兩角和與差的三角函數(shù)

2.兩角和與差的三角函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)兩角和與差的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)簡圖畫龍點(diǎn)晴公式兩角和與差的余弦:cos(a+B)=cosacos0—sinasin0,cos(a—B)=cosacos0+sinasin0.A證明：在直角坐標(biāo)系x^y內(nèi)作單位圓O,并作出角a,P與-B，使角a的始A邊為Ox,交圓O于點(diǎn)P1,終邊交圓O于點(diǎn)P2;角P的始邊為OP2,終邊交圓O于點(diǎn)P3,角-P的始邊為OP1,終邊交圓O于點(diǎn)P4,這時點(diǎn)P1,p2,p3,p4的坐標(biāo)分別是P1(1,0),P2(cosa,sina),P3(cos(a+B),sin(a+B)),P4(cos(-P),sin(-P)).由1Plp3I=IP2P4I及兩點(diǎn)間距離公式,得[cos(a+P)-1]2+sin2(a+P)=[cos(-0)-cosa]2+[sin(-0)-sina]2.展開并整理，得2-2cos(a+0)=2-2(cosacosP-sinasinP),所以cos(a+P)=cosacos0-sinasinp.這個公式對于任意的角a,P都成立.在公式中用-P代替P,就得到cos(a-P)二cosacos(-0)-sinasin(-P),即cos(a-0)二cosacosP+sinasin0.[活用實(shí)例]

［例1］計(jì)算：(1)cos65°cos115°-cos25°sin115°;(2)-cos700［例1］計(jì)算：(1)cos65°cos115°-cos25°sin115°;(2)-cos700cos200+sin1100sin200.［題解］(1)原式:cos650cos1150-sin650sin1150=cos(65°+115°)=cos1800=-1;(2)原式:-cos700cos200+sin700sin200=-cos(700+200)=0.3 .12,、［例2］已矢口sina二一，cosp=—求5 13［題解］Vsina=3>0,cosp=—>05 13cos(a-p)的值.??.a可能在一、二象限，p在一、四象限若a、p均在第一象限，則4cosa=一55 41235 63sinp=—cos(a-p)=—?—+—?—=—;13 51351365若a在第一象限p在四象限若a在第二象限p在一象限若a在第二象限p在四象限4貝日cosa=一，54貝日cosa=——54貝日cosa=—55 4123 5sinp= cos(a-p)=?—十—?(—一)=13 5135 13c5 c4123Isinp=— cos(a-p)=(-)? + 13 51351333一；6533--；65sinp=-acos(a-p)=(-4)^12+3^2 63.13 5135 13 6535［例引已知銳角a,p滿足cosa=- cos(a+p)=-—求cosp.TOC\o"1-5"\h\z5 13［題解］,.,cosa=2 /.sina=— 又,.,cos(a+p)=-— <0 ；?a+p為鈍角 ；.sin(a+p)=12 ,5 5 13 135312433..cosp=cos［(a+p)-a］=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina=-一?一十一?一=一.13513565兩角和與差的正弦：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp , sin(a-p)二sinacosp-cosasinp.證明：在兩角和的余弦公式中，利用誘導(dǎo)公式，可得到sin(a+p)=cos［--(a+p)］=cos［(--a)-p］=cos(--a)cosp+sin(--a)sinp二sinacosp+cosasinp,2 2 2 2IPsin(a+p)=sinacosp+cosasinp.用-p代替上面公式中的p，可得到sin(a-p)二sinacos(-p)+cosasin(-p),即sin(a-p)二sinacosp-cosasinp.［活用實(shí)例］［例4］已知sina+cos0=|①，cosa+sinp=5②，求sin(a+p).［題解】①2:sin2a+2sinacosp+cos2p=^9-③16?、?：cos2a+2cosasinp+sin2p=-- ④③+④：2+2(sinacosp+cosasinp)=1 即：sin(a+p)=-1.2［例5］已知sin(a+p)=—,sin(a-p)=-求tana的值.3 5tanp［題解］［題解］?「sin(a+p)=23；.sinacosp+cosasinp=2 ①2sin(a-p)=52..sinacosp-cosasinp=5①+②:2sin(a-p)=52..sinacosp-cosasinp=5①+②:sinacosp=—15①—②:2cosasinp=—15tana_sinacosp

tanpcosasinp815工=415［例6］已知三＜p3—<a<—,412 3cos(a-p)=13,sin(a+p)=-5求sin2a的值.12［題解］TcosQ-p)=12>0— 3——<p<a<—

2 4；?sin(a-p)=—

13又：sin(a+p)=-5，sin2a=sin［(x+p)+(a-p)］=sin(x+p)cos(x-p)+c0s(a+p)sin(x-p)=-3x12-4x工=-56.513513—65兩角和與差的正切:tana+tanp tana-tanptan(a+p)= !—, tan(a-0)= !—.1-tanatanp 1+tanatanp變形：tana+tanp=tan(a+B)(1-tanatanp).證明：。cos(a+p)=cosacosp-sinasinp,sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,tana+tanp當(dāng)c0s(a+p)20時,將兩式的兩邊分別相除，即atanp,tana-tanp用邛代替上面公式中的p,得到"丐+’a"atanp.［例7］已知tana［例7］已知tana」,tanp=-2求cot(a—B),并求a+p的值，其中0o<a<90o,90。<0<180。.［題解］cot(a-p)=1+tan［題解］cot(a-p)=1+tanatanptan(a-p)tana-tanptana+tan%.tan(a+p)= —1-tanatanp1-231-3x(-2)1，且：0o<a<90o,90o<p<180o.??90o<a+p<270o .,a+p=1350.［例8］求下列各式的值：(1)1+tan75。1-tan75。(2)tan17o+tan28o+tan170tan28。.［題解［題解］(1)原式二tan45°+tan75°1-tan450tan750=tan(45。+75。)=tan120。=-、：3.tan170+tan280(2).tan(17。+28°)=1-tan170tan280.?.tan17o+tan28o=tan(17o+28o)(1-tan17otan28o)=1-tan170tan280,

??.原式二1一tan170tan280+tan170tan28o=1.［例9］^(1+tan1o)(1+tan2o)(1+tan3o) (1+tan44。).［題解］(1+tan1o)(1+tan44o)=1+tan10+tan440+tan10tan44。=1+tan450(1—tan10tan440)+tan10tan440=2同理：(1+tan20)(1+tan430)=2, (1+tan3o)(1+tan42o)=2,???原式二222.二倍角的正弦、余弦、正切、余切:sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-sin2a=2sinacosa0 2tana _cot2a-1tan2a= ,cot2a= .1-tan2a 2cota1一cos2asin1一cos2asin2a= 2降冪升角公式：cos2a=——-——a a升冪縮角公式：1+cosa=2cos2—,1-cosa=2sin2—.三倍角的正弦、余弦、正切：sin3a=sin3a=3sina-4sin3a, cos3a=4cos3a-3cosa, tan3a=3tana一tan3a1一tan2a［活用實(shí)例］［例10］….5k, 5k-.5兀 5兀、(sin+cos)(sin-cos)；12 12 12 12aacos4-［例10］….5k, 5k-.5兀 5兀、(sin+cos)(sin-cos)；12 12 12 12aacos4-—sin4—?2 2；［題解］z.5—. 5— 5— 5— 5―c(sin-+cos-)(sin——cos—)=sin2—12 12 12 12 12［例11］(4)1+2cos29一cos20—cos2—=-cos-=—；12a a/ -a ..-a a .-a、 .c0s4上一sin4a=(cos2——+sin2—)(cos2 sin2—)=cosa,2 2 — 2 2 2 211求證:2tana1-tana1+tana 1一tan2a=tan2a,1+2cos20-cos20=1+2cos20-2cos20+1=2.. /兀、./兀、sin2a+cosacos(-+a)一sin2(-a)的值是與a無關(guān)的定值。3 6TOC\o"1-5"\h\z1 1 — —［題解］原式=-(1一cos2a)一［1一cos(——2a)］+cosacos(—+a)2 2 3 312——12-2a)-cos2a］+cosa(cos—cosa-sin-3-sina)=—(cos—cos2a+sin—sin2a-cos2a)+—cos2a- -cosasina)2 3 3 2 2=1cos2a+—sin2a-1cos2a+1(1+cos2a)—亙sin2a)=-

4 2 2 4 4 4/.sin2a+cosacos(-3+a)―sin2(6-a)的值與a無關(guān).［例12］化簡:［題解］原式=。,0o.0 0 。-0 。-0 02cos2 2sin—cos—2sim2sin—cos—2 2 2 +2 2 2…0 c? 0 0 ce .. 0 02sin2 2sin—cos—2cos2 2sin—cos一2222［例12］化簡:［題解］原式=。,0o.0 0 。-0 。-0 02cos2 2sin—cos—2sim2sin—cos—2 2 2 +2 2 2…0 c? 0 0 ce .. 0 02sin2 2sin—cos—2cos2 2sin—cos一22220 0, 0.0 0,.0 0、2cos—(cos sin—)2sin—(sin cos—)2 2 2 + 2 2 2o? 0,?0 0、o 0,0 . 0、2sin—(sin cos—) 2cos—(cos sin—)22 2 22 2二-(cot|+tan2)二-(1+cos01-cos0 + sin0sin0)—————2csc0sin0半角的正弦、余弦、正切:sina力

21-cosaa-，c0sz二土，1+cosa,1-cosa\T+cosaa另有：tan—=萬能公式：1-cosasinasina 1+cosaca a2tan— 1-tan2—sina— 2—,cosa— 2, tana—aa1+tan2— 1+tan2一2 2a2tan2-a1-tan2一2a不論a角的哪一種三角函數(shù)，都可用這幾個公式把它化為tan-的有理式，這樣就可把問題轉(zhuǎn)化為以tana為變量的一元有理函數(shù)，從而有助于問題的解決，因此把這組公式叫做萬能公式.［活用實(shí)例］3 7兀…0［例13］已知sin0=--,3k<0<--,求tan-.［題解1］因?yàn)閟in0=3 7兀--,3k<0< ,所以cos0=5 2「：1-sin20二245,sin0「.tan—= -21+cos0 5———3

41+(--)J［題解2］cos0=-：1-.一0 4一3K 0 7Ksin2————,且—<—<—,

2 5 2 2 411-cos0”（-4）一、 ——, :-+cos0 ［J+(-4)=-3.1+cos0-sin0+1-cos0-sin01-cos0-sin01+cos0-sin032tan2 0 0[題解引由萬能公式，有—5= 0=3tan22+10tan-+332tan2 0 0[題解引由萬能公式，有—5= 0=3tan22+10tan-+3=0+tan2一-0 1 ，0 。ntan—=一一,或tan—=-3.2 3 23兀 0 7兀 0 0但由已知-^-<]<二—，得tan5<-1,所以tan-二一3.b—[例14]已知tan0=—,求證:acos20+bsin20=a.a1-tan20 1 2tan0[題解1]由萬能公式，有acos20+bsin20=a, +b-- -1+tan20 1+tan201-二a 1+a2ob2x—+b —b21+——a2a(a2-b2)+2a2b2 a2+b2 =a a.[題解2]因?yàn)閠an0=b,由半角的正切公式，得a1cos20 b 二一nbsin20=a(1-cos20)nacos20+bsin20=a.sin20 a三角函數(shù)的積化和差公式:sinacosP=cosasinP=—[sin(a+P)+sin(a-P)]2—[sin(a+P)-sin(a-P)]2cosacosP=2[c0s(a+P)+cos(a-P)]sinasinP=-—[cos(a+P)-cos(a-P)].2三角函數(shù)的和差化積公式:sin0+sin①=2sin0十①0一①

cos sin0-sin①=2cos0+0.0-9 sin cos0+cos①=2cos0十① 0一① cos cos0-cos①=-2sin0+0.0-9

sin ［活用實(shí)例］sin70+cos15。-sin80[例15]求cos70-sin150-sin80的值.

［題解1］sin7o+cos15o?sin8osin(15—8)o+cos15o-sin8osin15o-cos8ocos7o—sin15。［題解1］sin7o+cos15o?sin8osin(15—8)o+cos15o-sin8osin15o-cos8ocos7o—sin15。?sin8。cos(15—8)o—sin15o?sin8ocos15o?cos8o=tan150=2—v3.力sin7o+cos15o?sin8o sin7°+|(sin230—sin7o) sin23o+sin7o[題解2]cos7o—sin15。Tin8。=cos7o+2(cos23o—cos7o)=cos23°―cos7°2sin150cos8o “ 1—cos3oo= =tan15o= 2cos150cos8o sin3Oo［例16］已知△ABC的三個角A,B,C滿足A+C=2BcosAcosA八-五［題