理以嚴格的數(shù)學(xué)形的穩(wěn)定性。就是說當n很大時，事件發(fā)生的頻率于概率有較大偏差的可大數(shù)定律、強大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。limPnncnn，記作n)wnnn定義2設(shè)有隨機變量n和一列隨機變量{n}，nn ，若n1,2n)wnnnan1,2n)w(ni))) i定義4設(shè)有隨機變量n和隨機變量序列{n}的r階原點矩Enr、Enrnn(n=1,2……)存在，其中r>0，若limEn-nr=0則稱nr次平均收斂到n。記作n)wnnnnnninin)wlnikkJniknik上述兩個大數(shù)定律要注意，強大數(shù)定律和弱大數(shù)定律區(qū)別不僅僅是一個法則的不同，不能簡單的把極限符號lim從概率號P()中移出來，弱大數(shù)定律描述的是一n)w列概率的收斂性，而強大數(shù)定律說的是一列隨機變量收斂到一個常數(shù)，也正是這點，保證了用事件出現(xiàn)的頻率來作為事件概率的估計的正確性。大數(shù)定律形式有很多種，我們僅介紹幾種最常用的大數(shù)定律。nppVc0，有定理3(切比雪夫大數(shù)定律)設(shè),,是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量,又i 在上述的定理中，因為用到切比雪夫不等式，都有對方差的要求，其實方差這個將該定律應(yīng)用于，就會有如下結(jié)論：隨著的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為中依據(jù)樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)提供了理論依據(jù)。n該定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例，其含義是，當n足夠大時，事件A出現(xiàn)in)w(ni=1i) ii=1i=1n)wnii=1i=1收斂于.nn12n泊松大數(shù)定律是伯努利大數(shù)定律的推廣，伯努利大數(shù)定律證明了事件在完全相同的條件下重復(fù)進行的隨機試驗中頻率的穩(wěn)定性；而泊松定理表明，當獨立進行的隨機試驗的條件變化時，頻率仍然具有穩(wěn)定性：隨n著的無限增大，在n次獨立試驗中，事件A的頻率趨于穩(wěn)定在各次試驗中事出現(xiàn)概率的算術(shù)平均值附近。則有一些應(yīng)用之一，而它與其他數(shù)學(xué)理論也有密不，是大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果穩(wěn)定于數(shù)定律是利用極限才得出的，同時利用大數(shù)定律可以來極限方法之一，但也有它獨特的簡潔和巧妙。就以大數(shù)例子，用它來對我們要求的重積分和極限相關(guān)的問題進隨重積分出現(xiàn)的類型在高數(shù)中是常見的，在利用大數(shù)定設(shè)(1){f}是可測集E上的可測函數(shù)列；n(2)f(x)共F(x)a.e于E(n=1，2，…..，)且F(x)在E上可積分(稱n{f}為F(x)所控制，而F(x)叫控制函數(shù))；n(3)f(x)亭f(x)；n則f(x)在E上可積分且limjf(x)dx=jf(x)dx；nEnE0012n1nn12n12n又n2即nkkkk12n12n根據(jù)勒貝格控制收斂定理可知：12n業(yè)1nn業(yè)業(yè)12nA:與互素；1中的重積分和極限收斂問題有它簡潔的一1、大數(shù)定律在級數(shù)上的應(yīng)用大數(shù)定律在求解無窮級數(shù)上也有很大的作用，它為一些定理和固定公式的理論證明提供另一種有趣而且也有用的辦法。下面我們就引用一個很著名的問題來展現(xiàn)大數(shù)定律在級數(shù)中的應(yīng)用：伯努利是一位偉大而且著名的數(shù)學(xué)家，但是他也被一個在現(xiàn)在已經(jīng)解決的問題難住了：一個求級數(shù)和的問題。1111求自然數(shù)倒數(shù)平方的級數(shù)和：1++++......+.....。223242n211112223242n2611112223242n262A:a與b有公因子3；3qqi有因子q，那么a必定是q的倍數(shù)，那也可知P(a是q的倍數(shù))=1。q同理也有P(b是q的倍數(shù))=1，那么P(a、b有公因子q)=1。由對立事件知道qq2qq21212qq21212xw1"2n2nn nn2nininn1n2n2于是就有P(M)=1=6。21xw1"2n2n=1因此在如此多的自然223242n262、多項式逼近連續(xù)函數(shù)的構(gòu)思,證明清晰明了。作者在文獻[6]中利用非齊次馬氏鏈強大數(shù)定律構(gòu)造了一類奇異單調(diào)函數(shù),而非借助于傳統(tǒng)的Cantor展式。尤其多項式逼近連續(xù)函數(shù)中也容易注意到近似多項式富有意義的構(gòu)造。下面類似的方法可用來較易地構(gòu)造一些熟悉的分析結(jié)果。Bx12么x12122122nB(x)=Ef(1)nnnnnnnnnnnnnnnn=f(m)f(x)Cmxm(1x)nm+f(m)f(x)Cmxm(1x)nmnnnnmxmxnnnnPnxPnx，n24k22n只見是相互滲透的，大數(shù)定律在數(shù)學(xué)理論中的應(yīng)用也不僅等數(shù)學(xué)的問題上也有很好的催化作用，大數(shù)定律在信息論信息序列的漸近等分性質(zhì)就是一個體現(xiàn)。下面主要看大數(shù)保險動機的產(chǎn)生，而大數(shù)定律就是這大廈最重要的基石之眾多企業(yè)或者個人的風(fēng)險，建立抵御風(fēng)險的是為了避險，當然也有利潤這只無形的手的驅(qū)展下去，壯大起來。同時大數(shù)定律不僅僅用于計要用來計算產(chǎn)生的利潤的合理范圍。為了抵御風(fēng)么這些企業(yè)或者個人是如何愿意自己交出保險費了自己的利益著想，不但是避險，也是一種投Z，該企業(yè)只能投入的資金ZZ單位。1假設(shè)企業(yè)投入資金與所得利潤之間的函數(shù)關(guān)系為f(Z)，顯然有f(Z)f(ZK)，1，也是保險業(yè)產(chǎn)生的基繼續(xù)某項生產(chǎn)活動，在這里看來，風(fēng)險的發(fā)iiXX取值0Zi11的數(shù)學(xué)期望為E(X)=ZP。i11n)w(ni=1i1)n)w(ni=1i1)立的，當風(fēng)險發(fā)生時預(yù)計得到補償?shù)钠骄蹬c其各自的期望值之差，可以像事先約定n1t22"1t22"2nkkn11D=xn(f(Z)-f(Z-Z))。ii1iD=xn(f(Z)-f(Z-PZ))。2ii111綜上所述，企業(yè)參加社會保險的動機便是在于參加社保比自保更加的有利，利潤的驅(qū)使，這也是企業(yè)參加保險的重要動機，因此保險業(yè)這個行業(yè)以存在和發(fā)展，也發(fā)展了眾多的保險公司。保險公司同樣也需要評估是否可保的問題，上面的敘述可以得知，可保的條件1、風(fēng)險事故造成的損失應(yīng)當是可以估計的。2、有大量獨立的同質(zhì)風(fēng)險單位存在，即是各風(fēng)險單位遭遇風(fēng)險事故造成損失的概率和損失規(guī)模大致相近，同時各風(fēng)險單位要相互獨立，相互的發(fā)生不會產(chǎn)生影響。這些都是大數(shù)定律的基本要求。大數(shù)定律是保險業(yè)經(jīng)營的一個重要數(shù)理基礎(chǔ)，大數(shù)定律的原作，可以將個別風(fēng)險單位遭遇損失的不確定性，轉(zhuǎn)化為風(fēng)險單位集合的損失的確定性。由于與損失金額的預(yù)測具有相關(guān)性，大數(shù)定律的運用直接關(guān)系到補償或給付的實現(xiàn)程度與保險經(jīng)營的穩(wěn)定性。下面分成幾個方面來闡述大數(shù)定律在保險業(yè)中的一些應(yīng)用。定律為例，該極限定理運用到保險行業(yè)，相當于有n個投保人或被保險人，同時投保了n個相互獨立的保險標的，用表示每個標的實際發(fā)生損失的i大小。其中，E()為理論上每個投保人應(yīng)繳納的純保費，1n為平均每個被保險人in