面第三章兩自由度系統(tǒng)振動超詳細

精品學習資料1．如圖2-1所示，一小車(重P)自高h處沿斜面滑下，與緩沖器相撞后，隨同緩沖器一起作自由振動。彈簧常數(shù)k，斜面傾角為，小車與斜面之間摩擦力。PkhαT2APP2．確定圖2-2所示系統(tǒng)的固有頻率。圓盤質量為kakrOx有頻率。n4kra2歡迎下載第1頁，共46頁歡迎下載精品學習資料精品學習資料精品學習資料Rmrn3Rr第三章兩自由度系統(tǒng)振動由度系統(tǒng)，振動的性質和研究的方法有質的不同。研究兩自由度系統(tǒng)是分析和掌握多自由度系統(tǒng)振動特性的基礎。所謂兩自由度系統(tǒng)是指要用兩個獨立坐標才能確定系統(tǒng)在振動車床刀架系統(tǒng)(a)、車床兩頂尖間的工件系統(tǒng)(b)、磨床主軸及砂輪架系統(tǒng)(c)。只要將這些系統(tǒng)中的主要結合面(或芯軸)視為彈簧(即只計彈性，忽略質量)，將系統(tǒng)中的小刀架、工件、砂輪及砂輪架等視為集中質量，再忽略存在迎下載第2頁，共46迎下載精品學習資料精品學習精品學習資料第3頁，共46于系統(tǒng)中的阻尼，就可以把這些系統(tǒng)近似簡化成圖(d)所示的兩自以圖3.1(c)所示的磨床磨頭系統(tǒng)為例分析，因為砂輪主軸安在砂輪架內的一個彈簧——質量系統(tǒng)。此外，砂輪架安裝在砂輪進刀精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第4頁，共46歡迎下載k2是砂輪，取其鉛垂位移12x及x12x1和x2就是用以確定磨頭系統(tǒng)運動的廣義坐標。(工程實際中兩自由度振動系統(tǒng))[工程實例演示]一、系統(tǒng)的運動微分方程(①汽車動力學模型)②以圖3.2的雙彈簧質量系統(tǒng)為例。設彈簧的剛度分別為k和2212x和12精品學習資料精品學習資料精品學習資料第5頁，共46此時，在質量m1上作用有彈性恢復力k1x1及k2x2x1，在質量m2上作用有彈性恢復力kxx。這些力的作用方向如圖所示。221應用牛頓運動定律，可建立該系統(tǒng)的振動微分方程式：11mx22令kx22kx22m1x01022,cm1 (3.1)k2m2則(3.1)式可改寫成如下形式：11mx2222x1x100精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第6頁，共46歡迎下載1212x00 (3.2)這是一個二階常系數(shù)線性齊次聯(lián)立微分方程組。bx2項，第二個方程中則包含到彈簧k的恢復力的作用外，還受到彈簧k的恢復力的作用。m1222雖然只受一個彈簧k恢復力的作用，但這一恢復力也受到第一質點2主振型希望在兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動中然后用待定系數(shù)法來尋找有簡諧振動解的條件?？稍O方程組(3.2)式的特解為：x1x2xAsin1Asin2tnt (3.3)精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第7頁，共46迎下載x1x2A1A2Ancoscosntn12A2sin1nA2sin2ntn (3.4)將(3.3)、(3.4)式代入(3.2)式，并加以整理后得：a2AbA0n12c2A0c2A0(3.5)上式是A、A的線性齊次代數(shù)方程組。A、A=0顯然不是我們所1212要的振動解，要使A、A有非空解，則(3.5)式的系數(shù)行列式必須12ac2ncb2n=04ac2nn列方程，可得如下的cab0 (3.6)n1,2ac2ac2ac22ac22cab (3.7)由此可見，(3.6)式是決定系統(tǒng)頻率的方程，故稱為系統(tǒng)的頻精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第8頁，共46迎下載AAAAAAAAequation)。特征方程的特征值(characteristicvalue)即頻率n2m2和剛度k1，k2，即頻率n只決定于系統(tǒng)本身的物理性質，故稱nordernaturalcircularfrequency)。[基頻]稱為第二階固有n2頻率(secondordernaturalcircularfrequency)。[(推廣)理n個根必定都是正實根，故主頻率的個數(shù)與系統(tǒng)]n212112121122212a2代入(3.5)式中得：2c2n1c2cn1 2n2c2cn2由此可見，對應于n1和n2，振幅A1與A2之間有兩個確定的將(3.8)式與(3.3)式聯(lián)系起來可以看出，兩個m與2m任一2精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第9頁，共46歡迎下載xAxAxx。系統(tǒng)的其它點的位移都可以由2112x及x12定。這樣，在振動過程中，系統(tǒng)各點位移的相對比值都可以由振幅比2當系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應的主振型作振動時，即稱為系x11A11sinn1t111A11222xx2xx12212nttn222AA212na2n22ntnt，可以將(ac22 (3.9)1 (3.10)23.7)式改寫成如下形精品學習資料精品學習資料精品學習資料下載第10頁，共46下載a2aac2ac22ac2ac22又因為0a2n2aac2a2an1ac22，由(3.8)ac2ac222因為上式的等式右邊恒小于零，所以a2222，由(3.8)12話，兩個質點就同時向同方向運動，它們同時經(jīng)過平衡位置，又同時達到最大偏離位置。而0，則表示第二主振動中兩個質點的相21212達最高位置。它們一會相互分離，一會又相向運動，這樣，在整個第二主振動的任一瞬間的位置都不改變。這樣的點稱為“節(jié)點”(nodalpoint)。精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第11頁，共46迎下載振動理論證明，多自由度系統(tǒng)的i階主振型一般有i－1個節(jié)點。的響應精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第12頁，共46歡迎下載x2x2AA11A2sin1A2A12122 (3.11)12A1A1AA112121tg1tg1n1n1222x21x210x1x10x20xx21020xxxxxx0xx102022x0x0xx110x110x22 (3.12)將(3.12)式代入(3.11)就得到系統(tǒng)在上述初始下響應。從(3.11)式可以看出，兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是由兩個簡諧振動合成的。但從(3.7)式來看，這兩個分振動的頻率n2n精品學習資料精品學習資料精品學習資料第13頁，共463．節(jié)點和節(jié)面越高，則節(jié)點數(shù)也就越多。一般來說，第i階主振型有i-1個節(jié)點。為節(jié)線(nodalline)和節(jié)面(nodalsurface)。1212xx20xxxx，，精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第14頁，共46歡迎下載mxk1k2mxkxk22212令令a122,1,kx22kx32cc2,200kk2dkk2m則112x112xcxdx0212精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第15頁，共46迎下載2n1,2ad2ad22故aaaa,bm1222234344k1.581,22c442kmaa2b2,dk,d2m2m321k222m2kk2n1m2n1km2k5k22km根據(jù)給定的初始條件，代入(3.12)式得：精品學習資料精品學習資料精品學習資料第16頁，共46A1A1A2A111121112121,1222故系統(tǒng)的響應為：x1x2x0.4costmktm0.8cos1.581tmktm性精品學習資料精品學習資料精品學習資料下載第17頁，共46下載置可以用矢量xrcosr,iyrcosr,j當小球偏離平衡位置O點后，就要受到圓桿的彈性恢復F的作力用。由于圓桿在任何方向上的剛度k都相等，故Fkr將F力投影到x，y軸上得：Fcosr,ikrcosr,iFcosr,jkrcosr,j因此，可建立系統(tǒng)的運動微分方程式：精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第18頁，共46迎下載122yk相等，故兩個方向的振動頻率也相等。即knxnym由此可見，在x，y方向，系統(tǒng)均按其固有頻率作自由振動，故所以系統(tǒng)的兩個主振型也分別沿x和y方向，也就是說，系統(tǒng)的兩個精品學習資料精品學習資料精品學習資料載第19頁，共46載。。度就有所不同。現(xiàn)取桿截面的兩個慣性主軸作為x、y坐標軸，則x軸方向上的剛度為kx，y軸方向上的剛度為ky，因而系統(tǒng)的運動微分1xmx1xmx2kyykx;mm這時，在x，y兩個方向上是不同頻率的簡諧振動，其合成結果同頻率的李沙如圖。[振動運動學知識]的性質，叫做主振型的正交性(orthogonalpropertiesofprincipal (能量各個獨立，不相干擾)精品學習資料精品學習資料精品學習資料下載第20頁，共46下載稱簡諧激振力作用的m1-k1質量彈簧系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)。這一振動系統(tǒng)的運動微分方程式為：mx2211kxk21122kx22x1x0psin0t (3.13)令akk12kkm1k2,k1k2,m,2pm1則(3.13)式可改寫成：x1x2xpsin00t (3.14)成。一是對應于齊次方程組的解，即為上一節(jié)討論過的自由振動。二精品學習資料精品學習資料精品學習資料載第21頁，共46載是對應于上述非齊次方程組的一個特解，它是由激振力引起的受迫振我們只研究穩(wěn)態(tài)振動，故設上列微分方程組有簡諧振動的特解：x1x2xBsint1Bsint2 xx2B12cost;xcost;x2B2sint1B2sint2 (3.16)將(3.15)及(3.16)式代入(3.14)式得：acB12Bc22B2p0 (3.17)元非齊次聯(lián)立代數(shù)方程，它的解可用行列式原理求a2bcc2pb10c2c2p2c0apc2c2bc2精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第22頁，共46迎下載故Bpc21a2c2bcpc(3.18)B2B2a2c2bc這就是說，我們期待的方程組(3.14)式的簡諧振動特解是可以二、振動特性的討論由(3.15)式得知，兩自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動的運動規(guī)律是兩自由度系統(tǒng)受迫振動的頻率與激振力的頻率相同。由(3.18)式得知，兩自由度系統(tǒng)受迫振動的振幅決定于激振力力幅、激振力頻率，以及系統(tǒng)本身的物理性質?，F(xiàn)分別討論如下： (1)激振力幅值p0的影響B(tài)也越大。2 (2)激振力頻率的影響對振幅的影響，我們以2坐標，將(3.18)式作成曲線示圖3.9中，稱之為振幅頻率響應曲線，精品學習資料精品學習資料精品學習資料第23頁，共46討論：BB2p0，這表明，此時激振力的作用和靜力kn2n212由(3.18)式可得質量2Bc21212 (3.19)精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第24頁，共46迎下載階固有頻率B2B1c2c2n1 (3.20)當n2時，則Bc(3.21(3.21)1n2n當t0sink2t2222psint022主系統(tǒng)上的激振力相平衡。這樣，主系統(tǒng)的受迫振動就被副系統(tǒng)吸收這象可以被利用來作為減小振動的一種措施。1B精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第25頁，共46歡迎下載、、現(xiàn)將振幅計算公式(3.18)式的分母作如下的變換：a2c2bc4ac2cab(3.23)由系統(tǒng)的頻率方程(3.6)式，可以得知頻率方程的兩個根22222acn1n222cab(3.24)n1n2將(3.24)式代入(3.23)式得：a2c2bc4因而(3.18)式可改寫成：222222222 (3.25)B1B222pc2n1n2n1n2222n2n2n2n (3.26)從(3.26)式中可以看出：n112n1121212精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第26頁，共46迎下載當當負值。這就是說，在cn212力反相。即兩個質量之間的相位相反。當2根據(jù)以上分析，可作出如圖3.10所示的相頻特性曲線減振器使主系統(tǒng)不動，動力減振器就是應用這一原理來設計的。精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第27頁，共46歡迎下載動力減振器是用彈性元件把一個輔助質量固定到振動系統(tǒng)上的一種減振裝置，其動力學模型如圖3.11所示。系統(tǒng)(主系統(tǒng))的質量(主質量)和彈簧剛度。 (附加系統(tǒng))的質量(輔助質量)和彈簧剛度，2m、2c為動力減振器的阻從圖3.11可以看出，在主系統(tǒng)上增加了附加系統(tǒng)后，即使原來1121121220mxcx1121121220mxcxxkxkx0(3.27)22212221設上列方程組的x1x2x1B1x22x22Beit(3.28)2B2sinB2sintxx1B1B2sint22cost;22精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第28頁，共46迎下載將(3.28)式及其一階、二階導數(shù)代入(3.27)式得：11212m2kkicB112122122kicB2122解上列聯(lián)立方程，求出主系統(tǒng)的振幅B1k10m2km222 (3.30)22km22222 (3.29)2c2cc2kc2k2222p0k01k1k————22——減振器固有頻率與主系統(tǒng)固有頻率之比；c2km2km22則(3.29)式可改寫成下列無量綱形式：精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第29頁，共46迎下載B12122224222224 (3.31)2221222 器沒有阻尼元件，則B121222222n2時，輔助，故(3.31)式簡化為：22 (3.32221m通過彈性元件k作用于主質221當激振頻率等于主系統(tǒng)固有頻率n1，即λ=1時，主系統(tǒng)產生共振。為了消除系統(tǒng)共振，應使減振器固有頻率n2等于主系統(tǒng)固有頻率n1，即令1。若再取質量比0.2，則(3.32)如圖3.12所示。精品學習資料精品學習資料精品學習資料第30頁，共4612222所以2。這兩點的坐標值可以從(3.32)式的分項等2及222201222201222222 (3.3324的系統(tǒng)，兩個固有頻率(主頻率)為：211n1,2m21根據(jù)(3.33)式可作出與表示了系統(tǒng)的兩個主頻率24 (3.34)4n1或n2時，都會使系統(tǒng)產生的關系曲線，如圖3.13所示n2的n2精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第31頁，共46歡迎下載2．有阻尼動力減振器(本科自學)當減振器有阻尼元件時，則根據(jù)(3.31)式，以為參變量，仍令1 2B1看出：1222224222224221222精品學習資料精品學習資料精品學習資料第32頁，共461)無論阻尼的為何值，幅頻響應曲線均經(jīng)過P、Q兩點，也就11值與的2的點相應的頻率比值時，主系統(tǒng)和12和值 當時從(3.31)式得：B11122 (3.35)令(3.32)式與(3.35)式相等得1221221222224122222202 (3.36)1221222221,2222(3.37)2將求得的值代入(3.32)式(3.35)式，即可得P、Q精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第33頁，共46歡迎下載B11111122112221 (3.38)22P、Q兩點在共振點1)的兩側，兩者的相位是相反的，所以這兩點 (的振幅的符號也相反，因此，在圖3.15中，在1右邊的曲線，3)既然無論值是多少，所有的幅頻響應曲線都要經(jīng)過B了使減振器獲得較好的減振效果，就應該設法降低P、對應的振幅以下(見圖3.16)。精品學習資料精品學習資料精品學習資料迎下載第34頁，共46迎下載PQ就要適當選值；為擇BPQ值。所以選擇的st擇和值，分別稱為最佳頻率比(optimumfrequencyratio)opoptimumdampingratioop (1)最佳頻率比op的確定。(第一步) (3.38)1st112121st2121222222 (3.39)221根據(jù)代數(shù)方程理論，由(3.36)式得知212221222 (3.40)聯(lián)立(3.39)式及(3.40)式，并求解得：21212222所以op1 (3.41)精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第35頁，共46歡迎下載將op值代入(3.37)式，即得到與1212p2p12Q2Q2值 (3.42)將(3.42)式代入(3.32)式或(3.35)式，即得到在選取最佳B1PB11Q2 (3.43)[分析]可見，要降低P、Q兩點的縱坐標，應使質量比22 (2)最佳阻尼比的確定(第二步110根據(jù)(3.31)式，使，求出相應的值，即應是使P、Q阻尼求出與相對應的值，并將比op值代入其中，可分：精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第36頁，共46頁歡迎下載23p8132 (3.44)2Q81332出來的阻尼比不一樣。換句話說，在適當選擇值時，只能使曲線在P點(或Q點)為極大值。圖3.16)中就分別表示出以PQ2與PQ但它們彼此相差不多。所以，可取23813 (3.45) (3)設計步驟(*)1)根據(jù)主系統(tǒng)的振動情況，測定振動頻率B1。然后根據(jù)減振要求，按(3.43)式計算出質量比的值。B2)測定主系統(tǒng)的靜剛度221精品學習資料精品學習資料精品學習資料歡迎下載第37頁，共46歡迎下載1k12 2m13)根據(jù)(3.41)式，計算最佳頻率比222op2222k22221kmn1122k2m2opm14)根據(jù)(3.45)式計算減振器最佳阻尼比阻尼系數(shù)C，即OP2n2OPCOP2m2n2OP然后，根據(jù)C來計算減振器中油的粘。度OP度第3次作業(yè)題：1、如圖所示起重機小車，其質量為m1=2220kg,在質心A處用繩懸掛一重物B，其質量為m2=2040kg。繩長l=14m,左側彈簧是緩沖器，剛度系數(shù)k=852.6kN/m。設繩和彈簧質量均忽略不計，當車連同重物B0vms和重物的運動。0迎下載第38頁，共46迎下載精品學習資料精品學習資料mkm若然割斷繩子，兩質量塊將沿斜面下滑。試求瞬時t兩質量塊的位置。2m2mt2t2222]g222]gsinm2x[222k(m1m2)t2t2m2c21ostm)2]ostm)21m1k2答案：利用程序，易得n1n2n1n2主振型圖示11.0115精品學習資料精品學習資料精品學習資料第39頁，共46x0.4cos3.1622777t0.8cos5t1x0.4cos3.1622777t0.4cos5t2900,[c]=11110501,[k]=,{f(t)}110501509023-3如圖所示，已知質量比＝0.1,固有頻率比=0.909,放大系數(shù)r=1.55,0.1846，m1=11,k1=100,根據(jù)程序求動力吸振器彈簧的剛度3-4一輛汽車重17640N，拉著一個重15092N的拖車。若掛鉤的彈簧下載第40頁，共46下載dd精品學習資料dd精品學習資料x1x2m1km2n1n2111T;u210.856T3-5一個電動機帶動一臺油泵。電動機轉子的轉動慣量為J，油泵的12JJdd2u12222232JJ(d4ld4l)2121221TuTu223-6試確定圖3-3所示皮帶傳動系統(tǒng)的固有頻率和特征向量。兩皮帶下載第41頁，共46下載k精品學習資料k精品學習資料kJ1,d1k0,u11r/r22k(12J1J2r2),u2J2J21dJ/dJT21