第06講 分式（知識點梳理）（記誦版）-【學霸計劃】【2022年】中考數學大復習（知識點·易錯點·題型訓練·壓軸題組）

第06講分式知識點梳理考點01分式一、分式的概念1.概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，A叫作分子，B叫作分母。2.分式的三個要素：（1）形如的式子；（2）A，B是整式；（3）分母B中含有字母。3.分式有意義的條件：分母不等于0。4.分式無意義的條件：分母等于0.5.分式的值為0的條件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。二、分式的基本性質1.分式的意義：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。2.用式子表示：，其中A，B，C均為整式。三、分式的約分、最簡分式1.分式的約分：根據分式的基本性質，把一個分式的分子、分母的公因式約去，叫作分式的約分。2.分式約分的依據：分式的基本性質。3.約分的方法：（1）先確定分式的分子、分母的公因式，當分子、分母都是單項式時，分子、分母的公因式是分子、分母系數的最大公約數和相同字母的最低次冪的積；當分子、分母是多項式時，應先將多項式因式分解，再根據確定公因式的方法確定公因式；（2）根據分式基本性質，分子分母都除以它們的公因式；（3）最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫作最簡分式。4.分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結果成為最簡分式或整式。四、分式的通分、最簡公分母1.分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。2.通分的依據：分式的基本性質。3.最簡公分母：異分母的分式通分時，一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫作最簡公分母。4.確定最簡公分母的方法：（1）取各分母的系數的最小公倍數；（2）各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到；（3）相同字母（或因式）的冪取指數最大的；（4）所得系數的最小公倍數與各字母（或因式）的最高次冪的積即為最簡公分母。5.約分與通分的聯系與區(qū)別（1）聯系：約分與通分都是根據分式的基本性質，對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值；（2）區(qū)別：約分是針對一個分式來說的，而通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式?？键c02分式的運算一、分式的乘除1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。用式子表示：；2.分式乘法運算的結果需通過約分化為最簡分式或整式；當分式與整式相乘時，要把整式與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變；分式的分子或分母的系數是負數時，一般把負號提到分式前面；分式與分式相乘，若分子、分母是單項式，可先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式；若分子、分母是多項式，先把分子、分母分解因式看能否約分，然后相乘。3.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。用式子表示：。4.分式的除法運算結果要通過約分化為最簡分式或整式的形式；當除式（或被除式）是整式時，可以看作分母是1的式子，然后按分式除法法則計算；乘除混合運算，一般按從左到右的順序進行，也可以將除法轉化為乘法后，根據乘法交換律、結合律簡化運算。5.分式的乘方（1）法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方；（2）用式子表示：；二、分式的加減1.同分母分式相加減：（1）法則：分母不變，把分式相加減；（2）式子表示：；2.異分母分式相加減：（1）法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。（2）式子表示：3.同分母分式的加減運算的關鍵是分子的加減運算，分子加減時要將其作為一個整體進行加減，當分子是多項式時，要添括號；異分母分式加減運算的關鍵是先通分，轉化為同分母的分式相加減，再根據同分母分式加減法進行運算；分式加減運算的結果要化為最簡分式或整式。三、整數指數冪1.概念：一般地，當是正整數時，。2.當為整數時，，，所以。3.；。4.科學記數法：用科學記數法表示絕對值小于1的數時，可以表示為的形式，其中，為原數左起第一個不為零的數字前面所有零的總個數（包括小數點前面的那個零）。5.分式的混合運算：分式的四則混合運算與有理數的混合運算相同，必須按照運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號時先去小括號再去中括號，最后結果要化為最簡分式或整式。考點03分式方程1.分式方程的概念：分母中含未知數的方程叫作分式方程。2.分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知數。3.分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是去分母，將分式方程化為整式方程；（2）解分式方程的一般步驟：①去分母：在方程兩邊同乘以最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程；②解方程：解這個整式方程；③檢驗：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的根是原方程的根；使最簡公分母等于0的根不是原方程的根，必須舍去。4.分式方程的增根（1）增根的定義：在方程兩邊都乘以一個含未知數的最簡公分母時，擴大了未知數的取值范圍；有時可能產生不合適原方程的根，這種根叫方程的增根。（2）分式方程產生增根的原因：解方程時，總是將方程兩邊同乘以含有未知數的整式（即最簡公分母），將分式方程化為整式方程，當所乘的這個整式不為0時，所得的整式方程與原方程同解，當所乘的整式為0時，原方程中的分式無意義，求出來的根就是增根。（3）增根的特點：增根是原分式方程轉化成整式方程后所產生的根，增根必定使各分式的最簡公分母的值等于0.考點04分式方程的應用1.解分式方程的步驟：（1）審清題意；（2）找出等量關系；（3）設未知數；（4）列出分式方程；（5）解這個分式方程；（6）既要檢驗所得未知數的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗其是否符合題意；（7）寫出答案；2.用分式方程解應用題的常見題型（1）行程問題：有路程、時間和速度3個量，其關系式是“路程=速度×時間”，一