數(shù)學形態(tài)學資料

數(shù)學形態(tài)學資料第1頁/共58頁數(shù)學形態(tài)學數(shù)學形態(tài)學是一門建立在嚴格數(shù)學理論基礎上，分析研究空間結構的形狀、框架的學科。它主要以積分幾何、集合代數(shù)及拓撲論為理論基礎，此外還涉及隨即集論、盡世代數(shù)和圖論等數(shù)學分支，理論很復雜，被稱為“驚人的數(shù)學”。但它的基本思想簡單完美。

牛牛文庫文檔分享第2頁/共58頁數(shù)學形態(tài)學的概念基本思想：用具有一定形態(tài)結構的結構元素去量度和提取圖像中的對應形態(tài)以達到對圖像分析和識別的目的。數(shù)學形態(tài)學的數(shù)學基礎和所用語言是集合論。

牛牛文庫文檔分享第3頁/共58頁基本集合定義①集合（集）：具有某種性質(zhì)的、確定的、有區(qū)別的事物的全體（它本身也是一個事物）。常用大寫字母如A，B，...表示。如果事物不存在，就稱這種事物的全體是空集。記為φ。②元素：構成集合的每個事物。常用小寫字母如a,b,...表示.③子集：當且僅當集合A的元素都屬于集合B時，稱A為B的子集。

牛牛文庫文檔分享第4頁/共58頁基本集合定義④并集：由A和B的所有元素組成的集合稱為A和B的并集。⑤交集：由A和B的公共元素組成的集合稱為A和B的交集。⑥補集：A的補集記為AC。定義為：⑦差集：兩個集合A和B的差，定義為：

牛牛文庫文檔分享第5頁/共58頁基本集合定義⑧位移：設A是一幅數(shù)字圖象，a是A的元素，b是一個點，定義A被b平移后的結果為：

⑨映像（也稱反射，映射）A關于原點的映像定義為：

牛牛文庫文檔分享第6頁/共58頁基本集合定義⑩結構元素：被形象的稱作刷子，是膨脹和腐蝕操作的最基本組成部分，用于測試輸入圖像。根據(jù)不同的圖像分析目的，常用的結構元素有方形、扁平行、圓形等。結構元素的大小可以變化，但結構元素的尺寸一般要明顯小于目標圖像的尺寸。結構元素可攜帶形態(tài)、大小、灰度、色彩等信息。

牛牛文庫文檔分享第7頁/共58頁二值形態(tài)學的基本運算二值圖像是數(shù)字圖像的重要子集，二值形態(tài)學中的運算對象是集合，一般設A為圖像集合，B為結構元素，數(shù)學形態(tài)學運算是用B對A進行操作。

牛牛文庫文檔分享第8頁/共58頁數(shù)學形態(tài)學最基本的形態(tài)學運算有：膨脹：dilation腐蝕:erosion開啟:opening閉合:chosing

牛牛文庫文檔分享第9頁/共58頁膨脹膨脹的運算符為，A用B來膨脹寫作AB，定義為：先對B做關于原點的映射，在將其映射平移x,這里A與B映射的交集不為空集。也就是B的映射的位移與A至少有1個非零元素相交時B的原點位置的集合。

牛牛文庫文檔分享第10頁/共58頁膨脹運算的圖解圖（a）中陰影部分為集合A，圖B中陰影部分為結構元素B（標有”+”處為原點）。

牛牛文庫文檔分享第11頁/共58頁膨脹是在結構元素的約束下，將與物體接觸的部分背景點合并到該物體之中的過程。運算結果使物體的面積增大了相應數(shù)量的點。例如，假設結構元素是半徑為r個象素的小圓，被作用的物體是一個大圓。膨脹運算的結果是沿大圓邊界向外增長了r個象素的寬度，即直徑增加2r。如果被作用的圖像中有兩個相臨的物體在某一處相隔少于2r+1，膨脹的結果將使這兩個物體在該點連通，合并成為一個物體。

牛牛文庫文檔分享第12頁/共58頁腐蝕腐蝕的運算符為，A用B來腐蝕，寫作AB，定義為：上式表明，A用B腐蝕的結果是所有滿足將B平移后，B仍舊全部包含在A中的x的集合,也就是B經(jīng)過平移后全部包含在A中的原點組成的集合。

牛牛文庫文檔分享第13頁/共58頁腐蝕運算的圖解深色陰影部分為AΘB（淺色為原屬于A現(xiàn)腐蝕掉的部分）?？梢姼g將區(qū)域縮小了。

牛牛文庫文檔分享第14頁/共58頁腐蝕是在結構元素的約束下，消除物體的部分邊界點的一種過程。運算結果使物體的面積減少了相應數(shù)量的點。例如，假設結構元素是半徑為r個象素的小圓，被作用的物體是一個大圓。膨脹運算的結果是沿大圓邊界向內(nèi)減少了r個象素的寬度，即直徑減少2r。如果被作用的圖像中的物體在某一處寬度少于2r+1，腐蝕的結果將使物體在該點斷開，合裂成為兩個物體。在任何方向?qū)挾炔淮笥?r個象素的物體將被消除。因此，腐蝕運算將一幅圖像中除去小且無意義的物體，突出主要感性趣目標。

牛牛文庫文檔分享第15頁/共58頁原點不包含在結構元素中的運算對膨脹運算,總有對腐蝕運算,總有當原點不包含在結構元素中,對膨脹運算來說只有對腐蝕運算來說,有兩種可能,或者

牛牛文庫文檔分享第16頁/共58頁原點不包含在結構元素中的膨脹運算示例:

牛牛文庫文檔分享第17頁/共58頁原點不包含在結構元素中的膨脹運算示例:

牛牛文庫文檔分享第18頁/共58頁原點不包含在結構元素中的腐蝕運算示例:

牛牛文庫文檔分享第19頁/共58頁原點不包含在結構元素中的腐蝕運算示例:

牛牛文庫文檔分享第20頁/共58頁腐蝕與膨脹的關系膨脹和腐蝕一個使圖像物體增大，另一個使圖像物體減小，二者之間并非逆運算的關系。但這兩種形態(tài)運算之間存在對偶性(Duality)。一個對圖像目標的操作相當于另一個運算對圖像背景的操作。

牛牛文庫文檔分享第21頁/共58頁a)原始圖像b)腐蝕圖像c)膨脹圖像

牛牛文庫文檔分享第22頁/共58頁開啟和閉合膨脹和腐蝕是兩種基本的形態(tài)運算，它們可以組合成復雜的形態(tài)運算，比如開啟和閉合運算等。開啟：使用同一個結構元素對圖像先進行腐蝕運算然后在進行膨脹的運算稱為開啟。閉合：先進行膨脹運算然后在進行腐蝕的運算稱為閉合。

牛牛文庫文檔分享第23頁/共58頁開啟開啟的運算符為“?”，A用B來開啟記為A?B。定義如下：用來消除小對象物、在纖細點處分離物體、平滑較大物體的邊界的同時并不明顯改變其體積。

牛牛文庫文檔分享第24頁/共58頁

a)輸入圖像Ab)結構元素Bc)d)

用圓盤對輸入圖像開運算的結果

牛牛文庫文檔分享第25頁/共58頁開運算濾除背景噪聲

a)原圖b)開運算結果

牛牛文庫文檔分享第26頁/共58頁閉合閉合的運算符為“?”，A用B來閉合記為A?B。定義如下：它具有填充圖像物體內(nèi)部細小孔洞、連接鄰近的物體，在不明顯改變物體的面積和形狀的情況下平滑其邊界的作用。

牛牛文庫文檔分享第27頁/共58頁

(a)輸入圖像(b)閉運算的結果

利用閉運算去除前景噪聲

牛牛文庫文檔分享第28頁/共58頁

A

B

用腐蝕和膨脹運算得出的三種圖像邊界

牛牛文庫文檔分享第29頁/共58頁三種形態(tài)學邊界實例

牛牛文庫文檔分享第30頁/共58頁開啟和閉合的關系開啟和閉合也具有對偶性:這個對偶性可根據(jù)膨脹和腐蝕的對偶性得到。開啟和閉合運算不受原點是否在結構元素之中的影響。開與閉兩種運算共有的特點是可以消除比結構元素小的特定的圖像細節(jié)，同時不會產(chǎn)生全局性幾何失真。

牛牛文庫文檔分享第31頁/共58頁形態(tài)運算舉例（1）噪聲濾除下面圖像A是一幅受到噪聲嚴重干擾的圖像。內(nèi)部有零散的蝕洞，外部還有一些孤島狀的干擾。

用結構元素B對其進行如下的一組形態(tài)運算：它的整個運算等價于先開后閉。具體的過程是，結構元素B對圖像A先腐蝕。物體周圍整個小了一圈，孤島小于結構元素，因而被消除。但是圖像A內(nèi)部的蝕洞卻被擴大了。緊接著再用同一個結構元素對上述結果進行膨脹，縮小的邊緣得到些恢復，蝕洞恢復近于原狀。與初始的圖像相比，圖像A的四角變得圓滑。再對結果圖像膨脹，內(nèi)部的蝕洞消失。最后再進行一次腐蝕，得到噪聲全部去除但有些圓角的圖像，實現(xiàn)噪聲濾除的效果。

牛牛文庫文檔分享第32頁/共58頁邊界提取形態(tài)運算可以用來提取圖象物體的邊界。如果用β(A)代表圖象物體A的邊界的話,下面的形態(tài)運算可以得到A的邊界,即原圖象與用圖象物體在結構元素B腐蝕后的結果的差值。

牛牛文庫文檔分享第33頁/共58頁骨架化在某些應用中，針對一幅圖像，希望將圖像中的所有對象簡化為線條，但不修改圖像的基本結構，保留圖像的基本輪廓，這個過程就是所謂的骨架化。

牛牛文庫文檔分享第34頁/共58頁說明：MATLAB中數(shù)學形態(tài)學的4個基本元算：膨脹：imdilate腐蝕：imerode、開啟：imopen、閉合：imclose

牛牛文庫文檔分享第35頁/共58頁說明：

J=imdilate(I,SE);J=imdilate(I,NHOOD);

J=imdilate(I,SE,PACKOPT);

J=imdilate(…,PADOPT);SE：結構元素；NHOOD是一個只包含0和1作為元素值的矩陣，用于表示自定義形狀的結構元素；PACKOPT和PADOPT是兩個優(yōu)化因子，分別可以取值ispacked、notpacked、same、full，用來指定輸入圖象是否為壓縮的二值圖象和輸出圖象的大小。

牛牛文庫文檔分享第36頁/共58頁說明：J=imopen(IM,SE)J=imopen(IM,NHOOD)J=imclose(IM,SE)J=imclose(IM,NHOOD)

牛牛文庫文檔分享第37頁/共58頁說明：SE：結構元素,可以使用strel函數(shù)來創(chuàng)建。strel函數(shù)支持多種常用的形狀，如線形(line)鉆石形(diamond)、圓盤形(disk)等。

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牛牛文庫文檔分享第43頁/共58頁說明：SE=strel('rectangle',[40,30]);BW1=imread('circbw.tif');BW2=imerode(BW1,SE);BW3=imdilate(BW2,SE);BW4=imopen(BW1,SE);subplot(2,2,1),imshow(BW1);subplot(2,2,2),imshow(BW2);subplot(2,2,3),imshow(BW3);subplot(2,2,4),imshow(BW4);

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牛牛文庫文檔分享第45頁/共58頁閉合：I=imread('circles.tif');se=strel('disk',10);closeI=imclose(I,se);imshow(I);figure,imshow(closeI);

牛牛文庫文檔分享第46頁/共58頁閉合：閉合運算把比結構元素小的缺口或孔填充上，起到連通作用。

牛牛文庫文檔分享第47頁/共58頁開啟：I=imread('ngc4024l.tif');se=strel('disk',5);openI=imopen(I,se);imshow(I);figure,imshow(openI);

牛牛文庫文檔分享第48頁/共58頁開啟：開啟運算把比結構小的給濾掉，切斷細長搭接，起到分離作用。

牛牛文庫文檔分享第49頁/共58頁骨架化在某些應用中，針對一幅圖像，希望將圖像中的所有對象簡化為線條，但不修改圖像的基本結構，保