人教版初三九年級上冊教案整冊

課題名稱圖形的旋轉(zhuǎn)

1、掌握旋轉(zhuǎn)的特征，理解旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)。2、理解中心對稱、中心對稱圖形的定義，了解它

教學(xué)目標(biāo)們的聯(lián)系。3、掌握關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點。

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中心對稱、中心對

稱圖形、坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y

教學(xué)重點教學(xué)難點和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的綜合題目的分析過程。

軸、原點對稱的點的特征。

教學(xué)方法

教學(xué)及輔導(dǎo)過程

一、知識點歸納：

二、知識點歸納：

KB\

/!,D旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著一個定點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變

“換。旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向（順時針、逆時針）、旋轉(zhuǎn)角度。

旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)：（1）旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等的。（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心

的距離相等。（3）每一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角。

2、中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個圖

￡形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。這個點叫做對稱中

心。性質(zhì)：（1）中心對稱的兩個圖形是全等的。（2）對稱點所連線段都經(jīng)過對

BN0XZD稱中心，而且被對稱中心平分。

中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形

D0能夠與原來的圖形完全重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。

中心對稱、中心對稱圖形是兩個不同的概念，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系。區(qū)別：中心對稱是針對兩個圖形而

言的，而中心對稱圖形指是一個圖形。聯(lián)系：把中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則成為中心對稱圖形。

把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則它們中心對稱。

3、點（x,y）關(guān)于x軸對稱后是（x,-y）

點（x,y）關(guān)于y軸對稱后是（-x,y）

點（x,y）關(guān)于原點對稱后是（-X,-y）

旋轉(zhuǎn)在中考中的考法

（一）旋轉(zhuǎn)的基本概念在考題中很少單獨明題,往往結(jié)合圖形利用旋轉(zhuǎn)前后角度的變化和旋轉(zhuǎn)前

后圖形形狀大小不變組合成新圖形,求線段長度和角的度數(shù).

1.如圖1,如果aAPB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得

到△/!'P'B,月一BP=2,那么PP'的長為______________

點尸走過的路徑長為_______________；線段第掃過的面積為_____________.

分析：圖形的基本旋轉(zhuǎn)，確定旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，同時注意旋轉(zhuǎn)走過的路徑和旋轉(zhuǎn)時繞旋轉(zhuǎn)中心

的線段掃過的圖形.

B

2.（北京2007畢業(yè)13.）如圖,△ABC是等腰直角三角形，BC是余“,工

圖1

將4ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到aACP'的位置.

如果AP=3,那么PP'的長等于________.

分析：當(dāng)圖形之間互相重合，增大了基本圖形的觀察難度，A

要求學(xué)生從圖形中確認(rèn)是哪個圖形旋轉(zhuǎn)到哪個圖形，并準(zhǔn)確確定

旋轉(zhuǎn)角和對應(yīng)線段/

練習(xí)：B乙二

p

L如圖，四邊形48⑦是正方形，旋轉(zhuǎn)后能與△力即重合,則NEAF的度數(shù)是（）

A.80°B90°C.100°D.120°

O44y——

答案（B）,知識層面（A），考查旋轉(zhuǎn)角的確認(rèn)

E

/f\BD同側(cè)作等

2.如圖，C是線段8。上一點，分別以8C、CO為邊在Ar/

邊△ABC和等邊交CE于F,8E交AC于G,則圖中可通過旋

轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有（）.BCD

A.1對B.2對C.3對D.4對

答案（B）,知識層面（B）,考查旋轉(zhuǎn)是在特定位置上的全等.書67頁拓廣探索第9題,80頁綜合運

用第5題

3.如圖，/XABC繞點A旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△AOE處,若NBAC=120°,ZBAD=30°,則NOAE=

__________,ZCAE=________________o

A

Bc

D

4.如圖3,在直角aABC1中，ZC=90°,ZA=35°,以直角頂點。為旋轉(zhuǎn)中心,

將△ABC旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，其中4、B,分別是A、8的對應(yīng)點，且點8在

斜邊4皮上，則NA'CB的度數(shù)是

（二）旋轉(zhuǎn)中往往借助實際圖形考查旋轉(zhuǎn)的基本概念，通常不單獨命題,

結(jié)合中心對稱，軸對稱全面考查圖形的識別.

1.下列圖案中，可以由一個“基本圖案”連續(xù)旋轉(zhuǎn)45。

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

分析：選B知識層面（A）,考查圖形位置和旋轉(zhuǎn)角度.以書74頁復(fù)習(xí)鞏固第2題為原形,

與實際生活相結(jié)合.此處往往和軸對稱相結(jié)合，考查幾何圖形的識別.

3.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)用兒個全等的等邊三角形拼出如下圖所示的四個圖形，其中既是軸對稱

圖形又是中心對稱圖形的是（）

4.（2007寧夏）下列圖形中，即是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.菱形C.等腰梯形D.平行四邊形

（考查所學(xué)幾何圖形）

二、旋轉(zhuǎn)作圖、利用兒何變換設(shè)計圖案

1、旋轉(zhuǎn)的基本作圖：

(1)確定旋轉(zhuǎn)中心；

(2)確定圖形中的關(guān)鍵點；

(3)將關(guān)鍵點沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度；

(4)連結(jié)各點，得到原圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形.

旋轉(zhuǎn)的作圖分為兩部分,(1)在兒何證明中將一個圖形由一個位置旋轉(zhuǎn)到夕于一個位置，構(gòu)造全等

形;(2)常見在網(wǎng)格中將一個圖形按給定方向和角度旋轉(zhuǎn)，得到新的圖形，通常2吉合考查平移和軸對

稱.

1作.圖

如圖;C為線段48中點,，作下列旋轉(zhuǎn)：以點C。為中

心，把這個三角形旋轉(zhuǎn)180°./

(可用倍長中線法)ACB

知識層面A考查旋轉(zhuǎn)的位置及角度，還原中考中等線段構(gòu)

造全等的思考過程.(書68頁觀察(2)為原形)

2.如圖，四邊形ABCD中，N比/分90°分/氏

作出將4ABE繞點A,旋轉(zhuǎn)到AADH的圖形.\

BEC

圖②

3.如圖，(1)作出將AABC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°的圖形△AB。1.

(3)作出將△ABC繞原點旋轉(zhuǎn)180°的圖形＞

r-r-r-r4

(2)作出將A4BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°的

r-I--上

圖形△A,8,C??^!!!1>

33'-4-2-1

-H12347

(借助網(wǎng)格中的直角，考查確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的

的作圖，知識層面B)T

4.已知：如圖，AAB。的三個頂點坐標(biāo)分別為

請你分別完成卜面的

A(2,4),8(6,2),0(0,0),-；A--

------------------------------------------------------------------------------------------11：：1i——i----------------------------------

（1）作圖并標(biāo)出所有頂點的坐標(biāo)（不要求寫出做法）.

（2）以。為旋轉(zhuǎn)中心，將A48C沿逆時針方向

旋轉(zhuǎn)90。，得到A4282c2.

5.（2007湖北孝感）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，先把梯形ABC。向左平移6個單位長度得到梯

形A/8/G。.

（1）請你在平面直角坐標(biāo)系中畫出梯形A/B/C/。；

（2）以點。為旋轉(zhuǎn)中心，把（1）中畫出的梯形繞點。順時針方

向旋轉(zhuǎn)90"得到梯形A262c2。2，請你畫出梯形A262c2。2.

三.旋轉(zhuǎn)不變性的利用.

旋轉(zhuǎn)具有不變性，旋轉(zhuǎn)的不變性既給我們準(zhǔn)備了全等的圖形，又可根據(jù)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的

距離相等、題目中給出的等線段（如中點，特殊圖形），構(gòu)造新的特殊的兒何圖形和全等三角形.

在利用等線段構(gòu)造圖形時要注意等線段的位置關(guān)系,只有特定位置的等線段才能進(jìn)行旋轉(zhuǎn)構(gòu)造.兩

個等線段要有公共點.

初中幾何中三角形、四邊形中都有旋轉(zhuǎn)的利用.

（一）三角形中的旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)一章在教科書中的習(xí)題和教參中的拓展資源都給出了等邊（等腰）三角形中的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)等邊

三角形中的等線段也可將圖形旋轉(zhuǎn)得到全等的圖形，下面以幾道題目為例說明.

1.如圖2,P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且布=6,PB=8,PC=10.若將CRIC繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到ZlPAB，則點P與點尸之間的距離為,ZAPB=

知識層面C,利用旋轉(zhuǎn)中的不變性及旋轉(zhuǎn)的角度構(gòu)造特殊圖形pt

2.已知一為正ZV18C內(nèi)一點，口加=113°,4A>123°.求證以正構(gòu)成一t'三

圖2

角形,并確定所構(gòu)成的三角形的各個內(nèi)角的度數(shù).

知識層面C

（二）.四邊形中的旋轉(zhuǎn)

在正方形中的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)正方形中四條邊相等，可以將圖形由一

個位置旋轉(zhuǎn)到特定的位置，使圖形的構(gòu)造更為清晰.

1.如圖8,將正方形48口中的△4?尸繞點8順時針旋轉(zhuǎn)能與

△W重合，若B六4,則點PPf的長為;

分析：知識層面為B,考查旋轉(zhuǎn)的不變性,利用旋轉(zhuǎn)的不變性

圖形，提醒學(xué)生關(guān)注旋轉(zhuǎn)前、后圖形的位置.

2.如圖4,四邊形ABCD中，ZADC=ZABC=90°,

P_LAB于P,若DP=5,則四邊形ABCD的面積為

分析：知識層面為B,考查圖形的構(gòu)造（轉(zhuǎn)化）

3.已知E、尸分別在正方形A8CZ）邊AB和BC上，AB=\,

/￡7叱=45°.求ABE/的周長.圖4

知識層面C,考查利用正方形的邊和角的特性將三角形旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造新的

全等形.

4.如圖，在四邊形4BCD中,N/貽30°,

NADC=60°,AD=DC.證明BD2=AB'+BC2

分析：知識層面C,利用等線段將三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)造

四.旋轉(zhuǎn)方法的探究.

在綜合題中，需要學(xué)生不僅要會識別利用等線段

圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而且要會從求證入手，綜合知識，

題.

高線變中線（教參拓展資源）

1.如圖；在銳角三角形A6C中，AH1BC,分別以力反AC為一邊,向形外作正方形4班和4CFG,

連接EG,與HA延長線交于點M,求證AM為EG中線.

知識層面C(考查知識點：正方形性質(zhì)，根據(jù)等線段旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等形，利用旋轉(zhuǎn)角)

2.(2008無錫)已知，點P是正方形A5CD內(nèi)的一點，連接用、PB、PC.

(1)將△以8繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。到△PC6的位置(如圖15(1)).

①設(shè)AB的長為a,PB的長為b^b<a),求△RLB旋轉(zhuǎn)到△PCB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖

15(1)中陰影部分)的面積；

②若必=2,PB=4,ZAPB=135°,求PC的長.

(2)如圖15(2),若，%2+pc2=22爐請說明點「必在對角線a。上.

3.(2007廣州25)已知在位//比'中，AB=BC；

在RtAADE中,AD=DE.連結(jié)陽取尾的中點心連結(jié)〃"和BM

(1)若點〃在邊“'上，點發(fā)在邊居上且與點6不重合，如圖①，求證仁颯且刷比

(2)如果將圖①中的ZL4龐繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖②，那么(1)中的結(jié)論是否仍成

立?如果不成立,請舉出反例;如果成立,請給予證明.

4.與旋轉(zhuǎn)角有關(guān)的題目(2008太原)如圖，將一張透明的嗨四邊形膠片沿對角線剪開，得到

圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△OEE將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合,

把△OEf1繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O.

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點夕?、C、。在同一直線上時，N力加與

ZDCA的數(shù)量關(guān)系是.

(2)當(dāng)aOE尸繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.

(3)在圖③中連結(jié)8。、AQ探索B。與AO之間有怎樣的位置關(guān)系，并證明.

5.（2008沈陽）

已知如圖①所示，在△A8C和△AOE中/BAC=NDA￡且煎B、4、〃在一條直線上,

連結(jié)6￡、CD,MN分別為BE、口的中點.

(1)求證：?BE=CD;

②△AMN是等腰三角形.

⑵在圖①的基礎(chǔ)上，將△AOE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變，得到圖②所示的

圖形.請直接寫出(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立；

(3)在(2)的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P.

方和，則稱這個四邊形為等平方和四邊形.

(1)寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的

名稱：______________

(2)如圖(1),在梯形A6CO中，AD//BC,

ACYBD,垂足為0.

求證：AD2+BC2=AB2+DC2,即四邊形ABCD是等

平方和四邊形.

證明：

(3)如果將圖(1)中的△A。。繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a度(0<a<90)后得到圖Q),那么四邊

形ABCO能否成為等平方和四邊形？若能，請你證明；若不能，請說明理由.

證明:

分析：第三問借助圖(1)還原圖形從而解決問題.

圖(2)

章末測試

1).

(A)(B)(C)(D)

3.如圖，如果正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在的平血內(nèi)可作旋轉(zhuǎn)中心的點共有

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.如圖，將aABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)20。，B點落在B，位置，A點落在A，位置,

若ACLA'B',則NBAC的度數(shù)是

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如圖，△OAB繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)80°到AOCD的位置，已知NAOB=45°,則ZAOD等于

6.如圖，0是邊長為1的正AABC的中心，將AABC繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°,得△ABG,

則△ABG與aABC重疊部分（圖中陰影部分）的面積為

V3

-V4&I

7.如圖，陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對稱的圖形，又是關(guān)于坐標(biāo)原點0成中心

對稱的圖形.若點A的坐標(biāo)是（1,3）,則點M和點N的坐標(biāo)分別為

A.M(L—3),N(-l,—3)B.N(—l,3)

C.”1,3),N(l,—3)D.M(—1,-3),N(L—3)

8.如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若NC=90°,ZB=30°,AC=1,則5B'的長

為

B.3

273n473

333

（第6題）（第7題）（第8題）

9.如圖，已知兩個全等直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，將AACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到aACB

的位置，其中AC交直線AD于點E,AB'分別交直線AD,AC于點F,G,則旋轉(zhuǎn)后的圖中，全等三角形共有

A.2對B.3對C.4對D.5對

①②③④

二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)

11.點P(2,3)繞著原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90"與點P'重合，則P，的坐標(biāo)為

12.將兩塊直角三角尺的直角頂點重合為如圖的位置，若/A0D=110°,則/BOC=

13.如圖，小亮從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30°,再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)30°,……照這

樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了米。

14.將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后得到△48'C',則圖中

陰影部分的面積是cm\

三、(本題共2小題，每小題5分，滿分10分)

15.四邊形ABCD是正方形，4ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到aABE,如圖所示，如果AF=4,AB=7,

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；D

1C

(2)求DE的長度；/

(3)BE與DF的位置關(guān)系如何？/\

F

AB

4

16.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且DE=」，Z\ABF是4ADE的旋轉(zhuǎn)圖形。

4

(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？

(2)旋轉(zhuǎn)了多少度？

(3)AF的長度是多少？

(4)如果連結(jié)EF,那么4AEF是怎樣的三角形？

四、(本題共2小題，每小題5分，滿分10分)

17.如圖所示，4ABP是由4ACE繞A點旋轉(zhuǎn)得到的，那么4ABP與4ACE是什么關(guān)系？若

NBAP=40。，ZB=30°，ZPAC=20°,求旋轉(zhuǎn)角及/CAE、NE、/BAE的度數(shù)。

18.如圖，是AAOB繞點0順時針方向旋轉(zhuǎn)40°后所得的圖形，點C恰好在AB上,

NA0D=90°，求NB的度數(shù)。

五、(本題共2小題，每小題6分，滿分12分)

19.如圖，把△ABC向右平移5個方格，再繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)90°。

(1)畫出平移和旋轉(zhuǎn)后的圖形，并標(biāo)明對應(yīng)字母；

(2)能否把兩次變換合成一種變換，如果能，說出變換過程(可適當(dāng)在圖形中標(biāo)記)；如

果不能，說明理由。

20.如圖，已知AABC的頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是A(-1,-1),B(—4,—3),

C(—4,—1),,

(1)作出AABC關(guān)于原點0的中心對稱圖形；

(2)將aABC繞原點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△ABC,畫出△ABG,并寫出

點At的坐標(biāo)。

六、(本大題滿分8分)

21.已知平面直角坐標(biāo)系上的三個點0(0,0),A(-1,1),B(-1,0),將aABO繞點0

按順時針方向旋轉(zhuǎn)135。，點A、B的對應(yīng)點為A,B“求點A,Bi的坐標(biāo)。

23.1.1圓的基本概念

一、教學(xué)百標(biāo)：

1、本節(jié)課使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念.

2、初步會運用本節(jié)的概念判斷真假命題.

3、逐步培養(yǎng)學(xué)生親自動手實踐，總結(jié)出新概念的能力.

二、重點：理解圓的有關(guān)概念.

三、睢點：對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解

四、教具準(zhǔn)備：教參、練習(xí)冊、課外資料

五、教學(xué)過程：

一、新課引入：

同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的定義、點和圓的位置關(guān)系.教師提問學(xué)生回答上節(jié)課的知識點，學(xué)生之間

互相補充、評價.

接著啟發(fā)學(xué)生在練習(xí)本上畫一個圓，要求學(xué)生在圓上任取兩點A、B.請同學(xué)們一邊畫圖，一邊觀察，一邊

思考教師提出的問題.這兩點A、B之間的部分是什么？連結(jié)兩點得到線段AB又是什么？AB把圓分成兩部分得

到圖形又叫做什么？在學(xué)生想說又叫不準(zhǔn)的情況下，教師出示板書.本節(jié)專門研究圓的有關(guān)概念.

二、新課講解：

學(xué)生畫圖后觀察出圓的一些概念，由學(xué)生回答出概念的名稱和內(nèi)容.如果學(xué)生回答的很準(zhǔn)確，教師不必重

復(fù).在學(xué)生回答中，教師板書出重點概念.

1.弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.教師提問一名中下生，“一個圓有多少條弦？”找一名中等生

回答“在這些弦中，最長的弦是什么？怎么定義這個最長的弦？”

2.直徑：經(jīng)過圓心的弦是直徑.

直徑與半徑之間關(guān)系找一名中下學(xué)生回答.

3.圓?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧.簡稱弧.教師講清弧的符號“的表示.以A、B為端點

的弧，記作施，讀作“圓弧AB”或“孤AB”.

這時教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圓中的圓弧有幾種情況？通過學(xué)生觀察、比較、歸納出三種圓弧，師生一起總結(jié)出

這三種弧的定義.半圓?。簣A的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓弧.

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫優(yōu)弧.

L-、

優(yōu)弧CBA,記作“CBA”是優(yōu)弧.

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

這時幻燈打出一組練習(xí)題：

練習(xí)1判斷下列語句是否正確？為什么？

1.半圓是弧.

2.弧是半圓.

3.兩個劣弧之和等于半圓.

4.兩個劣弧之和等于圓周長.

這樣做的目的使學(xué)生對圓弧的定義加以理解.

弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.了解到弓形定義，為了使學(xué)生更好地了解圓中?條弦能得

到兩個弓形，引導(dǎo)學(xué)生觀察得到，這樣對今后學(xué)習(xí)弦所對的圓周角的問題起奠基作用.

接下來講同心圓、等圓、等弧的三個概念時，從字意義讓學(xué)生探索出概念的內(nèi)含外延.培養(yǎng)學(xué)生通過理解

字意感受到圖形與概念的有機(jī)結(jié)合，是學(xué)習(xí)好幾何的基本保障.

例如同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.

等圓的講解以投影演示，讓學(xué)生觀察、比較得出等圓是互相重合兩個圓.山等圓可以證明半徑相等，直徑

相等.反過來半徑相等，直徑相等兩個圓是等圓.同時告訴學(xué)生同圓或等圓的半徑相等.

等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

等弧是本節(jié)的難點，教師從引導(dǎo)學(xué)生能“理解互相重合”入手，聯(lián)系到如果互相重合.說明同圓的半徑相

等，進(jìn)一步證明滿足同圓或等圓的前提條件.這樣分析的好處是讓學(xué)生真正認(rèn)識到等圓、等弧都是從“互相重

合”得到的，進(jìn)一步理解“等弧”的條件已經(jīng)具備同圓或等圓，這樣又消除對等弧不理解的心理障礙，從而順

理成章的讓學(xué)生從認(rèn)識一到理解f最后到準(zhǔn)確應(yīng)用.

接下來給學(xué)生一組練習(xí)題鞏固已學(xué)過的知識.學(xué)生回答，學(xué)生之間參與評價.

練習(xí)2判斷題：

1.直徑是弦；

2.弦是直徑；

3.半圓是弧，但弧不一定是半圓；

4.半徑相等的兩個半圓是等弧；

5.長度相等的兩條弧是等弧；

例2如圖在圓0中，AB、CD為直徑.求證：AD/7BC.

由學(xué)生分析，學(xué)生寫出證明過程，學(xué)生糾正存在問題.

鞏固練習(xí)：

教材P.66中2、3題（學(xué)生自己完成）.

三、課堂小結(jié)：

本節(jié)小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié)：

①弦與直徑，

②弧與半圓，

③同心圓、等圓指兩個圖形，

④等圓，等弧是互相重合得到，等弧的條件作用.

3.新定義符號“的表示方法.

23.1.2圓周角

一、教學(xué)百標(biāo)：

1、通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生理解圓周角的概念，掌握圓周角定理.

2、準(zhǔn)確地運用圓周角定理進(jìn)行簡單的證明計算.

3、通過圓周角定理的證明使學(xué)生了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想方法，從而提高學(xué)生分析問題、解決問

題的能力.

4、繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力.

二，重點：圓周角的概念和圓周角定理.

三、難點：認(rèn)識圓周角定理需要分三種情況逐一證明的必要性.

四、教學(xué)過程：

一、新課引入：

同學(xué)們，上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓心角的定義、圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)的相等關(guān)系.學(xué)生在復(fù)

習(xí)圓心角的定義基礎(chǔ)匕老師通過直觀演示將圓心角的頂點發(fā)生變化.滿足頂點在圓匕而角的兩邊都與圓相

交，得到與圓有關(guān)的又一種角.學(xué)生通過觀察，對比著圓心角的定義，概括出圓周角的定義.教師板書：“7.5

圓周角().”通過圓心角到圓周角的運動變化，幫助學(xué)生完成從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡.一方面激發(fā)

學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，同時讓學(xué)生感受到圖形在學(xué)生眼中動起來.

二、新課講解：

為了進(jìn)一步使學(xué)生真正理解圓周角的概念，教師利用電腦進(jìn)一步演示得到三種不同狀態(tài)的圓周角.

圖7-28

教師提問，學(xué)生回答，教師板書.

你能仿照圓心角的定義給圓周角下一個定義嗎？

圓周角定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

這時教師向全體學(xué)生提出這樣兩個問題：

①頂點在圓上的角是圓周角？

②圓和角的兩邊都相交的角是圓周角？

教師不做任何解釋，指導(dǎo)學(xué)生施圖并回答出答案對與否.選擇出有代表性的答案用幻燈放出來，師生共同

批改.這樣做的好處是學(xué)生自己根據(jù)題意畫出圖形，加深了對概念的理解，師生共同批改，使學(xué)生抓住概念的

本質(zhì)特征，這時由學(xué)生歸納出圓周角的兩個特征.

接下來給學(xué)生一組辨析題：

通過這組練習(xí)題，學(xué)生就能很快的深入理解圓周角的概念，準(zhǔn)確的記憶圓周角的定義.

這時教師啟發(fā)學(xué)生觀察電腦演示的圓周角的三個圖，說明圓心和圓周角的位置關(guān)系的三種情況.

在圓周角定理的證明時，不是教師直接告訴學(xué)生的定理內(nèi)容，而是讓學(xué)生把自己課前準(zhǔn)備好的圓拿出來,

在圓上畫一個圓周角，然后再畫同弧所對的圓心角，由同桌兩人用量角器量出這兩個角的度數(shù)，請三名同學(xué)把

量得數(shù)據(jù)告訴同學(xué)們，親自試驗發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系.這時由學(xué)生總結(jié)出本節(jié)課的定理，然后教師把定理內(nèi)容

寫在黑板上.

定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

這時教師提問一名中下生：“一條弧所對的圓周角有多少個？圓心角呢？”

教師概括：雖然一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，但它們與圓心的位置關(guān)系，歸納起來卻只有三種情況.下

面我們就來證明這個定理的成立.

已知：。0中，曲所對的圓周角是NBAC,圓心角是/BOC.

求UE.ZBAC=|ZBOC.

?■

分析：(1)如果圓心0在/BAC的一邊AB上，只要利用三角形內(nèi)角和定理的推論和等腰三角形的性質(zhì)即

可證明.

如果圓心。不在NBAC的-一邊AB匕我們?nèi)绾巫C明這個結(jié)論成立呢？

教師進(jìn)一步分析：“能否把(2)、(3)轉(zhuǎn)化為(1)圓心在角的一邊上的特殊情況，那么只要作出直徑

AD,將NBAC轉(zhuǎn)化為上述情況的兩角之和或差即可，從而使問題得以解決.

這樣分析的目的，在幾何定理的證明中，分情況逐一證明肯定命題的正確性，這還是第一次接觸.因而教

師分析就應(yīng)從教會學(xué)生解決問題的方法上入手，教會學(xué)生由圓心0的特殊位置的證明為基礎(chǔ)，進(jìn)而推到一般情

況.同時要向?qū)W生滲透證明過程體現(xiàn)了由已知到未知、由特殊到一般的思維規(guī)律.

本題的后兩種情況，師生共同分析，證明過程由學(xué)生回答，教師板書：

證明：分三種情況討論.

(1)圖中，圓心0在NBAC的一邊上.

OA=OC=>ZC=ZBAC),I/

__________}=>ZBAC=-ZBOC.

ZBOC=ZC+ZBACJ2

(2)圖中，圓心。在NBAC的內(nèi)部，作直徑AD.利用(1)的結(jié)果，有

/BAD=，BOD

ZDAC=|ZDOC

n/BAD+NDAC=J(ZBOD+ZDOC)

=>ZBAC=^ZBOC.

(3)圖中，圓心。在NBAC的外部，作直徑AD,利用(1)的結(jié)果，有

1、

ZBDA=-ZDOB

1.

ZDAC=-ZDOC

=>ZDAC-ZBDA=1(ZDOC-ZDOB)

=>ZBAC=^ZBOC.

接下來為了鞏固所學(xué)的圓周角定理，幻燈片上出示例1.

例1如圖7-30,0A,OB,0C都是。0的半徑,ZA0B=2ZB0C.求證:ZACB=2ZBAC.

例1由教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形分析證明思路，證明過程請一名中等生上黑板完成，其它同學(xué)把證明寫在練

習(xí)本上.

這樣處理例1的目的，是讓學(xué)生通過自己的思維活動得到解題思路的探索過程，由學(xué)生自己完成證明，使

學(xué)生切實從應(yīng)用上加深對圓周角的理解.

為了堅持面向全體學(xué)生，遵循因材施教的原則，使不同層次的學(xué)生學(xué)有所得，教師有目的設(shè)計兩組習(xí)題.

第一組練習(xí)題是直接鞏固定理，難度較小，可提問較差的學(xué)生.

團(tuán)r-oi

求圓中的角X的度數(shù)？

第二組練習(xí)題是間接鞏固定理，需要以圓心角的度數(shù)為過渡，可提問中等偏上的學(xué)生.

如圖7-32,已知AABC內(nèi)接于00,AB,優(yōu):的度數(shù)分別為80°和110°,則aABC的三個內(nèi)角度數(shù)分別

是多少度？

數(shù)學(xué)小結(jié)：這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩個知識點：

1.圓周角定義.2.圓周角定理及其定理應(yīng)用.方法上主要學(xué)習(xí)了圓周角定理的證明滲透了''特殊

到一般”的思想方法和分類討論的思想.

23.2.1點與圓的關(guān)系

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、本節(jié)課使學(xué)生了解“不在同一條直線上三點確定一個圓”的定理及掌握它的作圖方法.

2、了解三角形的外接圓，三角形的外心，圓的內(nèi)接三角形的概念.

3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力；

二、重點：經(jīng)過不在一條直線上三點確定圓的定理.

三、難點：理解“不在一條直線上”確定圓的條件.

8,教具準(zhǔn)備：教參、練習(xí)冊、課外資料

五、教學(xué)過程：

一、新課引入：

某一個城市在一塊空地上新建了三個居民小區(qū)，它們分別為A、B、C,且三個小區(qū)不在同一直線上.要想

規(guī)劃一所中學(xué)，使這所中學(xué)到三個小區(qū)的距離相等.請問同學(xué)們這所中學(xué)建在哪一個位置？你怎么確定這個位

置呢？教師提出問題，學(xué)生思考回答.

接著教師進(jìn)一步提出這樣一個問題，初一我們學(xué)習(xí)了直線公理，直線公理內(nèi)容是什么？教師重復(fù)學(xué)生的回

答：“經(jīng)過兩點確定一條直線.”對于?個圓來說，是否也有由幾點確定的問題呢？此時教師出示課題：“7.2

經(jīng)過三點的圓”，教師這種引導(dǎo)雖然簡短，但在學(xué)生的心理上起到了一定的定勢作用，使學(xué)生明確了本節(jié)課的

教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生帶著--種好奇心，興致勃勃去探索研究怎么作圓，從而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.

二、新課講解：

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，親自動手試驗發(fā)現(xiàn)經(jīng)過三點的圓，這三點的位置要進(jìn)行討論.有兩種情況；①在一

條直線上三點；②不在一條直線上三點，通過學(xué)生小組的討論認(rèn)為不在同一條直線上三點能確定一個圓.怎樣

才能做出這個圓呢？這時教師出示幻燈片.

例1作圓，使它經(jīng)過不在同一直線上三點.

由學(xué)生分析首先得出這個命題的題設(shè)和結(jié)論.

已知：AABC.求作：00,使它經(jīng)過A、B、C三點.

接著教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析要作?個圓的關(guān)鍵是要干什么？由于一開課在設(shè)計學(xué)校的位置時，學(xué)生已經(jīng)

有了印象，學(xué)生會很快回答是確定圓心，確定圓心的方法：作AABC的三邊垂直平分線，三邊垂直平分線的交

點0就是圓心.圓心。確定了，那么要經(jīng)過三點A、B、C的圓的半徑可以選0A或0B都可以.作圖過程教師示

范，學(xué)生和老師一起完成.一邊作圖，一邊指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范化的作圖方法及語言的表達(dá)要準(zhǔn)確.

定理：不在同一條直線上的三個點確定一個圓.

注意：經(jīng)過在同一條直線上三點不能確定一個圓.

這樣做的目的，不是教師“填鴨式”的往里灌，而是學(xué)生自己經(jīng)過探索確定圓的條件，這樣得到的結(jié)論印

象深刻，效果要比全部山老師講更好.

接著，由于學(xué)生完成了作圓的過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察這個圓與AABC的頂點的關(guān)系，得出：

經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的

內(nèi)接三角形.

強(qiáng)調(diào)“接”指三角形的頂點在圓上，“內(nèi)接”、“外接”指在一個圖形的“里面”和“外面”.理解這些

術(shù)語的意義，指出語言表達(dá)的規(guī)范化.為了更好的掌握新概念，出示小黑板的練習(xí)題.

練習(xí)1：按圖7-4填空：

(1)AABC是。。的_______三角形；

(2)OOZ\ABC的_______圓.

這組題的目的就是理解“內(nèi)接”，“外接”的含意,

練習(xí)2：判斷題：

(1)經(jīng)過三點一定可以作圓；()

（2）任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓；（）

（3）任意一個圓一定有一個內(nèi)接三角形，并且只有一個內(nèi)接三角形；（）

（4）三角形的外心是三角形三邊中線的交點；（）

（5）三角形的外心到三角形各頂點的距離相等.（）

這組練習(xí)題主要鞏固對本節(jié)課的定理和有關(guān)概念的理解，加深學(xué)生對概念辨析的準(zhǔn)確性.

練習(xí)3：

經(jīng)過4個（或4個以上的）點是不是一定能作圓？

練習(xí)4：

選擇題：鈍角三角形的外心在三角形[]

A.內(nèi)部B.一邊上C.外部D.可能在內(nèi)部也可能在外部

練習(xí)3、4兩道小題，引導(dǎo)學(xué)生動手畫一畫，和對定理的理解是否深刻，訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性和準(zhǔn)確性

有關(guān).

練習(xí)5：教材P.73中4題（略）.

三、課堂小結(jié)：知識點方面

耀.

碉值的條件一

1.一直線上三點.

2.（1）三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點;

（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.

3.

銳角三角形、/在形內(nèi)部

直角三角形一）外心的位置J在一邊上

鈍角三角形/'在形外部

方法方面：

1.用尺規(guī)作三角形的外接圓的方法.2.重點詞語的區(qū)別：“內(nèi)接”，“外接”.

23.2.2直線與圓的位置關(guān)系

一、教學(xué)百標(biāo)：

1、使學(xué)生理解直線和圓的位置關(guān)系.

2、初步掌握直線和圓的位置關(guān)系的數(shù)量關(guān)系定理及其運用.

3、通過對直線和圓的三種位置關(guān)系的直觀演示，培養(yǎng)學(xué)生能從直觀演示中歸納出幾何性質(zhì)的能力；2.在

7.1節(jié)我們曾學(xué)習(xí)了“點和圓”的位置關(guān)系：

（0點P在0Qh=OP=r

Q）jftP在。。內(nèi)mOP<r

（3）點P在。

二、重點：

使學(xué)生正確理解直線和圓的位置關(guān)系，特別是直線和圓相切的關(guān)系，是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的一種關(guān)系.

三、難點：

直線和圓的位置關(guān)系與圓心到直線的距離和圓的半徑大小關(guān)系的對應(yīng)，它既可做為各種位置關(guān)系的判定，

又可作為性質(zhì)，學(xué)生不太容易理解.

四'教學(xué)過程

一、新課引入：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用點到圓心的距離和圓半徑的大小關(guān)系來判斷點和圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們用同樣的數(shù)學(xué)

思想方法來研究直線和圓的位置關(guān)系，請同學(xué)們回憶：1.點和圓有哪兒種位置關(guān)系？2.怎樣判定點和圓的位

置關(guān)系？

我們已經(jīng)了解了平面上點和圓共有三種位置關(guān)系①點在圓外，②點在圓上，③點在圓內(nèi).如果我們設(shè)（DO

的半徑為r,則有下面點與圓位置的數(shù)量關(guān)系.

點P在。陰O0P〉r

點噥。。上"OP=r

點P在<30內(nèi)

二、新課講解：

實際上，太陽從地平線上緩緩升起時，太陽與地平線的位置關(guān)系；鐵軌上飛奔的列車，它的輪子與鐵軌之

間的位置關(guān)系；都給了我們直線和圓的位置關(guān)系的印象，那么平面上給定一個圓和一條運動著的直線或給定一

條定直線和一個運動著的圓，它們之間雖然有著若干種不同的位置關(guān)系，如果從數(shù)學(xué)角度看，它的若干種位置

關(guān)系能分為幾大類？請同學(xué)們打開練習(xí)本，畫一畫互相研究一下.

學(xué)生動手畫，教師巡視，當(dāng)所有學(xué)生都把三種位置關(guān)系畫出來時，教師可以用計算機(jī)或幻燈機(jī)給同學(xué)們作

演示，演示的過程一定要用兩種方法.一是給定直線圓在動；另一方面是給定圓，直線在動，這樣學(xué)生才能從

運動的觀點去研究問題.

最終教師指導(dǎo)學(xué)生從直線和圓的公共點的個數(shù)來完成直線和圓的位置關(guān)系的定義.

1、直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交.直線叫做圓的割線.

2、直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切.直線叫圓的切線，唯一的公共點叫做切點.

3.直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離.

（三）重點、難點的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

在直線和圓的位置關(guān)系中，直線和圓相切是非常重要的位置關(guān)系，在今后的學(xué)習(xí)中有重要意義，務(wù)使每位

同學(xué)都要清楚.除從直線和圓的公共點的個數(shù)來判斷直線是否與圓相切外，是否還有其它的判定方法呢？可提

示學(xué)生，從點和圓的位置關(guān)系去考察，特別要從點到圓心的距離與圓半徑的關(guān)系去考察，若該直線1到圓心0

的距離為d,。。半徑為r,指導(dǎo)學(xué)生觀察已經(jīng)確定的直線和圓的三種位置關(guān)系，很容易得到所需的結(jié)果：

Q）宜續(xù)1和?MB交。

C2）和。啪切=n

C3）直線1和。朔離?d>r.

但是反過來，若先給定了直線到圓心的距離與圓的半徑的數(shù)量關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系時;學(xué)生可

能有一定的困難.這時可引導(dǎo)學(xué)生點到直線的距離，有助于學(xué)生對困難的解決.從而完成符號的左邊“=”.向

學(xué)生介紹符號“=”的意義及讀法.

練習(xí)一，已知圓的直徑為12cm,如果直線和圓心的距離為（1）5.5cm；（2）6cm；（3）8cm；那么直線和

圓有幾個公共點？為什么？

此題是直接運用性質(zhì)進(jìn)行判斷.

答案：（1）兩個公共點，（2）一個公共點，（3）沒有公共點.

練習(xí)二，已知。0的半徑為4cm,直線1上的點A滿足0A=4cm,能否判斷直線1和。0相切？為什么？

此題再一次強(qiáng)調(diào)定理中是圓心到直線的距離，這是學(xué)生容易出現(xiàn)問題的地方.

答案：不能確定.結(jié)合具體圖形指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn).當(dāng)0A不是圓心到直線的距離時，直線1和。。相交；當(dāng)

0A是圓心到直線的距離時，直線1是。0的切線.

例題(P.104)在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心，r為半徑的圓與AB有怎樣的位

置關(guān)系？為什么？

(1)r=2cm,(2)r-2.4cm,(3)r=3cm

指導(dǎo)學(xué)生在對題目進(jìn)行分析時指出，題中所給的Rt△在已知條件下各元素」為定值，以直角頂點C為圓心

的圓，隨半徑的不斷變化，將與斜邊AB所在的直線產(chǎn)生各種不同的位置關(guān)系，幫助學(xué)生分析好，d是點C到AB

所在直線的距離，也就是直角三角形斜邊上的高CD,在求直角三角形斜邊上的高CD時用到三角形血積公式.這

個方法在今后的證明時常常用到.要求學(xué)生學(xué)會這種思考問題的方法.

例題解法參考教材P.104頁.

三、課堂小結(jié)：

為了培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材的習(xí)慣，請學(xué)生看教材P.103-104,從中總結(jié)出本課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有：

1.從圖形公共點看，直線和圓有兩個公共點，直線和圓相交，直線是圓的割線；直線和圓有唯一公共點，

直線和圓相切，直線是圓的切線；直線和圓沒有公共點，直線和圓相離.

2.直線和圓的位置關(guān)系的數(shù)量關(guān)系：即直線1和。。相交=dVr；直線1和。。相切=d=r；直線1

和?0相離=d>r.

3.目前判斷一條直線是圓的切線的方法有二：其一是直線和圓有唯一公共點，特別要強(qiáng)調(diào)“唯一”一詞

的意義；其二是圓心到直線的距離等于圓的半徑.

23.2.3切線

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生理解切線長定義.

2、使學(xué)生掌握切線長定理，并能初步運用.

二、重點：切線長定理，它在以后的證明中經(jīng)常使用.

三、難點：切線長定理的歸納.學(xué)生在觀察后可以敘述內(nèi)容，但語言可能是不規(guī)范的.

5、教具準(zhǔn)備：教參、練習(xí)冊、課外資料

五、教學(xué)過程：

一、新課引入：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的切線的性質(zhì)，今天我們繼續(xù)來學(xué)習(xí)圓的切線的其它性質(zhì).

經(jīng)過平面上的已知點作已知圓的切線，會有怎樣的情形呢？請同學(xué)們打開練習(xí)本畫一畫.

學(xué)生動手畫，教師巡視.當(dāng)學(xué)生把可能的位置情況畫完后，教師指導(dǎo)全班同學(xué)交流并得到結(jié)論：1.經(jīng)過

圓內(nèi)已知點不能作圓的切線；2.經(jīng)過圓上已知點可作圓的唯一一條切線；3.經(jīng)過圓外一已知點可作圓的兩條

切線.

二、新課講解：

觀察從圓外一點所引圓的切線上，有一條線段，線段的端點一邊是已知點，一邊是切點.務(wù)必使學(xué)生清楚,

我們是把這樣的…條線段的長度定義為切線長.提醒學(xué)生注意，直線是沒有長度的事實.然后讓學(xué)生觀察從圓

外一點引圓的兩條切線會產(chǎn)生什么樣的結(jié)論？開始不要害怕學(xué)生的語言不簡煉，教師最終指導(dǎo)學(xué)生把握“從