劃艇比賽成績(jī)模型

劃艇比賽的成績(jī)問題重述：賽艇是一種靠槳手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似。現(xiàn)在考慮八人艇分重量級(jí)組（槳手體重不超過(guò)86kg）和輕量級(jí)組（槳手體重不超過(guò)73kg）,建立模型說(shuō)明重量級(jí)組的成績(jī)比輕量級(jí)組大約好5%。T.A.McMathon比較了各種賽艇1964—1970年四次2000m比賽的最好成績(jī)（包括1964年和1968年的兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世界錦標(biāo)賽），見表5第1至第6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)一致的差別，他認(rèn)為比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個(gè)模型來(lái)解釋這種關(guān)系。艇種2000砒成績(jī)t(min)艇長(zhǎng)l(m)艇寬b(m)lib艇重w0kg）槳手?jǐn)?shù)n1234平均單人7.167.257.287?177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486?136.3211.750.57421.018?1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7表5各種艇的比賽成績(jī)和規(guī)格模型分析：賽艇前進(jìn)時(shí)受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。船靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進(jìn)。槳手越多劃艇前進(jìn)的動(dòng)力越大。但是艇和槳手總重量的增加會(huì)使艇浸沒面積加大，于是阻力加大，增加的阻力將抵消一部分的動(dòng)力。建模目的是尋求槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績(jī)（航行一定距離所需時(shí)間）之間的數(shù)量規(guī)律。如果假設(shè)艇速在整個(gè)賽程保持不變，那么只需構(gòu)造一個(gè)靜態(tài)模型，使問題簡(jiǎn)化為建立槳手?jǐn)?shù)量與艇速之間的關(guān)系。注意到在實(shí)際比賽中槳手在極短的時(shí)間內(nèi)使艇加速到最大速度，然后把這個(gè)速度保持到終點(diǎn)，那么上述假設(shè)也是合理的。為了分析所受阻力的情況，調(diào)查了各種艇的幾何尺寸和重量如表5。觀察第7至10列給出的這些數(shù)據(jù)，可以看出，槳手?jǐn)?shù)n增加時(shí)，艇的尺寸l,b及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w0/n變化不大．若假定l/b是常數(shù)，即各種艇的形狀一

樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關(guān)系。若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對(duì)槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡(jiǎn)化且合理的假定，才能運(yùn)用合適的物理定律建立需要的模型。模型假設(shè)：1.各種艇的幾何形狀相同，艇的尺寸l,b，l/b為常數(shù)；艇重w0與槳手?jǐn)?shù)n成正比。這是艇的靜態(tài)特性。2.艇速v是常數(shù)，前進(jìn)時(shí)受的阻力f與sv2成正比（s是艇浸沒部分面積）。這是艇的動(dòng)態(tài)特性。3?槳手?jǐn)?shù)為n=8不變，每個(gè)槳手體重記作w;在比賽中每個(gè)槳手的劃槳功率p保持不變，且p與w成正比。這是槳手的特征。假設(shè)的合理性說(shuō)明：假設(shè)1是根據(jù)所給數(shù)據(jù)作出的必要且合理的簡(jiǎn)化。假設(shè)2中，根據(jù)物理學(xué)的知識(shí)，運(yùn)動(dòng)速度中等大小的物體所受阻力f符合假設(shè)2中f與sv2成正比的情況。假設(shè)3中，w,p為常數(shù)屬于必要的簡(jiǎn)化，而p與w成正比可解釋為：p與肌肉體積、肺的體積成正比，對(duì)于身材勻稱的運(yùn)動(dòng)員，肌肉、肺的體積與體重w成正比。模型構(gòu)成：有n名槳手的劃艇的總功率np與阻力f和速度v的乘積成正比，即npgfv即npgfv有假設(shè)2,3，fgfv2，Vwgs丿代入（1）式可得(1)pgw1_3(2)由假設(shè)1，各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積s與艇的某特征尺寸c的平方成正比（sgC2），則艇排水量體積A必與c的立方成正比（Ag c3），于是有SgA十 （3）3又根據(jù)艇重U與槳手?jǐn)?shù)目n成正比，所以艇和槳手的總重量W=U+nw（4）而由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量W成正比，即

2SXW3AxW (5)(3)，(5)，式給出(6)因?yàn)楸荣惓煽?jī)t(時(shí)間)與V成反比，所以tX1/T (7)綜上得：V=k(U+nW),S二kV2/357模型求解：如果八人艇分為重量級(jí)組和輕量級(jí)組，規(guī)定重量級(jí)組運(yùn)動(dòng)員體量為86公斤，輕量級(jí)組運(yùn)動(dòng)員體重為73公斤。表列八人艇是重量級(jí)組的成績(jī),請(qǐng)推斷說(shuō)明重量級(jí)組的成績(jī)比輕量級(jí)組大約好5%。設(shè)：輕量級(jí)組的運(yùn)動(dòng)員體重,劃艇浸沒面積,艇速和成績(jī)分別為W,S,v,T,相應(yīng)的重量級(jí)組為W,S,v,T。根據(jù)前面得到的艇速的模型,，有12222v(nWS)1/3c— c rv(nWS)1/3c— c rcv(nWS)1/3v=k(nW/S)1/3111，V2=k(nW2/S2)1/3?因此v=k(nW/S)1/3111，V2=k(nW2/S2)1/3?因此根據(jù)浸沒面積與排水體積的模型S=kV2/3，和排水體積與人數(shù)模型Vk(U+nW)，5S—1S2(U+nW)2/3 1-(U+nW丿2(W)2/3>—IW'2zs1>亍>2s可得(W/W)1/9<(T/T)<(W/W)1/3,1>T>0.896498

2 1 1 2 2 1 S2由于W/W=86/73=1.178則有1.018<(T/T)<1.056。2112所以重量級(jí)組的成績(jī)比輕量級(jí)組大約好5%，成立。四、實(shí)驗(yàn)步驟為了利用數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)最小二乘法的擬合，需兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即logt=loga+b*logn,把它作為一次項(xiàng)多項(xiàng)式用polyfit函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，程序如下:n=[l,2,4,8];t二[7.17,6.77,6.13,5.73];tl二[7.21,6.88,6.32,5.84];p=polyfit(log(n),log(t),1);p1二polyfit(log(n),log(t1),1);a二exp(p(2))b=p(1)a1=exp(p1(2))b1=p1(1)t1二a*n.6;plot(n,t,，+，,n,t1,，_，)五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)果求得a=7.2146,b=-0.1114,a1=7.2842,b1=-0.1035;實(shí)際數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果的圖像如下所示：六、實(shí)驗(yàn)討論、結(jié)論書中給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是用第四列的時(shí)間來(lái)計(jì)算得到的，再利用第五列的平均時(shí)間計(jì)算可得到al和bl的值。單純的只運(yùn)用比例的建模方法推導(dǎo)出得函數(shù)關(guān)系可能不太精細(xì)，也得不到具體的關(guān)于速度的表達(dá)式，但對(duì)于解決這個(gè)問題---人數(shù)和時(shí)間關(guān)系而言已經(jīng)足夠了，由圖可知基本符合實(shí)際情況。七、參考資料艇種2000m成績(jī)t(min)艇長(zhǎng)l(m)艇寬b(m)l/b艇重w0(kg)/槳手?jǐn)?shù)n1234平均單人7.167.257