山西省太原市2020屆高三模擬考試試題三理科數(shù)學【含解析】

山西省太原市2020屆高三模擬考試試題三理科數(shù)學【含解析】

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合-3x+220>,8={x|x+l?a},若則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[2,+8）B.（-8,2]C.[1,+8）D.（-8,1]

【答案】B

【解析】

【分析】

先化簡集合4B,再由求解.

【詳解】???集合4={削八3戶220}={x|Ml或侖2},

8={*|x+l》a}={x|*》a-1},

又因為力U8=??,

：.a-KI,

解得aW2,

實數(shù)a的取值范圍是（-8,2].

故選:B.

【點睛】本題主要考查集合運算的應用以及一元二次不等式的解法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎

題.

2.若復數(shù)z滿足z=（l—2?！?，則復平面內(nèi)彳對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的運算法則、幾何意義、共挽復數(shù)的定義即可得出.

【詳解】解：z=（l-2i）-i=2+i,

5=2-7.在復平面內(nèi)所對應的點（2,-1）位于第四象限.

故選：D.

【點睛】本題考查了復數(shù)運算法則、幾何意義、共枕復數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎

題.

3.已知c<0,貝！I()

A.-<7B.a<cbC.c<bcD.

abca

loga(/?-c)>logft(?-c)

【答案】c

【解析】

分析】

舉反例說明A,B.D不正確，根據(jù)幕函數(shù)單調(diào)性證明C成立.

【詳解】當。=4,力=2,。=一1時滿足a>b>\,c<0,但

c1]c

42

-==->(-1)=c"=(-1)=c'，log“0―c)=log4(3)<log,(5)=log}(a-c)

所以A,B,D不正確，

因為y-xc(c<0)為(0,+co)上單調(diào)遞減函數(shù)，且a>。>1

所以優(yōu)〈加，

故選：C

【點睛】本題考查利用不等式性質(zhì)比較大小、幕函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.

4.已知sina—cosc=0，ae(0,")，則tana=

A.-1B.--C.—D.1

22

【答案】A

【解析】

【詳解】sina—cosa=

..37r

.\l-2sincrcoscr=2,即sin2a=-1,故a=—

4

:.tana=-\

故選A

5?宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生〃的問題，松長三尺，竹長一尺，松日自半，竹日

自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的。，b分別為3,1,則輸出的〃等

于

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

分析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程,

分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

39

【詳解】解：當〃=1時，a=3+—=—,b=2,滿足進行循環(huán)的條件，

22

9927

當〃=2時，a=—+—=——，人=4,滿足進行循環(huán)的條件，

244

27?781

當〃=3時，a=——+——=J,b=8,滿足進行循環(huán)的條件，

488

o1o1243

當〃=4時，a=—+—=——，6=16,不滿足進行循環(huán)的條件，

81616

故輸出的〃值為4,

故選：B.

【點睛】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答.

6.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,若%=4-8,且S3=13,則%=（）

A.-3B.3

D.3或----

3

【答案】D

【解析】

【分析】

設公比為q,利用基本量法求解即可.

q=*-825

?=~-

q=q—8CL=13

【詳解】設公比為夕，易知.由《得《a,(l-73)，解得<片3或

@=137

q

i—q3

25

q=--

a.=1;3時,35

當《c時，4=qq=3；當a2=%q=---

匕=3

一

35

所以4=3或4，=---,

'3

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解方法，屬于中等題型.

7.平面向量￡,B共線的充要條件是（）

A.。力=,帆

B.a，B兩向量中至少有一個為零向量

C.34GR，石=花

D.存在不全為零的實數(shù)小，A2,^a+^b=Q

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)共線向量基本定理，結(jié)合充分條件的定義進行求解即可.

【詳解】A：75=|￡|同成立時，說明兩個非零向量的夾角為零度，但是非零兩個向量共線時，它們的夾

角可以為平角，故本選項是錯誤的；

B：兩個非零向量也可以共線，故本選項是錯誤的；

C：只有當￡不是零向量時才成立，故本選項是錯誤的;

D：當平面向量B共線時，存在一個才，使得石=2￡3#0)成立，因此存在不全為零的實數(shù)九，乙,

111

4a+4/?=0;

當存在不全為零的實數(shù)"A2,4二+41=力成立時，若實數(shù)小，心不都為零時，

則有￡=一3]成立，顯然Z，取5彳0)共線，若其中實數(shù)小，小有一個為零時，不妨設

4=。，則有4B=6=B=。，所以平面向量￡,B共線，所以本選項是正確的.

故選：D

【點睛】本題考查了平面向量共線定理的應用，屬于基礎題.

8.根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)

至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()

111]

A.—B.-C.—D.—

6432

【答案】A

【解析】

【分析】

每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)〃=36,甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)

m=6,由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.

【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家

基本事件總數(shù)："=C：A；=36

甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：m=C；C；A；=6

加61

.??甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：p=-=—=-

n366

本題正確選項：A

【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

TT

9.把函數(shù)/"(x)=s"%的圖象向右平移一個單位后，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.則g(x)的解析式是

12

()

A.8(司=加"/

B.g(x)=—cos2,x---

'"2I12

C.8叱-y啖無力+萬

D.g(x)=；si〃(2x—?]+；

ZI072

【答案】c

【解析】

【分析】

利用函數(shù)丁=45m0%+。)的圖象變換規(guī)律，即可求解，得到函數(shù)的解析式.

11

【詳解】由題意，把函數(shù)/(X)=sin2x=/—acos2x的圖象向右平移三7r個單位后，

11jr11rr

得到函數(shù)y=g(x)=----cos[2(x----)]=----cos(2x——)的圖象.

2212226

故選：C.

【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象變換求解三角函數(shù)的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公

式，化簡得到/(X)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.

10.已知函數(shù)/(x)是定義在句上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+8)單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足

,/(log2?)+/log/<2/(1),則a的取值范圍是()

k27

A.B.[1,2]C.D.(0,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)將/(唾2。)+/1%。W2〃l)化為:/(log2a)4/⑴，再由/1(x)的單調(diào)性列出

I2)

不等式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出日的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/'(X)是定義在7?上的偶函數(shù)，所以/。。8!。)=/(—1。82。)=/(1。82”)，

2

則/（log2a）+/log,a?241）為/（10824）＜/（1）,

\2）

因為函數(shù)fW在區(qū)間[0,+。。）上單調(diào)遞增，所以|10g2a|wi,解得;

則a的取值范圍是1,2,

故選：C.

【點睛】此題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應用，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

11.已知拋物線C：V=8y,過點M（劉，％）作直線物、,跖與拋物線。分別切于點4、B,且以46為直徑

的圓過點也則為的值為（）

A.-1B.-2C.-4D,不能確定

【答案】B

【解析】

【分析】

設出A8的坐標，利用函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合直線經(jīng)過M，轉(zhuǎn)化求解打的值.

MX

【詳解】設A（，）,8（X2，%）,x}^x2,

由f=8y,可得y'=；,所以七《4,%嚀，

因為過點MOo，為）作直線M4,MB與拋物線C分別切于點4,8,且以43為直徑的圓過點M,

所以勉,&B=H=T，可得%％=-16,

直線M4的方程為：丁一月=》（x-xj，玉x=4（y+yj①，

同理直線MB的方程為：y-%=號（%一％2），々》=4（y+%）②，

①“-②XX],可得產(chǎn)手=_2,即％=-2.

O

故選：B.

【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，曲線與方程相結(jié)合，考查計算能力.

12.點M在曲線G:y=31nx上，過加作x軸垂線/,設/與曲線y=1交于點N而兩+兩

X3

且P點的縱坐標始終為0,則稱M點為曲線G上的“水平黃金點”，則曲線G上的“水平黃金點”的個

數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

設MQ,31nf),則N,,1],則麗=(m，lnf+J),即可得Inf+，=0,設g(f)=Inf+，，利用導函數(shù)

V)I33f)3，3/

判斷g(r)的零點的個數(shù),即為所求.

【詳解】設MQ,31n/),則N?！梗?所以麗=OM+ON(2t,1、

3U3t)

依題意可得lnf+'=0,

3/

設g(，)=lnf+.則g'")=；-*=￥，

當0<，<；時;g'(r)<0,則g(r)單調(diào)遞減；當時，g'?)>0,則g(f)單調(diào)遞增,

所以g(f)min=且,)=1一1113<0,且8e21

=_2+_>0,^(1)=->0,

.,.g?)=ln，+\；=()有兩個不同的解，所以曲線G上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.

故選:C

【點睛】本題考查利用導函數(shù)處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.

太原市2020年高三年級模擬試題(三)

數(shù)學試卷(理科)

第II卷(非選擇題共90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22題、第23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

log,x(0<x<1),

13.已知函數(shù)y(x)=(2

則了

x2-l(x>l),

【答案】8.

【解析】

【分析】

依題意得/■（■!?）=3,從而『（『（』））=r（3）,由此能求出結(jié)果.

88

flog,x(0<x<1),

【詳解】解：???函數(shù)/(%)=2

[x2

則心=1嗚：=3；

OTO

=r(3)=32-1=8.

故答案為：8.

【點睛】此題考查的是分段函數(shù)求值問題，屬于基礎題.

14.AABC的內(nèi)角A民C的對邊分別為"c.若MBC的面積為河，」一。,則

4

A=-

24

【答案】y（或120°）

【解析】

【分析】

由已知結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式進行化簡即可求解.

［詳解］解：由余弦定理可得才-爐-d=-2bccosA,

△48。的面積為6（?！啊?-立~becosA，

42

又因為S^Bc——bcsinA--旦bccosA，

22

所以tan/=-6，

由力￡（0,n）可得力=—.

3

27r

故答案為：

【點睛】本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的簡單應用，屬于基礎試題.

22

15.設R,尺分別是雙曲線「一與=l（a>0,Z?>0）的左、右焦點，若雙曲線上存在點尸，使/冗咫=60°

a2b2

且|陽|=2|咫則雙曲線的離心率為.

【答案】6

【解析】

【分析】

根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理、雙曲線離心率公式進行求解即可.

【詳解】設PR\=心則|用|=2而，顯然點尸在雙曲線的右支上，

因此有歸耳|一|尸閭=2a,因此m=2。,.\儼周=4a,|P用=2a,

而恒國=2c,/F,PA=60°,所以由余弦定理可知；

帆閭2=附『+|尸球―2閥|忖閭.cos4尸鳥,

即4c2=16/+4/—2?4々,2〃,，化簡得：c=6a0e=土=6

2a

故答案為：垂）

【點睛】本題考查了雙曲線定義的應用，考查了求雙曲線的離心率，考查了余弦定理的應用，考查了數(shù)學

運算能力.

16.正方體ABC?！?4GA中，E是棱。。的中點，E是側(cè)面CQAG上的動點，且用F//平面A]E,

記坊與p的軌跡構成的平面為a.

①m尸，使得

1^2j

②直線與尸與直線6c所成角的正切值的取值范圍是一,彳；

|_42

③a與平面CDAC；所成銳二面角的正切值為2夜；

④正方體46。。一4片64的各個側(cè)面中，與a所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個.

其中正確命題的序號是.（寫出所有正確命題的序號）

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

取CO中點G,GA中點M,CG中點N,先利用中位線的性質(zhì)判斷點F的運動軌跡為線段MN,平面

gMN即為平面a,畫出圖形，再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②直線用尸與直線3c所

成角即為直線用尸與直線gG所成角，設正方體的棱長為2,進而求解；③由MN//EG,取F為MN中點,

則MN±C.F,MN±B,F,則ZB,FC,即為a與平面所成的銳二面角,進而求解；④由平行的性質(zhì)

及圖形判斷即可.

取CO中點G,連接EG,則EG//CD,，所以EG〃AB,所以平面ABE即為平面AtBGE,

取GA中點M，CG中點N,連接B,M,BtN,MN,則易證得BXM//BG,B】N11\E,

所以平面B[MN//平面A3GE,所以點尸的運動軌跡為線段MN,平面B、MN即為平面a.

①取尸為MN中點、,因為△用MN是等腰三角形,所以B/LMN,又因為MN//C%,所以用/J.CD,,

故①正確；

②直線與直線BC所成角即為直線B}F與直線gq所成角，設正方體的棱長為2,當點F為MN中點

時,直線B.F與直線B￡所成角最小,此時GF=①，tanNC4E=G*=也；

2BXCX4

當點F與點M或點N重合時,直線8尸與直線8g所成角最大,此時tanZC,B,F=1,

所以直線鳥尸與直線6C所成角的正切值的取值范圍是[乎②正確；

③a與平面CDDtCt的交線為EG,且MN//EG,取F為MN中點,則

MN，C/,MN，耳￡即為a與平面CQAG所成的銳二面角，tanN57G=照=2血，

所以③正確；

④正方體ABCD-^B^D,的各個側(cè)面中，平面A8CD,平面A4GA，平面BCQB,，平面ADD^與

平面a所成的角相等,所以④正確.

故答案：①②③④

【點晴】本題考查直線與平面的空間位置關系,考查異面直線成角，二面角，考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.

三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都

必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17'已知,是公差為?的等差數(shù)列，數(shù)列⑻滿足4=1也5也?

（1）求數(shù)列｛九｝的通項公式；

1

（2）設c“=-r-，求數(shù)列匕｝的前n項和S..

2b?

【答案】（1）2=3（2）S.=2—（〃+2）（g）

【解析】

【分析】

（1）先由題設條件求得a“再求當,進而論證數(shù)列｛〃"｝常數(shù)列，最后求得4；

（2）先由（1）求得c“，再由錯位相減法求S.

【詳解】（1）由己知得：4打+仇=偽,二4]=1

又???｛&｝是公差為1的等差數(shù)列，，4=na=n.

+%=nbn

，（〃+1）%=nhn,數(shù)列｛9J是常數(shù)列，nb?=偽=1,b?=-

n

1

（2）由（1）得:

西

.-.s?=lx1+2xW+3x（；）+…+〃.!①

1\

②

+-|

27

由①一②可得：+...+（；）

=l-(n+2)-l-

.?.S?=2-(n+2).W

【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.

18.垃圾分類是對垃圾進行有效處置的一種科學管理方法，為了了解居民對垃圾分類的知曉率和參與率，

引導居民積極行動，科學地進行垃圾分類，某小區(qū)隨機抽取年齡在區(qū)間［25,85］上的50人進行調(diào)研，統(tǒng)計

出年齡頻數(shù)分布及了解垃圾分類的人數(shù)如下表：

年齡[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]

頻數(shù)510101555

了解4581221

(1)填寫下面2X2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為以65歲為分界點居民

對了解垃圾分類的有關知識有差異;

年齡低于65歲的人數(shù)年齡不低于65歲的人數(shù)合計

了解a-c=

不了解b=d=

合計

(2)若對年齡在［45,55),［25,35)的被調(diào)研人中各隨機選取2人進行深入調(diào)研，記選中的4人中不了解

垃圾分類的人數(shù)為％求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望

參考公式和數(shù)據(jù)

其中“=a+"c+d.

P(K2>k.)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)見解析，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為以65歲為分界點居民對了解垃圾分

類的有關知識有差異.(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)年齡的頻數(shù)分布填寫列聯(lián)表，再計算K?分析即可.

(2)易得才的所有可能取值為0,1,2,3,再分別分情況求解分布列，再計算數(shù)學期望即可.

【詳解】解：⑴2X2列聯(lián)表：

年齡低于65歲的人數(shù)年齡不低于65歲的人數(shù)合計

了解。=29c=332

不了解b=lld=718

合計401050

,50x(29x7-11x3)

K2=——----------------L?6.272<6.635?

40x10x32x18

所以不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為以65歲為分界點居民對了解垃圾分類的有關知識有差

異.

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,

_84C；C：+《C；C：_104

P(X=0)P(x=i)

C~QCf_225'《c；225

C；C；C：+C；C135\c汨2

p(X=2)=225，()

C^Cj-225,

則X的分布列為

X0123

84104352

P

225225225225

1047064

所以1的數(shù)學期望是E（X）=0+赤H----------1--------=一

2252255

【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗、隨機變量的分布列與數(shù)學期望的問題，需要注意在列分布列時才的

取值對應的概率求解.屬于中檔題.

19.如圖，在三棱柱ABC—A4cl中，已知四邊形A&GC為矩形,AAj=6,AB=AC=4,

/BAC=ZBAA,=60°,ZA,AC的角平分線AD交CC,于。.

（1）求證:平面區(qū)平面A4CC；

（2）求二面角A-片0-4的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）至叵

17

【解析】

【分析】

（1）過點。作O￡〃AC交A4于E,連接設AT）nCE=。，連接5。，由角平分線的性質(zhì),

正方形的性質(zhì)，三角形的全等，證得CE_L50,CE_LAD，由線面垂直的判斷定理證得CE_L平面840，

再由面面垂直的判斷得證.

（2）平面幾何知識和線面的關系可證得30_L平面A4CC，建立空間直角坐標系。-肛z，求得兩個平

面的法向量，根據(jù)二面角的向量計算公式可求得其值.

【詳解】（1）如圖，過點。作DE//AC交A4于￡,連接CE,8E,設4￡）nCE=。，連接80，

■：ACLAA,,.-.DEA.AE，

又AD為N4AC的角平分線，，四邊形AEDC為正方形，.?.CE_LAO,

又?.?AC=AE,ZBAC=ZBAE,84=84,:.^BAC=SBAE,:.BC=BE,又：。為CE的中點，

:.CELBO

又?.?4),30u平面應⑦，ADABO=O,;.CE_L平面84。，

又CEu平面441G。；?平面_L平面AAG。，

(2)在MBC中，?rAB=AC=4,za4C=60°,:.BC=4,在RtABOC中，?.?CO=，CE=20,

2

BO=2V2，

又AB=4，AO=gAD=20,BO1+AO1=AB1,：.BO±AD,

又BOLCE,AD[}CE=O,4),比匚平面441。。，二30，平面44。。，

故建立如圖空間直角坐標系。一肛z,則A(2,—2,0),4(2,4,0),G(—2,4,0),

81(0,6,20)，，謫=(2,2,2也)，狗=(-4,6,0),取=(4,0,0),

一m±C~Bf-4x.+6y.=0

設平面破G的一個法向量為嚕(.㈤，則=春一也+2%+2低”

令％=6,得而=(6,4,-5夜)，

,c--[ni.C,B]

設平面44G的一個法向量為〃=(々,必*2)，則一"，

〃—L?Zlj

4元=0

，2；+2%+2以=。'令%S麗=(°，&T)

--m-n9V23拒

B

cos<m,n>=同詞=-歷X點=~n~，由圖示可知二面角A-^-A是銳角，

故二面角4-AG-4的余弦值為主叵.

BBi

【點睛】本題考查空間的面面垂直關系的證明，二面角的計算，在證明垂直關系時，注意運用平面幾何中

的等腰三角形的“三線合一”，勾股定理、菱形的對角線互相垂直，屬于基礎題.

20.已知橢圓G三+匯=1(a>6>0)的焦距為2,且過點

abI2；

(1)求橢圓「的方程；

(2)已知是橢圓C的內(nèi)接三角形，若坐標原點。為△序W的重心，求點。到直線網(wǎng),距離的最小值.

【答案】(1)—+^-=1(2)昱

432

【解析】

【分析】

(1)由題意焦距的值可得c的值，再由橢圓過點及a,b,c之間的關系求出a,6的值，進而求

出橢圓的方程；

(2)分6的縱坐標為0和不為0兩種情況討論，設8的坐標，由0是三角形的重心可得秋V的中點的坐標,

設機"的坐標，代入橢圓方程兩式相減可得直線網(wǎng)，的斜率，求出直線助V的方程，求出。到直線4V的距

離的表達式，再由8的縱坐標的范圍求出d的取值范圍，進而求出d的最小值.

【詳解】解：(1)由題意可得：橢圓的焦距為2,則。=1,又橢圓過點

,19,

—z—I---------■—1

*a14b2,解得：，=4,€=3,

c2=a2-b2

22

所以橢圓的方程為：上+二=1;

43

(2)設6(加，")，記線段松?'中點〃

.UUIUmn

因為。為△冽那的重心，所以80=2oo，則點〃的坐標為:

22

若〃=0,貝IJI引=2,此時直線版V與入軸垂直,

故原點。到直線助V的距離為四，即為1,

2

若〃W0,此時直線/妍的斜率存在,

設〃(為，ri),N(x2,%)，則為+也=-m，%+%=-〃,

2222

又工+$_1,-々--1,--y-21,

4343

兩式相減(為+二)(內(nèi)一々)+(x+%)(xf)

=0,

43

可得：底=%手=—獨

王一人24〃

3mYY\幾

故直線WV的方程為：尸(x+—)——,即6加A+8〃/+3輸4//=0,

4〃

|3m2+4n2\

則點。到直線拗的距離d=I—，

v36/??2+64/

22

mn3

將一+一'代入得"E'

43

因為0<4W3,所以4〃=且，又立<\,

22

故原點0到直線MV,的距離的最小值為且

2

【點睛】本題考查求橢圓的方程，點到直線的距離，考查橢圓中的最值問題，注意直線的斜率的討論，屬

于難題.

21.已知函數(shù)/(%)=x\nx-ax2{aeR).

(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；

(2)若g(x)=f(x)-x有兩個極值點斗,々，試判斷為+W與％的大小關系并證明.

【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)詳見解析

【解析】

【分析】

(1)由已知令f(x)=0,得2a=匕皿，記Q(x)=上"，則函數(shù)/(%)的極值點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)。(x)

XX

與y=2a的交點個數(shù)，再利用導數(shù)得到Q(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,佳)上是減函數(shù)，且

Q(x)max=Q⑴=1，對a分情況討論，即可得到函數(shù)/(X)的極值點個數(shù)情況；

(2)由已知令g(x)=0,可得2a=叱，記//(%)=—,利用導數(shù)得到h{x}的單調(diào)性，可得"皿(％)=,，

xxe

當x>e時，/(x)>0,所以當0<2。<，即o<q<_L時g(x)有2個極值點%,,從而得到

e2e

_ln(x.x7)

2a二犬+;,所以ln(x+%2)<ln(x/2)，即玉+工2<%%2.

1

【詳解】解：(1)/(x)=lnx+x-----2or=lnx-2ox+l(x>0),

x

人〃./、八/口八1+lnx、-，八/、1+lnxwe,/、-Inx

令/(x)=。，得2。=------,記。(x)=---------，則。(x)=—二，

令Q(x)>。，得Ovxvl;令Q(x)<0，得x>l，

???Q(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,住)上是減函數(shù)，且。(%)皿=。⑴=1,

???當2。>1即時，/'(犬)=0無解，???/(%)無極值點，

當2a=1即?！?時;/(x)=0有一解，2a2"E',即Inx—2ax+140,

2x

外幻<0恒成立，:/。)無極值點，

當。<2a<l,即。時，/'。)=0有兩解，，/(幻有2個極值點，

當為〈0即時，/(x)=0有一解，/(x)有一個極值點.

綜上所述：當“之1，f(x)無極值點；0<“<:時，f(x)有2個極值點；

22

當aKO,/(幻有1個極值點；

(2)g(x)=x\nx-ax2—x,g(x)=lnx-2o￥(x>0),

Inv

令g(x)=O，則Inx—2"=。，：.2a=----,

x

記〃。)=處，貝|]〃'(幻=上坐，

XX

由〃。)>0得0<x<e,由〃(x)<0,得元〉e,

??.A(x)在(0,e)上是增函數(shù)，在(d+8)上是減函數(shù)，

'max(x)=%(e)=!，當x>e時，f(x)>Oy

e

?，?當0<2。<—即0<a<—時，，

e2e

g(x)有2個極值點王,々，

finxt=2時

由V1C，

Inx2=2ax2

得Ina[％)=抽%+lnx2=2。(玉+x2),

.?.2a=1^2,

X]+工2，

不妨設玉<%則1<%<e<%，x}+x2>x2>e,

又〃(x)在(e,+8)上是減函數(shù)，

111(再+x)Inx_In(芭％2)

..一2—~2=Za-=~

玉+x2x2x1+x2，

In(玉+x2)<皿中2))

X1+x2<xtx2.

【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，考查學生轉(zhuǎn)化問題和分析問題的能力,

是一道難題.

(-)選考題：共10