高等數(shù)學(xué)上冊第二章復(fù)件高數(shù)

第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題一、四則運算求導(dǎo)法則

函數(shù)的求導(dǎo)法則(續(xù))五、小結(jié)與思考練習(xí)一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理復(fù)習(xí):推論注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時,分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.已推導(dǎo)的基本公式:二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.

y的某鄰域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),

證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知

因此新課:即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例1.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則2)設(shè)則特別當(dāng)時,小結(jié):思考題:三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)——基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算的結(jié)果的導(dǎo)數(shù)，但是像等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求它們的導(dǎo)數(shù)?先看兩個引例．這里我們是先展開，再求導(dǎo)，若像求導(dǎo)數(shù)，展開就不是辦法，再像求導(dǎo)數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？

仔細(xì)分析知:引例1:引例2:?注意到事實上由以上兩例可見：由復(fù)合而成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恰好等于對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的乘積——這就是鏈?zhǔn)椒▌t在點x

可導(dǎo),定理3.在點可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點x

可導(dǎo),證:在點

u可導(dǎo),故故有（當(dāng)時)即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)例如,推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.關(guān)鍵:1.搞清復(fù)合結(jié)構(gòu),注意中間變量;2.鏈?zhǔn)椒▌t——“由外向里，逐層求導(dǎo)”.例2解例3解練習(xí)1解例4解練習(xí)2練習(xí)３.設(shè)求解:思考:

若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個記號含義不同練習(xí)４:

設(shè)例5解例6解:練習(xí)5例7:求下列導(dǎo)數(shù):解:

(1)(2)(3)說明:

類似可得例8.

設(shè)解:記則(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)見

P94例16.的反函數(shù)四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題

1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P94)2.有限次四則運算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)例9.

求解:練習(xí)6.設(shè)解:求例10.

求解:關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)例11.

設(shè)求解:五、內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則(見P94)注意:1)2)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).1.思考與練習(xí)對嗎?2.

設(shè)其中在因故正確解法:時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),3.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)(2)或4.

設(shè)求解:

方法1

利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2

利用求導(dǎo)公式.備用題

1.設(shè)解：2.設(shè)解:其中可導(dǎo),求求思考題冪函數(shù)在其定義