第二知識(shí)塊基本初等函數(shù)易錯(cuò)及熱點(diǎn)知識(shí)分析

第二知識(shí)塊基本初等函數(shù)易錯(cuò)及熱點(diǎn)知識(shí)分析備考指南1、考查有關(guān)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的試題，從試題上看，抽象函數(shù)和具體函數(shù)都有，有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢(shì)，另外試題注重對(duì)轉(zhuǎn)化思想的考查，且都綜合地考查單調(diào)性與奇偶性；2、考查與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力；3、考查與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的試題.對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理來解決；4、加強(qiáng)函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的考查是高考的一個(gè)重點(diǎn).善于轉(zhuǎn)化命題，引進(jìn)變量建立函數(shù)，運(yùn)用變化的方法、觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)試題以提高數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展能力；5、注意與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查函數(shù)的性質(zhì)；6、函數(shù)的應(yīng)用，是與實(shí)際生活結(jié)合的試題，應(yīng)加強(qiáng)重視。易錯(cuò)、熱點(diǎn)知識(shí)及其學(xué)法指導(dǎo)1、映射與函數(shù)的概念及表示方法，在高考中主要是體現(xiàn)在映射與函數(shù)的概念的考查，直接求構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)、函數(shù)的定義域、解析式等基本問題，或者與函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合命題，題型以選擇題和填空題為主，通常以函數(shù)為背景，結(jié)合不等式、方程、數(shù)列等知識(shí)處理綜合性問題，同時(shí)考查實(shí)際問題中的建模能力。分段函數(shù)在復(fù)習(xí)中也要引起足夠的重視；2、函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）是函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，尤其是單調(diào)性、奇偶性問題，以性質(zhì)為載體考查數(shù)列、三角、方程、不等式等有關(guān)知識(shí)的最值問題是高考的重點(diǎn)。確定函數(shù)的最值貫穿于高中數(shù)學(xué)中的各個(gè)章節(jié)，有時(shí)求函數(shù)的最值可借助求函數(shù)的值域求解，求函數(shù)的值域可涉及許多知識(shí)與方法的參與和應(yīng)用，求解過程可鍛煉對(duì)各種函數(shù)式的適當(dāng)變形及化簡(jiǎn)能力，從而提高解決問題的隨機(jī)應(yīng)變能力。求函數(shù)最值問題一般綜合性較強(qiáng)，對(duì)能力要求較高，解法靈活多變，涉及到許多數(shù)學(xué)思想方法（比如配方法、導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法，換元法等），不同章節(jié)的內(nèi)容求最值的題型方法不一樣。函數(shù)圖象是形與數(shù)的有機(jī)結(jié)合，函數(shù)圖象中試圖、作圖、用圖是生活、生產(chǎn)、學(xué)習(xí)其他知識(shí)知識(shí)必需具備的能力，以圖象背景這種考查函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)，函數(shù)圖象多數(shù)以客觀題為主，有時(shí)涉及抽象函數(shù)，可將抽象函數(shù)具體化處理，是高考考查的熱點(diǎn)。研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意將具體函數(shù)有關(guān)知識(shí)進(jìn)行延伸與綜合，值得重視導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的性質(zhì)；3、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)作為基本初等函數(shù)，高考中對(duì)這一部分的考查主要以基礎(chǔ)知識(shí)為主，考查數(shù)值的計(jì)算、函數(shù)值的求法、數(shù)值的大小比較、圖象與性質(zhì)等，主要是以客觀題題型出現(xiàn)，也有可能結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程與不等式等內(nèi)容結(jié)合，以綜合問題形式出現(xiàn)。對(duì)于冪函數(shù)僅對(duì)常見的5種形式掌握即可，平時(shí)訓(xùn)練時(shí)不宜做難度較高的習(xí)題，對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)不要做較深度的探討（尤其是不應(yīng)對(duì)冪指數(shù)的討論來加深對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)的探討）；4、函數(shù)與方程中的函數(shù)的零點(diǎn)及性質(zhì)、二分法是新增內(nèi)容，它其實(shí)是函數(shù)與方程的一部分，這將成為高考命題的熱點(diǎn)。至于二分法求近似值，在高考中沒有引入計(jì)算器的使用，估計(jì)考解答題的可能性不大。針對(duì)二分法的解題思想考查，有可能以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。對(duì)于零點(diǎn)性質(zhì)應(yīng)注意與函數(shù)方程相聯(lián)系，借助零點(diǎn)性質(zhì)研究函數(shù)圖象與確定方程根的問題，應(yīng)引起注意；5、函數(shù)模型及其應(yīng)用是高考的重點(diǎn)，以解答題為主考查數(shù)學(xué)建模能力，綜合性強(qiáng)，題目多是以中、高檔題出現(xiàn)，來考查利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，幾種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的應(yīng)用可能會(huì)成為今后高考命題的生長(zhǎng)點(diǎn)；6、函數(shù)綜合性問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，即可涉及數(shù)列、方程、不等式等知識(shí)，又可滲透到三角、立體幾何和解析幾何，甚至呈現(xiàn)于概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)當(dāng)中，更有題源豐富的函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，跨學(xué)科的綜合應(yīng)用更是函數(shù)的鮮明特征。求解函數(shù)綜合問題能促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通，也能使邏輯思維能力得到較全面的訓(xùn)練。在復(fù)習(xí)時(shí)，必須將全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且仔細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其是挖掘題目中的隱含條件。認(rèn)真分析處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，抽象問題的實(shí)質(zhì)，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法，逐步將生疏、復(fù)雜、抽象問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單、具體的基本問題來解決。錯(cuò)解剖析易錯(cuò)點(diǎn)一：求函數(shù)定義域例1、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域錯(cuò)解：由于函數(shù)的定義域?yàn)?，即，∴的定義域是錯(cuò)因：對(duì)函數(shù)定義域理解不透，不明白與定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實(shí)在這里只要明白：中取值的范圍與中式子的取值范圍一致就好了.正解：由于函數(shù)的定義域?yàn)?，即∴滿足，∴的定義域是誤區(qū)分析：復(fù)合函數(shù)中定義域的求法：在復(fù)合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是由內(nèi)層函數(shù)決定的，即已知的定義域?yàn)?，求的定義域方法是利用，求得的范圍即為函數(shù)的定義域。而已知的定義域，求函數(shù)的定義域，即由求出x.易錯(cuò)點(diǎn)二：分段函數(shù)問題例2、已知：，求.錯(cuò)解：∵，∴故，∴＝3－3＝0.錯(cuò)因：沒有理解分段函數(shù)的意義，的自變量是3，應(yīng)代入中去，而不是代入－5中，只有將自變量化為不小于6的數(shù)才能代入解析式求解.正解：∵，∴＝＝＝7-5＝2易錯(cuò)點(diǎn)三：函數(shù)單調(diào)性判斷例3、已知在[0，1]上是的減函數(shù)，則的取值范圍是錯(cuò)解：∵是由，復(fù)合而成，又＞0∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1錯(cuò)因：錯(cuò)因：解題中雖然考慮了對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在[0，1]上有意義.正解：∵是由，復(fù)合而成，又＞0∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1又由于在[0，1]上時(shí)有意義，又是減函數(shù)，∴＝1時(shí)，取最小值是＞0即可，∴＜2綜上可知所求的取值范圍是1＜＜2誤區(qū)分析：概念不清，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，而復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間），仍是從基礎(chǔ)函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化.當(dāng)然這個(gè)函數(shù)可化為，從而可判斷出其單調(diào)性.易錯(cuò)點(diǎn)四：求函數(shù)奇偶性例4、判斷的奇偶性.錯(cuò)解：∵∴且所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)錯(cuò)因：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改為研究f(-x)+f(x)=0，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵＝＝＝－∴是奇函數(shù)方法二：∵＝∴是奇函數(shù)誤區(qū)分析：函數(shù)奇偶性的判斷方法：首先看函數(shù)定義域，一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不具備函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，再由函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判斷，在用定義判斷時(shí)注意自變量在定義域中的任意性，再由函數(shù)定義分四類：函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)。易錯(cuò)點(diǎn)五：指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算例5、已知求錯(cuò)解：∵∴∴錯(cuò)因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完.正解：∵∴∴易錯(cuò)點(diǎn)六：抽象函數(shù)例6、設(shè)函數(shù)是定義R在上的函數(shù)，對(duì)任意m,n恒有，且當(dāng)時(shí)。（1）求證：（2）求證：x時(shí)，>0（3）求證：在R上是減函數(shù)。錯(cuò)因分析：忽視條件導(dǎo)致論證不嚴(yán)謹(jǐn)或推理論證錯(cuò)誤，這樣在（1）中就會(huì)出現(xiàn)的可能，此時(shí)無法確定的值，（2）(3)中就缺少了推理論證的依據(jù)，導(dǎo)致不嚴(yán)謹(jǐn)和錯(cuò)誤。正確解析：（1）取，則，因?yàn)椋?。?）設(shè)，則，由條件可知，又因?yàn)?，所以。所以?dāng)時(shí)，恒有>0。（3）設(shè)，則因?yàn)椋?，所以即。又因?yàn)?，所以。所以，即該函?shù)在R上是減函數(shù)。誤區(qū)分析;解答抽象函數(shù)問題注意用賦值法找到函數(shù)的不變性質(zhì)，而這個(gè)不變性質(zhì)往往使問題解決的突破口，注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，每一步的推理都要有充分的條件，不可漏條件，更不能臆造條件。易錯(cuò)點(diǎn)七：函數(shù)的零點(diǎn)例7、函數(shù)=有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是ABCD錯(cuò)因分析：解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是分類討論應(yīng)用不當(dāng)，零點(diǎn)定理應(yīng)用不當(dāng)。正確解析：當(dāng)m=0時(shí)，為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，若，顯然不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程==0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即，即。誤區(qū)分析：函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且，那么函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)c也是方程=0的根，此即為零點(diǎn)定理。注意函數(shù)有’變號(hào)零點(diǎn)”也有“不變號(hào)零點(diǎn)”，零點(diǎn)定理只能處理變號(hào)零點(diǎn)，而變號(hào)零點(diǎn)另行討論.易錯(cuò)點(diǎn)八：函數(shù)綜合應(yīng)用例8、在一個(gè)交通擁擠及事故易發(fā)生路段，為了確保交通安全，交通部門規(guī)定，在此路段內(nèi)的車速v（單位：km/h）的平方和車身長(zhǎng)（單位：m）的乘積與車距d成正比，且最小車距不得少于半個(gè)車身長(zhǎng).假定車身長(zhǎng)均為（單位：m）且當(dāng)車速為50（km/h）時(shí)，車距恰為車身長(zhǎng)，問交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使在此路段的車流量Q最大？(車流量=)錯(cuò)解：，將，代入得，∴，又將代入得，由題意得（）將Q==（）∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，綜上所知，（km/h）時(shí)，車流量Q取得最大值.錯(cuò)因：上述解法中結(jié)果雖然正確，但解題過程中是錯(cuò)誤的，即雖然車速要求，但在行駛過程中車速有可能低于25（km/h），所以解題材中應(yīng)分兩類情形求解，得分段函數(shù).正解：（1）依題意，則顯然當(dāng)時(shí)，Q是關(guān)于的增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，Q==當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，